工程科学学报，第40卷，第12期：1540-1548,2018年12月 Chinese Journal of Engineering,Vol.40,No.12:1540-1548,December 2018 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2018.12.013;http://journals.ustb.edu.cn 口环密封对多级离心泵湿转子横-轴双向耦合动特性 的影响 周文杰)☒，王孝军，邱宁)，王乐勤)，高波14) 1)江苏大学能源与动力工程学院，镇江2120132)江苏大学流体机械工程技术研究中心，镇江212013 3)浙江大学能源工程学院，杭州3100274)北卡罗莱纳州立大学机械与宇航工程系，罗利27606 区通信作者，E-mail:zhouwenjiezwj(@js.cd.cn 摘要为探究口环密封对多级离心泵转子横-轴双向耦合振动的影响，基于空间欧拉角变换及有限元法，建立了多级离心 泵转子系统叶轮和轴系的微分运动方程，在此基础上，充分考虑口环流体激振力和多种轴向力的耦合作用，利用矩阵运算方 法建立了多级离心泵湿转子的横-轴双向耦合振动模型，并采用Newmark法对双向耦合系统的瞬态动力学特性进行求解，重 点研究了口环密封长度、压差和间隙对系统耦合振动特性的变化规律，计算了不同密封参数下的流体激振力.计算结果表明， 口环密封对转子系统横向振动的洛马金效应随着密封长度和压差的增大以及间隙的减小愈发明显，转子系统的横向稳态振 动收敛速度快于轴向稳态振动的收敛速度，两向瞬态振动的振动频率呈现出完全不同的特性。此外，密封的流体激振力与密 封长度呈现非线性变化关系，而与密封压差和间隙呈现线性变化关系. 关键词多级离心泵：湿转子系统；双向耦合振动：瞬态特性：轴向力 分类号TQ051.1 Effect of annular seal on the lateral-axial bi-direction coupled dynamic characteristics of a multi-stage pump wet rotor ZHOU Wen-jie,WANG Xiao-jun),QIU Ning?,WANG Le-qin,GAO Bo'4) 1)School of Energy and Power Engineering,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China 2)Research Center of Fluid Machinery Engineering and Technology,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,China 3)Institute of Process Equipment,Zhejiang University,Hangzhou 310027,China 4)Department of Mechanical and Aerospace Engineering,North Carolina State University,Raleigh 27606.USA Corresponding author,E-mail:zhouwenjiezwj@ujs.edu.en ABSTRACT Because of the increasingly rigid and complex operating conditions for multi-stage pumps,the annular seal is playing an important role in determining the dynamic characteristics of a rotor system.The annular seal can prevent fluid leakage to ensure that the pump system can satisfy the design requirements,such as the head and efficiency.However,the fluid-induced force that is caused in- side the annular seal by the pressure reduction and nonconcentric motion directly acted on the rotor system,which presents transient characteristics with a variation in the operating conditions.Based on the Euler angle transformation and the finite element method,the differential equations of motions for impeller and shaft were determined in this study,and the coupled effects,including the fluid-in- duced force of the annular seal and multiple axial forces,were considered.These equations of motions and coupled effects were conduc- ted to investigate the effect of the annular seal on the lateral-axial bi-direction coupled vibration for a multi-stage pump rotor system. Finally,the lateral-axial bi-direction coupled vibration model for a multi-stage pump wet rotor was integrated with the matrix operation, 收稿日期：2017-12-27 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51706087)
