目录 摘要 第1章 Mandelbrot与分形 1.1 Mandelbrot与其的研究课题… 12分形基础 121基本概念 244779 122维数 第2章传统分形 21构造分形专用函数包…… 12 22 Cantor集 22.1 Cantor集的构造… 222 Cantor集的实现 14 23Kohn曲线 23.1Kohm曲线与随机Kohn曲线 17 232递归分形中的生成元 24 Sierpinski集…… 27 24 I Sierpinski三角形 242 Sierpinski地毯 第3章分形模型和系统 3.IL系统 3.11L系统描述方法及算法… ………31 3.1.2L系统的植物模拟 32迭代函数系统 321仿射变换与拼贴定理( collage theorm) 322IFS自然景物模拟 43 33DLA模型… 3.3.1分形凝聚体与DLA模型 3.32自然生长过程模拟及其维数的计算 3.3.3大尺度下的DLA模型改造 第4章分形之应用 49 41高分子分形产生 41.具有生命活力的高分子分形分析 412芳香烃族生成元的分形模拟……… 42IFS系统与L系统的综合模拟树、花枝 43宇宙中的分形综述 结束语 参考文献 附录
目录 摘要·············································································································2 第 1 章 Mandelbrot 与分形·············································································4 1.1 Mandelbrot 与其的研究课题····································································4 1.2 分形基础····························································································7 1.2.1 基本概念·····················································································7 1.2.2 维数··························································································9 第 2 章 传统分形························································································12 2.1 构造分形专用函数包·············································································12 2.2 Cantor 集··························································································13 2.2.1 Cantor 集的构造········································································13 2.2.2 Cantor 集的实现········································································14 2.3 Kohn 曲线························································································17 2.3.1 Kohn 曲线与随机 Kohn 曲线························································17 2.3.2 递归分形中的生成元···································································20 2.4 Sierpinski 集······················································································27 2.4.1 Sierpinski三角形·······································································27 2.4.2 Sierpinski 地毯··········································································29 第 3 章 分形模型和系统···············································································31 3.1 L 系统·······························································································31 3.1.1 L 系统描述方法及算法·······························································31 3.1.2 L 系统的植物模拟·····································································33 3.2 迭代函数系统·····················································································38 3.2.1 仿射变换与拼贴定理( collage theorm)················································38 3.2.2 IFS 自然景物模拟········································································43 3.3 DLA 模型···························································································44 3.3.1 分形凝聚体与DLA 模型·······························································44 