工程科学学报,第 40 卷,第 12 期:1540鄄鄄1548,2018 年 12 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 40, No. 12: 1540鄄鄄1548, December 2018 DOI: 10. 13374 / j. issn2095鄄鄄9389. 2018. 12. 013; http: / / journals. ustb. edu. cn 口环密封对多级离心泵湿转子横鄄鄄 轴双向耦合动特性 的影响 周文杰1)苣 , 王孝军1) , 邱 宁2) , 王乐勤3) , 高 波1,4) 1) 江苏大学能源与动力工程学院, 镇江 212013 2) 江苏大学流体机械工程技术研究中心, 镇江 212013 3) 浙江大学能源工程学院, 杭州 310027 4) 北卡罗莱纳州立大学机械与宇航工程系, 罗利 27606 苣通信作者, E鄄mail: zhouwenjiezwj@ ujs. edu. cn 摘 要 为探究口环密封对多级离心泵转子横鄄鄄轴双向耦合振动的影响,基于空间欧拉角变换及有限元法,建立了多级离心 泵转子系统叶轮和轴系的微分运动方程,在此基础上,充分考虑口环流体激振力和多种轴向力的耦合作用,利用矩阵运算方 法建立了多级离心泵湿转子的横鄄鄄轴双向耦合振动模型,并采用 Newmark 法对双向耦合系统的瞬态动力学特性进行求解,重 点研究了口环密封长度、压差和间隙对系统耦合振动特性的变化规律,计算了不同密封参数下的流体激振力. 计算结果表明, 口环密封对转子系统横向振动的洛马金效应随着密封长度和压差的增大以及间隙的减小愈发明显,转子系统的横向稳态振 动收敛速度快于轴向稳态振动的收敛速度,两向瞬态振动的振动频率呈现出完全不同的特性. 此外,密封的流体激振力与密 封长度呈现非线性变化关系,而与密封压差和间隙呈现线性变化关系. 关键词 多级离心泵; 湿转子系统; 双向耦合振动; 瞬态特性; 轴向力 分类号 TQ051郾 1 收稿日期: 2017鄄鄄12鄄鄄27 基金项目: 国家自然科学基金资助项目(51706087) Effect of annular seal on the lateral鄄鄄 axial bi鄄direction coupled dynamic characteristics of a multi鄄stage pump wet rotor ZHOU Wen鄄jie 1) 苣 , WANG Xiao鄄jun 1) , QIU Ning 2) , WANG Le鄄qin 3) , GAO Bo 1,4) 1) School of Energy and Power Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China 2) Research Center of Fluid Machinery Engineering and Technology, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China 3) Institute of Process Equipment, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China 4) Department of Mechanical and Aerospace Engineering, North Carolina State University, Raleigh 27606, USA 苣Corresponding author, E鄄mail: zhouwenjiezwj@ ujs. edu. cn ABSTRACT Because of the increasingly rigid and complex operating conditions for multi鄄stage pumps, the annular seal is playing an important role in determining the dynamic characteristics of a rotor system. The annular seal can prevent fluid leakage to ensure that the pump system can satisfy the design requirements, such as the head and efficiency. However, the fluid鄄induced force that is caused in鄄 side the annular seal by the pressure reduction and nonconcentric motion directly acted on the rotor system, which presents transient characteristics with a variation in the operating conditions. Based on the Euler angle transformation and the finite element method, the differential equations of motions for impeller and shaft were determined in this study, and the coupled effects, including the fluid鄄in鄄 duced force of the annular seal and multiple axial forces, were considered. These equations of motions and coupled effects were conduc鄄 ted to investigate the effect of the annular seal on the lateral鄄鄄 axial bi鄄direction coupled vibration for a multi鄄stage pump rotor system. Finally, the lateral鄄鄄axial bi鄄direction coupled vibration model for a multi鄄stage pump wet rotor was integrated with the matrix operation
周文杰等：口环密封对多级离心泵湿转子横-轴双向耦合动特性的影响 .1541· and the corresponding coupled transient dynamics were solved using the Newmark method.The changing rules of the coupled vibration characteristics and fluid-induced force were mainly investigated for different sealing lengths,pressure drops,and clearances.The cal- culated results imply that the influence of the annular seal on the Lomakin effect for rotor lateral vibration becomes increasingly obvious with increasing length and pressure drop and with decreasing clearance.The convergence rate for the lateral vibration is observed to be faster than that for the axial vibration,and the vibration frequencies for the lateral-axial bi-direction presents different features.Fur- thermore,the fluid-induced force between the sealing lengths presents a nonlinear relation,whereas that between the pressure drop and clearance exhibits a linear relation. KEY WORDS multi-stage pump;wet rotor system;bi-direction coupled vibration;transient characteristics;axial force 多级离心泵转子振动问题一直是多级离心泵研 子的动力学振动响应，将实验测量的一阶湿临界转 究的重点内容，随着机组操作工况的不断提高，多级 速与理论计算值进行了对比，发现两者具有较好的 离心泵转子振动问题愈发凸显，转子振动研究已从 吻合度.Wang等)在原有模型上考虑了轴承随工 原有的独立单向性转变成多向耦合性，多自由度以 况的变动特性情况，建立了完整的多级湿转子横向 及全自由度转子的耦合振动已成为多级离心泵转子 振动模型，实验结果更加接近理论计算值.此外，美 振动问题的研究热点之一，此外，多级离心泵转子 国石油协会出版的API610标准o]明确指出，对于 作为典型的旋转机械，其内部不仅存在口环密封、平 内流间隙较多的高压多级离心泵转子的横向振动分 衡盘等包含小间隙流动的规则结构，还存在叶轮及 析需考虑其一阶和二阶湿临界转速 导叶等不规则结构的过流部件，流体在两种结构中 多级离心泵湿转子除横向振动外，由于各级叶 流动时均会产生相应不同类型的流体激振作用.其 轮以及平衡盘瞬变轴向力存在，转子轴向振动也较 中，考虑口环密封小间隙环流作用的多级离心泵转 为明显，且两者相互作用并影响，转子系统的横-轴 子系统称为湿转子系统，同原有的未考虑密封流体 双向耦合振动研究正逐渐被重视.Chen和Pengtu】 力作用的干转子系统相比，由于转子不对心涡动引 采用有限元法对承受轴向压力的复合转子系统的稳 起一定的内流激振力，导致转子系统局部刚度的增 定性和涡动频率进行了详细研究，发现复合转子系 加，从而增大转子系统的各级模态频率，抑制系统的 统临界转速同堆叠顺序、长径比和边界条件有关. 振动幅值.因此，建立考虑内流激振影响的多级离 Young等2]采用有限元法创建了单圆盘转子-轴承 心泵湿转子耦合振动模型并准确求解转子耦合动力 系统的运动方程，并利用随机平均法和相关稳定性 学特性具有重要意义. 判断准则对系统的稳定性进行了分析.Yim等3-4) 口环密封作为多级离心泵常见结构，除起到密 考虑了轴向力影响，采用传递矩阵法分别针对有无 封作用外，其在两端压差作用下产生微小扰动时会 剪切效应作用的悬臂转子系统稳定性和自然频率进 受到流体介质施加的较大回复力作用，等同于增加 行了详细研究.宋志强等)重点研究了推力轴承 了轴系的整体刚度，进而直接影响转子的动力学特 对水轮机转子横向和轴向振动的影响以及两者间的 性，该现象也被称为·洛马金效应，).20世纪80 耦合作用关系，发现考虑推力轴承后，转子系统的横 年代，Childs在Hirs的湍流润滑理论的基础上，采用 向振动位移幅值显著减小.Zou等16-17以船舶推进 摄动法对不同长径比的口环密封动力学特性系数进 轴系为研究对象，结合哈密顿原理和多尺度法对轴 行了理论求解，分别提出了相应的短密封理论)]、 系的主共振及超谐波共振特性进行了理论求解，并 有限长理论[3)和长密封理论[)，但由于Childs在控 将其与数值计算结果进行了对比. 制方程的求解中引入了线性假设，相关模型仅在线 现阶段转子横-轴双向耦合振动研究对象多为 性扰动情况下具有较高计算精度.随后，Nelson和 单级转子模型，多级转子相关耦合振动研究较少，相 Nguyents-在原有简化模型上，采用快速傅里叶变 较于单级转子，多级转子横-轴双向耦合振动呈现 换对未简化的控制运动方程进行了直接求解，但由 出更加复杂的动力学特性，多级离心泵湿转子的耦 于求解函数的收敛性较差而并未得到广泛运用. 合振动作用形式和机理亟需进一步研究.鉴于此， Marschert)考虑了口环密封的Lomarkin效应对多级 本文从多级离心泵湿转子模型人手，充分考虑平衡 离心泵湿转子的临界转速和振型的影响，发现口环 盘中瞬变轴向力作用，基于有限元法创建多级离心 密封的加入能显著影响转子的动特性.Jiang等[8】 泵湿转子横向及轴向耦合运动微分方程，并采用 搭建了多级转子实验台用于模拟真实口环压差下转 Newmark迭代法对双向耦合系统的瞬态动力学特性