3.3.2 自然生长过程模拟及其维数的计算：················································46 3.3.3 大尺度下的 DLA 模型改造····························································47 第 4 章 分形之应用·····················································································49 4.1 高分子分形产生···················································································49 4.1.1 具有生命活力的高分子分形分析·····················································49 4.1.2 芳香烃族生成元的分形模拟···························································52 4.2 IFS 系统与 L 系统的综合模拟树、花枝······················································54 4.3宇宙中的分形综述················································································56 结束语·········································································································59 参考文献······································································································59 附录············································································································60
摘要 自从 B Mandelbrot提出分形之后,由于它极其接近于大自然,在很多领域或了人们一直进 行相关的研究。在本文中,通过计算机编程语言 Turbo C模拟出传统分形以及几个具有代表 性的模型或者系统产生的分形图形。首先,我们介绍了被称为分形之父的 Mandelbrot研究的 课题,然后,稍微描述关于分形的定义以及维数方面的概念。其次,根据对分形的粗略理解, 我们构建了 Cantor集、Kohn曲线和 Sierpinski集的生成算法,并绘制出它们的有限步图形。 在分析Kohn曲线的过程中,分析构造出一种生成一类分形的方法:等长生成元和可变生成 元。利用这个方法构造出各种奇异的线条以及根据生成元线条几何关系计算了部分图形的维 数。再次,基于不同的目的,这里更加注重于构造分形的三个模型或系统:L系统,迭代函 数系统(IFS)和DLA模型。然后构造出这些模型和系统的算法,同时在生成传统分形的基 础上,用这些算法及其相应的程序,对大量的自然事物进行模拟,例如:柳条,枫树叶,树 枝和凝聚物的生长过程等等。其间,在L系统模拟中,采用基本几何多边形来细化自然树枝 在IFS中利用 matlab计算压缩变换的系数;在DLA模型中用mtab计算了凝聚体的盒维数, 提出了它在大尺度下的模型改造。最后,利用上面的分形模型算法和程序,我们分别在微观 分子尺度、常规尺度和宇宙宏观大尺度上分别考虑并且探讨了分形的应用。从这三个尺度上, 先是利用生成元方法分析了像蛋白质这样的高分子分形结构,并且模拟出一些苯的衍生物 随后综合运用L系统和IFS系统模拟出带分形叶子和花朵的枝条;最终从宇宙的观点,探讨 了宇宙的分形特征并采用分形观点解释了一些现象例如木星的大红、黑斑,月亮的环形山, 并推测出些内在的结果,如陨星的大小分布。 关键字:维数;生成元;传统分形;L系统;迭代函数系统;DLA模型;髙分子;宇宙
2 摘要 自从 B.Mandelbrot 提出分形之后，由于它极其接近于大自然，在很多领域了人们一直进 行相关的研究。在本文中，通过计算机编程语言 Turbo C 模拟出传统分形以及几个具有代表 性的模型或者系统产生的分形图形。首先，我们介绍了被称为分形之父的Mandelbrot 研究的 课题，然后，稍微描述关于分形的定义以及维数方面的概念。其次，根据对分形的粗略理解， 我们构建了 Cantor 集、Kohn 曲线和 Sierpinski集的生成算法，并绘制出它们的有限步图形。 在分析 Kohn 曲线的过程中，分析构造出一种生成一类分形的方法：等长生成元和可变生成 元。利用这个方法构造出各种奇异的线条以及根据生成元线条几何关系计算了部分图形的维 数。再次，基于不同的目的，这里更加注重于构造分形的三个模型或系统：L 系统，迭代函 数系统（IFS）和 DLA 模型。然后构造出这些模型和系统的算法，同时在生成传统分形的基 础上，用这些算法及其相应的程序，对大量的自然事物进行模拟，例如：柳条，枫树叶，树 枝和凝聚物的生长过程等等。其间，在L 系统模拟中，采用基本几何多边形来细化自然树枝 在 IFS 中利用 matlab 计算压缩变换的系数；在 DLA 模型中用 matlab 计算了凝聚体的盒维数， 提出了它在大尺度下的模型改造。最后，利用上面的分形模型算法和程序，我们分别在微观 分子尺度、常规尺度和宇宙宏观大尺度上分别考虑并且探讨了分形的应用。从这三个尺度上， 先是利用生成元方法分析了像蛋白质这样的高分子分形结构，并且模拟出一些苯的衍生物； 随后综合运用L 系统和 IFS系统模拟出带分形叶子和花朵的枝条；最终从宇宙的观点，探讨 了宇宙的分形特征并采用分形观点解释了一些现象例如木星的大红、黑斑，月亮的环形山， 并推测出一些内在的结果，如陨星的大小分布。 关键字：维数；生成元；传统分形；L 系统；迭代函数系统；DLA模型；高分子；宇宙