周文杰等: 口环密封对多级离心泵湿转子横鄄鄄轴双向耦合动特性的影响 and the corresponding coupled transient dynamics were solved using the Newmark method. The changing rules of the coupled vibration characteristics and fluid鄄induced force were mainly investigated for different sealing lengths, pressure drops, and clearances. The cal鄄 culated results imply that the influence of the annular seal on the Lomakin effect for rotor lateral vibration becomes increasingly obvious with increasing length and pressure drop and with decreasing clearance. The convergence rate for the lateral vibration is observed to be faster than that for the axial vibration, and the vibration frequencies for the lateral鄄鄄 axial bi鄄direction presents different features. Fur鄄 thermore, the fluid鄄induced force between the sealing lengths presents a nonlinear relation, whereas that between the pressure drop and clearance exhibits a linear relation. KEY WORDS multi鄄stage pump; wet rotor system; bi鄄direction coupled vibration; transient characteristics; axial force 多级离心泵转子振动问题一直是多级离心泵研 究的重点内容,随着机组操作工况的不断提高,多级 离心泵转子振动问题愈发凸显,转子振动研究已从 原有的独立单向性转变成多向耦合性,多自由度以 及全自由度转子的耦合振动已成为多级离心泵转子 振动问题的研究热点之一. 此外,多级离心泵转子 作为典型的旋转机械,其内部不仅存在口环密封、平 衡盘等包含小间隙流动的规则结构,还存在叶轮及 导叶等不规则结构的过流部件,流体在两种结构中 流动时均会产生相应不同类型的流体激振作用. 其 中,考虑口环密封小间隙环流作用的多级离心泵转 子系统称为湿转子系统,同原有的未考虑密封流体 力作用的干转子系统相比,由于转子不对心涡动引 起一定的内流激振力,导致转子系统局部刚度的增 加,从而增大转子系统的各级模态频率,抑制系统的 振动幅值. 因此,建立考虑内流激振影响的多级离 心泵湿转子耦合振动模型并准确求解转子耦合动力 学特性具有重要意义. 口环密封作为多级离心泵常见结构,除起到密 封作用外,其在两端压差作用下产生微小扰动时会 受到流体介质施加的较大回复力作用,等同于增加 了轴系的整体刚度,进而直接影响转子的动力学特 性,该现象也被称为‘洛马金效应爷 [1] . 20 世纪 80 年代,Childs 在 Hirs 的湍流润滑理论的基础上,采用 摄动法对不同长径比的口环密封动力学特性系数进 行了理论求解,分别提出了相应的短密封理论[2] 、 有限长理论[3]和长密封理论[4] ,但由于 Childs 在控 制方程的求解中引入了线性假设,相关模型仅在线 性扰动情况下具有较高计算精度. 随后,Nelson 和 Nguyen [5鄄鄄6]在原有简化模型上,采用快速傅里叶变 换对未简化的控制运动方程进行了直接求解,但由 于求解函数的收敛性较差而并未得到广泛运用. Marscher [7]考虑了口环密封的 Lomarkin 效应对多级 离心泵湿转子的临界转速和振型的影响,发现口环 密封的加入能显著影响转子的动特性. Jiang 等[8] 搭建了多级转子实验台用于模拟真实口环压差下转 子的动力学振动响应,将实验测量的一阶湿临界转 速与理论计算值进行了对比,发现两者具有较好的 吻合度. Wang 等[9] 在原有模型上考虑了轴承随工 况的变动特性情况,建立了完整的多级湿转子横向 振动模型,实验结果更加接近理论计算值. 此外,美 国石油协会出版的 API610 标准[10] 明确指出,对于 内流间隙较多的高压多级离心泵转子的横向振动分 析需考虑其一阶和二阶湿临界转速. 多级离心泵湿转子除横向振动外,由于各级叶 轮以及平衡盘瞬变轴向力存在,转子轴向振动也较 为明显,且两者相互作用并影响,转子系统的横鄄鄄轴 双向耦合振动研究正逐渐被重视. Chen 和 Peng [11] 采用有限元法对承受轴向压力的复合转子系统的稳 定性和涡动频率进行了详细研究,发现复合转子系 统临界转速同堆叠顺序、长径比和边界条件有关. Young 等[12]采用有限元法创建了单圆盘转子鄄鄄轴承 系统的运动方程,并利用随机平均法和相关稳定性 判断准则对系统的稳定性进行了分析. Yim 等[13鄄鄄14] 考虑了轴向力影响,采用传递矩阵法分别针对有无 剪切效应作用的悬臂转子系统稳定性和自然频率进 行了详细研究. 宋志强等[15] 重点研究了推力轴承 对水轮机转子横向和轴向振动的影响以及两者间的 耦合作用关系,发现考虑推力轴承后,转子系统的横 向振动位移幅值显著减小. Zou 等[16鄄鄄17]以船舶推进 轴系为研究对象,结合哈密顿原理和多尺度法对轴 系的主共振及超谐波共振特性进行了理论求解,并 将其与数值计算结果进行了对比. 现阶段转子横鄄鄄轴双向耦合振动研究对象多为 单级转子模型,多级转子相关耦合振动研究较少,相 较于单级转子,多级转子横鄄鄄 轴双向耦合振动呈现 出更加复杂的动力学特性,多级离心泵湿转子的耦 合振动作用形式和机理亟需进一步研究. 鉴于此, 本文从多级离心泵湿转子模型入手,充分考虑平衡 盘中瞬变轴向力作用,基于有限元法创建多级离心 泵湿转子横向及轴向耦合运动微分方程,并采用 Newmark 迭代法对双向耦合系统的瞬态动力学特性 ·1541·
·1542· 工程科学学报，第40卷，第12期 进行求解，进而探究口环密封对转子系统的双向耦 合振动的影响. 1转子横向-轴向双向耦合动力学模型 对应的广义力，=[x,0]'和=[y,-0]T为广 义坐标向量 1.1刚体叶轮运动方程 1.2轴系横向和轴向运动方程 在多级离心泵转子系统的动力学求解中，由于 本文采用有限元方法创建多级离心泵转子轴系 内部流体对叶轮作用导致的变形与转子系统的空间 的微分运动方程，图2所示为多级离心泵轴段.在 振动变形相比较小，同时叶轮的变形对整个转子系 承受轴向力P情况下，节点j-1和j之间长度为l 统的动力学振动特性影响有限，因此叶轮常近似被 轴段的动能与势能分别为： 看做刚体进行建模，而不考虑其变形势能.在转子 实际旋转过程中，叶轮仅存在平动和转动两种同步 [T.=)(Ma+M))(Ma+ 运动，其空间旋转状态如图1所示 M)G+a(G)西+o .=(ui)'K+()'K店+ (u)'Kp4+(u)'Kp] (4) 式中，Mr=∫NNds,Mm=∫NrV'd,J.= j.N"N'ds.K.=EINN'ds.K.=P.N"N'ds, 山°为轴系单位长度质量，后和分别为轴段的直 径转动惯量和极转动惯量，P为轴向力，E为轴系 弹性模量，I为轴系截面惯性矩，N为插值函数，此 图1叶轮坐标变换图 外，上标'和”分别表示一阶和二阶导数，两个广义 Fig.1 Coordinate transformation of the impeller 坐标向量G=[-1,8-1,,9],4=[y-1,- 图中坐标系0。-x'y'z与叶轮质心固结，经过空 -1,-0]. 间欧拉角变换，叶轮坐标系变换为0。-xy一坐标 系，下标数字n表示进行第n次旋转.对于横向振 轴承 轴承 油系 动的叶轮，略去高阶项，刚体叶轮动能可近似简化成 下式8] T=m,(2+)+(+)+w- 11. 2Jw08,] (1) 式中，m为叶轮质量，J和J分别为叶轮的直径转 动惯量和极转动惯量，x和y分别表示各方向位移， 轴 日和日，分别为绕x轴和y轴转角，ω为角速度 将上式带人下式非保守系统的Lagrange方程 d (aT) 图2多级离心泵轴段单元图 dt \au aT-=9:(i=1,2,3,…）(2） ou; Fig.2 Shaft element of a multi-stage pump 式中，u为广义坐标，9：为广义力，T和V分别为动能 将上面式(4)代入式(2)的Lagrange方程，即可 和势能，t为时间 得到轴段的横向运动微分方程)： 刚体叶轮微分运动方程可表示成[1】 (Mii+ωJi+(K.+Kp)=qi (Mi+ωWaig=qd (5) (3) Mi5-wJi+（K。+Kp)u=q Mauz -wJaui =q2 其中：q和q:为各轴段对应的广义力
工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 进行求解,进而探究口环密封对转子系统的双向耦 合振动的影响. 1 转子横向鄄鄄轴向双向耦合动力学模型 1郾 1 刚体叶轮运动方程 在多级离心泵转子系统的动力学求解中,由于 内部流体对叶轮作用导致的变形与转子系统的空间 振动变形相比较小,同时叶轮的变形对整个转子系 统的动力学振动特性影响有限,因此叶轮常近似被 看做刚体进行建模,而不考虑其变形势能. 在转子 实际旋转过程中,叶轮仅存在平动和转动两种同步 运动,其空间旋转状态如图 1 所示. 图 1 叶轮坐标变换图 Fig. 1 Coordinate transformation of the impeller 图中坐标系 oc 鄄鄄 x忆y忆z忆与叶轮质心固结,经过空 间欧拉角变换,叶轮坐标系变换为 oc 鄄鄄 x3 y3 z3 坐标 系,下标数字 n 表示进行第 n 次旋转. 对于横向振 动的叶轮,略去高阶项,刚体叶轮动能可近似简化成 下式[18] Td = 1 2 md ( x ·2 + y ·2 ) + 1 2 [J d d ( 兹 ·2 x + 兹 ·2 y) + J d p棕 2 - 2J d p棕兹x 兹 · y] (1) 式中,md为叶轮质量,J d d 和 J d p 分别为叶轮的直径转 动惯量和极转动惯量,x 和 y 分别表示各方向位移, 兹x和 兹y分别为绕 x 轴和 y 轴转角,棕 为角速度. 将上式带入下式非保守系统的 Lagrange 方程 d d ( t 鄣T 鄣u · ) i - 鄣(T - V) 鄣ui = qi (i = 1,2,3,…) (2) 式中,ui为广义坐标,qi为广义力,T 和 V 分别为动能 和势能,t 为时间. 刚体叶轮微分运动方程可表示成[19] Mdu ·d 1 + 棕Jdu ·d 2 = q d 1 Mdu ·d 2 - 棕Jdu ·d 1 = q { d 2 (3) 式中,Md = md 0 0 J é ë ê ê ù û ú d ú d ,Jd = 0 0 0 J é ë ê ê ù û ú d ú p ,q d 1 和 q d 2 为叶轮 对应的广义力,u d 1 = [x,兹y] T 和 u d 2 = [y, - 兹x] T 为广 义坐标向量. 