abstract Since fractal was advanced by B. Mandelbrot, researches on it in many fields have being con- ducted, due to its approaching nature extremely. In this paper, some traditional fractals and some created by several representat ive models or systems, are simulated by computer in a computer language Turbo C. Firstly, regarded as the father of fractal, Mandelbrot is introduced along with his research subjects. Then, there are certain conceptions about the definit ions of fractal and its dimension described ratherish. Secondly, according to glancing comprehension, we construct arithmet ics of the fom about Cantor set, Kohn curve and Sierpinski set, and plot theirfinite figures During the analysis of Kohn curve, a method, named create Element method, is analyzed and conformed in two aspects equal and variable length. Moreover, some fantastic fiactal lines are traced using the method above and we calculate some dimensions of them by the geometrical relation of the element. Thirdly dependent on different purposes, we attach more importance to three of fractal models or systems L-system, IFS system and DLa model. Thereby, the arithmet ics about aforementioned methods or systems are built. At the same time, inchuding the traditional fractals, a mass of natural objects are painted by the programs to arithmetics, such as wicker, maple leaf, branch, the growth of gghut nating matters. Meanwhile, in L-system, braches are fine-drawed with leaves made up of polygons; in IFS, the coefficients of constringent transforms are computed by matlab; in DLa model, besides calculating the box-dimension of clots, we rebuild dla model in the case of large scale Lastly, making use of the arithmetics and corresponding programs of those fractal methods, consider and probe into the application of fractal respectively in three scales small scale of microcosmic molecule, routine scale and large scale of universe. Through these scales, we adop create Element method to analyze the structure of some macromolecules such as protein, and simulate some ramif ications of benzene; thereafter, synthetically utilize L-system and IFS method to create branches with leaves and flowers; in the view of large scale, we discuss the characters of universal fractal, and apply fractal viewpoint to explain some phenomena, for example large red or black spot on Jupiter, ring mountains on moon, and to speculate on connotat ive results such as the size distribution of meteorites. Key Word: dimension; createElemet; traditional fractal L-system; IFS system, DLA model macromolecule: universe
3 Abstract Since fractal was advanced by B.Mandelbrot, researcheson it in many fields have being conducted, due to its approaching nature extremely. In this paper, some traditional fractals and some, created by several representative models or systems, are simulated by computer in a computer language Turbo C. Firstly, regarded as the father of fractal, Mandelbrot is introduced along with his research subjects. Then, there are certain conceptions about the definitions of fractal and its dimension described ratherish. Secondly, according to glancing comprehension, we construct arithmetics of the form about Cantor set, Kohn curve and Sierpinski set, and plot their finite figures. During the analysis of Kohn curve, a method, named