1郾 2 轴系横向和轴向运动方程 本文采用有限元方法创建多级离心泵转子轴系 的微分运动方程,图 2 所示为多级离心泵轴段. 在 承受轴向力 Pz情况下,节点 j - 1 和 j 之间长度为 l 轴段的动能与势能分别为: Te = 1 2 (u ·e 1 ) T (MeT + MeR)u ·e 1 + 1 2 (u ·e 2 ) T (MeT + MeR)u ·e 2 + 棕 (u ·e 1 ) T Jeu ·e 2 + 1 2 j e p l棕 2 Ve = 1 2 [(u e 1 ) TKeu e 1 + (u e 2 ) TKeu e 2 + (u e 1 ) TKepu e 1 + (u e 2 ) TKepu e 2 ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ] (4) 式中, MeT = 乙 l 0 滋 eN TNds, MeR = 乙 l 0 j e dN忆 TN忆ds, Je = 乙 l 0 j e pN忆 TN忆ds,Ke = EI 乙 l 0 N义 TN义ds,Kep = Pz 乙 l 0 N忆 TN忆ds, 滋 e 为轴系单位长度质量,j e d 和 j e p 分别为轴段的直 径转动惯量和极转动惯量,Pz为轴向力,E 为轴系 弹性模量,I 为轴系截面惯性矩,N 为插值函数,此 外,上标忆和义分别表示一阶和二阶导数,两个广义 坐标向量 u e 1 = [ xj - 1 ,兹y,j - 1 ,xj,兹y,j] T ,u e 2 = [ yj - 1 , - 兹x,j - 1 ,yj, - 兹x,j] T . 图 2 多级离心泵轴段单元图 Fig. 2 Shaft element of a multi鄄stage pump 将上面式(4)代入式(2)的 Lagrange 方程,即可 得到轴段的横向运动微分方程[18] : Meu ··e 1 + 棕Jeu ·e 2 + (Ke + Kep )u e 1 = q e 1 Meu ··e 2 - 棕Jeu ·e 1 + (Ke + Kep )u e 2 = q { e 2 (5) 其中:q e 1 和 q e 2 为各轴段对应的广义力. ·1542·
周文杰等：口环密封对多级离心泵湿转子横-轴双向耦合动特性的影响 ·1543· 同理，对于图2中轴段的轴向振动，利用有限元 2nx2n阶 法可得到其对应的轴向动能和势能： A,一横向运动方程系数矩阵 A一轴向运动方程系数矩阵 T.=2{}'M{i} nXn阶 6 A一表示质量矩阵M、阻层级矩阵C =3GKG 或刚度矩阵K 图3横向与轴向系数矩阵耦合建模 式中，M=NNds,K=EANN'ds,A为轴 Fig.3 Lateral and axial coupled coefficient matrix model 系横截面面积，4=[子-1一] 最终即可得到多级离心泵转子横-轴双向耦合 考虑叶轮轴向运动状态，并利用Lagrange方程， 运动微分方程： 进一步得到考虑叶轮作用的轴系轴向运动微分 MU+CU+KU=0 (10) 方程： U MU.+KU.=Q. (7) 式中：U=u=M,C和K分别为转子 式中，U.=[之，…，，…之-1之]，M和K分别 双向耦合运动方程的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩 为轴向质量矩阵和刚度矩阵，Q.为轴向的广义力 阵，Q为耦合运动方程的广义力向量 向量 上式可以通过Newmark迭代法进行数值求解， 1.3多级离心泵转子横-轴双向耦合运动方程 其具体迭代格式为[] 考虑口环密封对转子系统的洛马金效应，采用 Childs的有限长和长密封理论分别对口环密封与平 (cv.. 衡盘径向间隙进行动力学特性求解，其相应的密封 流体激振力可以表示如下形式： 2+d+ad+(层-1)c]+ -周-[]9[c c(品+（层-1）+（很-2）) (11) [ 8 0=(U-U,)-at]-(-1）i 式中，上标‘s'表示密封，K、C和M分别为主刚度系 (12) 数，主阻尼系数和主质量系数，k、c和m分别为交叉 U+y=U,+(1-B)△U,+B△U+y (13) 刚度系数，交叉阻尼系数和交叉质量系数 式中，△t为时间步长，参数a=0.25,B=0.5. 滑动轴承模型的动特性系数采用有限差分法以 2计算模型及相关参数 及小参数法对雷诺方程进行求解，与密封激振力相 比，其惯性力作用影响较小，在实际计算中可将其忽 本文计算模型选用某真实运转的延迟焦化高压 略，因此轴承的刚度系数和阻尼系数矩阵可写为： 水泵多级转子模型为对象，几何参数和操作参数根 []-广 据转子模型相关几何结构和操作工况确定，根据前 p,]dφdz 述耦合方法对转子模型进行建模并求解其动力学特 性，转子模型如图4所示.本文相关横向耦合、轴向 []- p;]dodz 耦合以及双向耦合模型的准确性和可行性已在文献 [18]中进行了验证，验证结果表明多级离心泵横- (9) 轴双向耦合运动模型能够用于转子系统的动力学特 式中，上标‘b'表示轴承，中为圆周方向，L为轴承长 性研究.本文多级离心泵转子模型叶轮数为10级， 度，P和P,分别为轴承平衡位置处油膜压力对x和y 转子两端轴承支撑，叶轮前盖板的口环密封和平衡 的偏导. 鼓径向密封在一定压差作用下产生内流激振力，叶 同时计入各类轴向力[20-2]的影响，将轴系的横 轮看作是集中质量节点，将轴系按照直径的不同以 向及轴向运动方程进行整合，其中系数矩阵的整合 及转子各支撑位置和形式的不同对转子系统进行节 过程如图3所示. 点划分
周文杰等: 口环密封对多级离心泵湿转子横鄄鄄轴双向耦合动特性的影响 同理,对于图 2 中轴段的轴向振动,利用有限元 法可得到其对应的轴向动能和势能: Tez = 1 2 {u ·e 3 } TMez{u ·e 3 } Vez = 1 2 {u ·e 3 } TKez{u ·e 3 ì î í ï ï ï ï } (6) 式中,Mez = 乙 l 0 滋 eN TNds,Kez = 乙 l 0 EAN忆 TN忆ds,A 为轴 系横截面面积,u e 3 = [zj - 1 ,zj] T . 考虑叶轮轴向运动状态,并利用 Lagrange 方程, 进一步得到考虑叶轮作用的轴系轴向运动微分 方程: MzU ·· z + KzUz = Qz (7) 式中,Uz = [z1 ,z2 ,…,zj,…,zn - 1 ,zn ] T ,Mz 和 Kz 分别 为轴向质量矩阵和刚度矩阵,Qz 为轴向的广义力 向量. 1郾 3 多级离心泵转子横鄄鄄轴双向耦合运动方程 考虑口环密封对转子系统的洛马金效应,采用 Childs 的有限长和长密封理论分别对口环密封与平 衡盘径向间隙进行动力学特性求解,其相应的密封 流体激振力可以表示如下形式: - F s x F{ s}y = K s k s - k s K é ë ê ê ù û ú s ú{ } x y + C s c s - c s C é ë ê ê ù û ú s ú x · y{ ·} + M s m s - m s M é ë ê ê ù û ú s ú x ·· y{··} (8) 式中,上标‘s爷表示密封,K、C 和 M 分别为主刚度系 数,主阻尼系数和主质量系数,k、c 和 m 分别为交叉 刚度系数,交叉阻尼系数和交叉质量系数. 滑动轴承模型的动特性系数采用有限差分法以 及小参数法对雷诺方程进行求解,与密封激振力相 比,其惯性力作用影响较小,在实际计算中可将其忽 略,因此轴承的刚度系数和阻尼系数矩阵可写为: k b xx k b xy k b yx k b é ë ê ê ù û ú ú yy = - 乙 Lb 2 - Lb 2 乙 2仔 0 sin 准 cos [ ] 准 [px py]d准dz c b xx c b xy c b yx c b é ë ê ê ù û ú ú yy = - 乙 Lb 2 - Lb 2 乙 2仔 0 sin 准 cos [ ] 准 [p·x p·y]d准d ì î í ï ï ï ï ï ï z (9) 式中,上标‘b爷表示轴承,准 为圆周方向,Lb为轴承长 度,px和 py分别为轴承平衡位置处油膜压力对 x 和 y 的偏导. 同时计入各类轴向力[20鄄鄄22] 的影响,将轴系的横 向及轴向运动方程进行整合,其中系数矩阵的整合 过程如图 3 所示. 图 3 横向与轴向系数矩阵耦合建模 Fig. 3 Lateral and axial coupled coefficient matrix model 最终即可得到多级离心泵转子横鄄鄄轴双向耦合 运动微分方程: M U ·· + C U · + KU = Q (10) 式中:U = Uh U é ë ê ê ù û ú ú z ,Uh = u1 u é ë ê ê ù û ú ú 2 ,M、C 和 K 分别为转子 双向耦合运动方程的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩 阵,Q 为耦合运动方程的广义力向量. 上式可以通过 Newmark 迭代法进行数值求解, 其具体迭代格式为[23 ( ] K + 1 琢驻t 2M + 茁 琢驻t C ) Ut + 驻t = Qt + 驻t + M [ 1 琢驻t 2Ut + 1 琢驻t U · t + ( 1 2琢 - 1 ) U ·· t ] + C ( 茁 琢驻t Ut + ( 茁 琢 - 1 ) U · t + 驻t ( 2 茁 琢 - 2 ) U ·· t ) (11) U ·· t + 驻t = 1 琢驻t 2 [(Ut + 驻t - Ut) - 驻t U · t] - ( 1 2琢 - 1 ) U ·· t (12) U · t + 驻t = U · t + (1 - 茁)驻tU ·· t + 茁驻tU ·· t + 驻t (13) 式中,驻t 为时间步长,参数 琢 = 0郾 25,茁 = 0郾 5. 2 计算模型及相关参数 本文计算模型选用某真实运转的延迟焦化高压 水泵多级转子模型为对象,几何参数和操作参数根 据转子模型相关几何结构和操作工况确定,根据前 述耦合方法对转子模型进行建模并求解其动力学特 性,转子模型如图 4 所示. 本文相关横向耦合、轴向 耦合以及双向耦合模型的准确性和可行性已在文献 [18]中进行了验证,验证结果表明多级离心泵横鄄鄄 轴双向耦合运动模型能够用于转子系统的动力学特 性研究. 本文多级离心泵转子模型叶轮数为 10 级, 转子两端轴承支撑,叶轮前盖板的口环密封和平衡 鼓径向密封在一定压差作用下产生内流激振力,叶 轮看作是集中质量节点,将轴系按照直径的不同以 及转子各支撑位置和形式的不同对转子系统进行节 点划分. ·1543·
.1544. 工程科学学报，第40卷，第12期 真实转子模型 转子系统及相关部件尺寸见表1~5. 轴承 轴承 表1轴系参数 轴系111111平衡鼓 Table 1 Parameters of the shaft 叶轮 叶轮 轴段长度，/m 外径，D./m 轴段 长度，/m外径，D./m 转子节点模型 1 0.040 0.072 6 0.516 0.110 2 0.132 0.092 > 0.194 0.105 3 0.241 0.105 0.062 0.075 ·轴承节点▲口环密封节点●叶轮节点■平衡鼓节点 4 0.250 0.110 9 0.135 0.060 图4多级离心泵转子模型 Fig.4 Model of a multi-stage pump rotor 5 1.280 0.115 表2叶轮参数 Table 2 Parameters of the impellers 直径转动惯量，不平衡偏心距/ 直径转动惯量，不平衡偏心距/ 叶轮级数 质量，mu/kg 叶轮级数 质量，mu/kg (kg.m2) mm J/(kg.m2) mm 1 15 0.131 0.01 6 13 0.114 0.01 2 3 0.114 0.01 > 0.114 0.01 3 13 0.114 0.01 0.114 0.01 4 13 0.114 0.01 9 13 0.114 0.01 3 0.114 0.01 10 多 0.122 0.01 表3口环参数 叶轮的计算结果进行比较分析，重点研究口环密封 Table 3 Parameters of the annular seals 相关参数对转子双向耦合振动的影响. 