createElement method, is analyzed and conformed in two aspects: equal and variable length. Moreover, some fantastic fractal lines are traced using the method above, and we calculate some dimensions of them by the geometrical relation of the element. Thirdly, dependent on different purposes, we attach more importance to three of fractal models or systems: L-system, IFS system and DLA model. Thereby, the arithmetics about aforementioned methods or systems are built. At the same time, including the traditional fractals, a mass of natural objects are painted by the programs to arithmetics, such as wicker, maple leaf, branch, the growth of agglutinating matters. Meanwhile, in L-system, braches are fine-drawed with leaves made up of polygons; in IFS, the coefficients of constringent transforms are computed by matlab; in DLA model, besides calculating the box-dimension of clots, we rebuild DLA model in the case of large scale. Lastly, making use of the arithmetics and corresponding programs of those fractal methods, we consider and probe into the application of fractal respectively in three scales: small scale of microcosmic molecule, routine scale and large scale of universe. Through these scales, we adopt createElement method to analyze the structure of some macromolecules such as protein, and simulate some ramifications of benzene; thereafter, synthetically utilize L-system and IFS method to create branches with leaves and flowers; in the view of large scale, we discuss the characters of universal fractal, and apply fractal viewpoint to explain some phenomena, for example large red or black spot on Jupiter, ring mountains on moon, and to speculate on connotative results such as the size distribution of meteorites. Key Word: dimension; createElemet; traditional fractal ; L-system; IFS system; DLA model; macromolecule; universe
第1章 Mandelbrot与分形 多少世纪以来,欧式几何奠定了整个科学的基础,为人类进行科学研究、生产实践以及 探索自然提供了有力的工具,而欧式几何更是描述的是整数维空间的几何学。然而自从被称 为分形之父的 B Mandelbrot提出了分形这个词眼之后,关于它的研究如雨后春笋般涌现出 来。如今分形的应用涉及到几乎所有的领域,可以说它无处不在。本章将以 Mandelbrot为起 点,一方面介绍它的人物信息来呈现出他所研究的方式、课题及独特的几何观念,另一方面 介绍分形的基础知识,以便后面关于分形模拟和维数计算以及应用方面提供良好的基础 1.1 Mandelbrot与其的研究课题 Mandelbrot不是传统的数学家,在他的分形理论出现之前,他一直不被各领域的科学家 所认同。但是,自从他的分形研究在世人面前展现之后,他的地位扶摇直上,成为世界上最 有名气的科学家之一。之后,科学界曾两次为他举行国际范围的助手活动,对于在不计其数 的众多科学家当中,得到这样的享誉,实在是一件极为不容易的事情。他独持的思维,以及 个人成长背景,我想,正好塑造了他这个科学界的伟人。 为什么我们这里要讨论下 Mandelbrot的一些研究课题呢?一方面是表明他在其所开创 的分形领域所作的实际贡献;另一方面,从他的研究课题中可以理会其研究方法和独特的气 质;还有从其中引出本论文后面所涉及的相关的部分内容以深化理解相关知识。 Mandelbrot可以说是一个博物学家,他个人本身就在多个学科领域“流浪”过。在早期, 他进入物理学、经济学、生理学、语言学和其他一些似乎毫不相关的学科领域,是博学成就 了他的事业,使他成为代伟人。纵观 Mandelbrot的研究领域,可以看出他最擅长用自己的 几何直觉来分析问题。他是一个当今为数不多通过几何观点显现出如此成就的研究者。 ●海岸线 如果问你中国的海岸线有多长,我相信大部分人都会去找到资料,描述它具体有多少公 里。其实,这只是我们作为人所能识别的尺度来测量海岸线所得的长度。以 Mandelbrot的研 究来说,任何海岸线都是无限长的,在这种情况下长度测量已经失去了实际意义,必须找到 个其他的量或者事物来表征不同的海岸线 1967年芒氏在美国的《科学》杂志上专门发表了长度为两页多的报告《英国海岸线有多 长?统计自相似与分数维》,以及在1975出版的《分形对象:形、机遇和维数》也有专门一章 讨论到“布列塔尼的海岸线有多长?”引出的一些概念和理论知识。其实,芒氏和很多科学 伟人一样都是站在“巨人”的肩膀上才获得如此成就。在 Mandelbrot的《英国海岸线有多长? 统计自相似与分数维》文献中,开篇就明确地指出:地理上的曲线都有精细结构,它们的长 度是无穷的,确切地讲是不确定的,而且大多数是统计自相似的,即每个部分认为是整体的 缩小比例的近似。在这种情况下,这篇文章中引出了一个量D,它用来表示自然分形的复杂 程度,也就是通常说的分形维数。在研究海岸线中,他提出了上面所说的“统计自相似”的 概念,也发现出海岸线和它本身的精细结构几乎没有空缺或者交叉点。这与 Mandelbrot后面