内径，d./m 间隙，C。/m 长度，L./m 压差，△P/MPa 3计算结果及分析 0.195 0.0005 0.022 3.2 由于圆柱截面的线性转子系统横向振动两个方 表4轴承参数 Table 4 Parameters of the bearings 向(x方向和y方向)具有相似的振动特性，因此可 选取其中任意方向进行振动分析，本文选择x方向 内径，R/m 间原，C/m长度，L/m 黏度./(Pas) 进行横向振动特性研究.首先，为探究双向耦合作 0.0525 0.00015 0.096 0.0414 用对转子系统的振动特性，图5给出了考虑耦合作 表5平衡盘密封参数 用和不考虑耦合作用的转子双向瞬态响应及频谱 Table 5 Parameters of the balance piston seal 图，可以看出，双向耦合作用对横向振动的影响大于 内径，d/m 间隙，C。/m长度，Ln/m压差，△P,/MPa 对轴向振动的影响，经计算，考虑双向耦合作用的横 0.08 0.0005 0.165 向稳态振动幅值为7.6×10-3mm,而不考虑轴向力 作用的横向稳态振动幅值为7.46×10-3mm,但是 考虑转子叶轮级数较多，本文选取其中第5级 对于轴向振动，有无考虑耦合作用下的振幅和频率 (a 24[343.Hz 66.7Hz 16 10 3F 11071663Hz 00.51.01.52.02.53.0 0 500100015002000 00.51.01.52.0253.0 D 500100015002000 tis 频率Hz 频率Hz (b) 17 24 343Hz 66.7Hz 10 -0. 16 3F -0.4 1107z1663Hz 00.51.01.52.02.53.0 500100015002000 00.51.01.52.0253.0 500100015002000 频率/H2 tis 频率Hz 图5耦合作用()和无耦合作用(b)下横向及轴向瞬态响应图及颜谱图 Fig.5 Lateral and axial response and spectrum with coupled effect (a)and no coupled effect (b)
工程科学学报,第 40 卷,第 12 期 图 4 多级离心泵转子模型 Fig. 4 Model of a multi鄄stage pump rotor 转子系统及相关部件尺寸见表 1 ~ 5. 表 1 轴系参数 Table 1 Parameters of the shaft 轴段 长度,l / m 外径,De / m 轴段 长度,l / m 外径,De / m 1 0郾 040 0郾 072 6 0郾 516 0郾 110 2 0郾 132 0郾 092 7 0郾 194 0郾 105 3 0郾 241 0郾 105 8 0郾 062 0郾 075 4 0郾 250 0郾 110 9 0郾 135 0郾 060 5 1郾 280 0郾 115 表 2 叶轮参数 Table 2 Parameters of the impellers 叶轮级数 质量,md / kg 直径转动惯量, J d d / (kg·m 2 ) 不平衡偏心距/ mm 叶轮级数 质量,md / kg 直径转动惯量, J d d / (kg·m 2 ) 不平衡偏心距/ mm 1 15 0郾 131 0郾 01 6 13 0郾 114 0郾 01 2 13 0郾 114 0郾 01 7 13 0郾 114 0郾 01 3 13 0郾 114 0郾 01 8 13 0郾 114 0郾 01 4 13 0郾 114 0郾 01 9 13 0郾 114 0郾 01 5 13 0郾 114 0郾 01 10 14 0郾 122 0郾 01 表 3 口环参数 Table 3 Parameters of the annular seals 内径,ds / m 间隙,Cs / m 长度,Ls / m 压差,驻P/ MPa 0郾 195 0郾 0005 0郾 022 3郾 2 表 4 轴承参数 Table 4 Parameters of the bearings 内径,Rb / m 间隙,Cb / m 长度,Lb / m 黏度,滋 / (Pa·s) 0郾 0525 0郾 00015 0郾 096 0郾 0414 表 5 平衡盘密封参数 Table 5 Parameters of the balance piston seal 内径,dp / m 间隙,Cp / m 长度,Lp / m 压差,驻Pp / MPa 0郾 08 0郾 0005 0郾 165 32 图 5 耦合作用(a)和无耦合作用(b)下横向及轴向瞬态响应图及频谱图 Fig. 5 Lateral and axial response and spectrum with coupled effect (a) and no coupled effect (b) 考虑转子叶轮级数较多,本文选取其中第 5 级 叶轮的计算结果进行比较分析,重点研究口环密封 相关参数对转子双向耦合振动的影响. 3 计算结果及分析 由于圆柱截面的线性转子系统横向振动两个方 向(x 方向和 y 方向)具有相似的振动特性,因此可 选取其中任意方向进行振动分析,本文选择 x 方向 进行横向振动特性研究. 首先,为探究双向耦合作 用对转子系统的振动特性,图 5 给出了考虑耦合作 用和不考虑耦合作用的转子双向瞬态响应及频谱 图,可以看出,双向耦合作用对横向振动的影响大于 对轴向振动的影响,经计算,考虑双向耦合作用的横 向稳态振动幅值为 7郾 6 伊 10 - 3 mm,而不考虑轴向力 作用的横向稳态振动幅值为 7郾 46 伊 10 - 3 mm,但是 对于轴向振动,有无考虑耦合作用下的振幅和频率 ·1544·