4 第1章 Mandelbrot 与分形 多少世纪以来，欧式几何奠定了整个科学的基础，为人类进行科学研究、生产实践以及 探索自然提供了有力的工具，而欧式几何更是描述的是整数维空间的几何学。然而自从被称 为分形之父的 B Mandelbrot 提出了分形这个词眼之后，关于它的研究如雨后春笋般涌现出 来。如今分形的应用涉及到几乎所有的领域，可以说它无处不在。本章将以 Mandelbrot 为起 点，一方面介绍它的人物信息来呈现出他所研究的方式、课题及独特的几何观念，另一方面 介绍分形的基础知识，以便后面关于分形模拟和维数计算以及应用方面提供良好的基础。 1.1 Mandelbrot 与其的研究课题 Mandelbrot 不是传统的数学家，在他的分形理论出现之前，他一直不被各领域的科学家 所认同。但是，自从他的分形研究在世人面前展现之后，他的地位扶摇直上，成为世界上最 有名气的科学家之一。之后，科学界曾两次为他举行国际范围的助手活动，对于在不计其数 的众多科学家当中，得到这样的享誉，实在是一件极为不容易的事情。他独特的思维，以及 个人成长背景，我想，正好塑造了他这个科学界的伟人。 为什么我们这里要讨论下 Mandelbrot 的一些研究课题呢？ 一方面是表明他在其所开创 的分形领域所作的实际贡献；另一方面，从他的研究课题中可以理会其研究方法和独特的气 质；还有从其中引出本论文后面所涉及的相关的部分内容以深化理解相关知识。 Mandelbrot 可以说是一个博物学家，他个人本身就在多个学科领域“流浪”过。在早期， 他进入物理学、经济学、生理学、语言学和其他一些似乎毫不相关的学科领域，是博学成就 了他的事业，使他成为一代伟人。纵观 Mandelbrot 的研究领域，可以看出他最擅长用自己的 几何直觉来分析问题。他是一个当今为数不多通过几何观点显现出如此成就的研究者。 ⚫ 海岸线 如果问你中国的海岸线有多长，我相信大部分人都会去找到资料，描述它具体有多少公 里。其实，这只是我们作为人所能识别的尺度来测量海岸线所得的长度。以Mandelbrot 的研 究来说，任何海岸线都是无限长的，在这种情况下长度测量已经失去了实际意义，必须找到 一个其他的量或者事物来表征不同的海岸线。 1967 年芒氏在美国的《科学》杂志上专门发表了长度为两页多的报告《英国海岸线有多 长?统计自相似与分数维》，以及在 1975 出版的《分形对象：形、机遇和维数》也有专门一章 讨论到“布列塔尼的海岸线有多长？”引出的一些概念和理论知识。其实，芒氏和很多科学 伟人一样都是站在“巨人”的肩膀上才获得如此成就。在 Mandelbrot 的《英国海岸线有多长? 统计自相似与分数维》文献中，开篇就明确地指出：地理上的曲线都有精细结构，它们的长 度是无穷的，确切地讲是不确定的，而且大多数是统计自相似的，即每个部分认为是整体的 缩小比例的近似。在这种情况下，这篇文章中引出了一个量 D，它用来表示自然分形的复杂 程度，也就是通常说的分形维数。在研究海岸线中，他提出了上面所说的“统计自相似”的 概念，也发现出海岸线和它本身的精细结构几乎没有空缺或者交叉点。这与Mandelbrot 后面
将用随机Kohn曲线来近海岸线有一定的关联,关于这个曲线的具体性质和实现过程我们将 在第二章介绍。 既然长度无法表征海片线,那么应该有其他量来描述塔的复杂程度。 Mandelbrot这里就 提到了1961年 Richardson研究的经验数据和经验表达式,并计算出英国西海岸的为数为 1.25维,比通常曲线维数1要大,而且是一个分数。当时 Richardson并未提出分数维的概 念,只是通过经验观察,得出海岸线的长度()与O成正比,其中G是他用来测量海岸 线的比例尺的大小,而得出的结论是α是一个依赖于海岸线的选择。但是由于对同海岸线 的不同区段也得到不同的α,对此 Richardson认为α无特殊意义。但是 Mandelbrot是一个 善于观察的人,他对4()和G作双对数曲线图,得到一个惊人的发现,结果整个曲线几乎 是一条直线,斜率大概是D-1,D就是后面他定义的分形维数,并且其后提出的相似维数我 们后面将会讨论到 前述海岸线在《分形对象:形、机遇和维数》用专门的一章来提及过。其中,他进一步 对分形维数方面的概念及一些问题进行了介绍和分析。譬如维数方面,它重新列举了容量维 数、相似维数和广义维数,提出了内位似和级联的概念。重新对海岸线的粗略模型Koh雪 花曲线以及 Peano曲线引发的问题进行重点分析。这些内容我将在第二章进行详细介绍和分 析。总之,分形概念的提出相当部分应该归功于 Mandelbrot对海岸线的研究,并且他的对前 人的总结和坚决反对世人对他的藐视看法进行驳斥,都为他后来的成就产生深远影响。 随机论 人们在谈到概率分布的时候,立马就会谈到高斯正态分布。因为正态分布实在太普遍了, 以致于将它视为标准,不满足正态分布的被认为是“变态”分布。特别是维纳在研究布运 动中完成了一套漂亮的数学理论之后,是人们对正态分布更是向往,因为维纳对布朗随机过 程的研究用的正是正态分布。正因为正态分布在处理某些问题上取得了空前的成功,所以“非 高斯稳定随即过程”受重视的程度远远不及正态分布。 Mande brot关于随机论方面的研究, 最早是关于词频分布和收入分布方面。后来他又对河水的涨落以及经济学中的收入分布规律 进行过专门探讨。另外,在 Mande brot的整个分形研究中,莱维稳定分布是最为重要的。这 个分布几乎使他的研究完全统一起来,并且也沟通了自然科学中确定论体系和随机论体系。 Mandelbrot的早期,经济学方面是他的重要研究课题。在所有的这类研究中,他似乎只 关心涉及收入分布及其相关的价格问题。然而在他研究的经济学领域,也涉及了多个非髙斯 的稳定概率分布。所谓稳定分布指的是多个独立同分布的随机变量序列经过适当的线性总和 后,其分布仍然保持不变。其中,柯西分布和以及 Mandelbrot后面研究出的负幂律分布(其 中指数介于0和2之间)都属于稳定分布。其实, Mandelbrot在他的大部分经济模型中,体 现出来的就是尺度不变下的不变性,并且期间他提出了标度理论。 同样在随机处理方面,当 Mandelbrot研究海岸线的模型的时候,他曾考虑过用Kohn曲 线来建立模型。随后,他应用随机性来改善Koh曲线使其更加接近于自然界的海岸线。因为 只有运用随杋性,才能寻求掌握未知和不能控制对象的唯·数学模型,他发现这样做效果极 高。对海芹线的随机Kohn模拟可以从第二章描述Kohn曲线时得到。 Julia集和 Mandelbrot集
5 将用随机 Kohn 曲线来近似海岸线有一定的关联，关于这个曲线的具体性质和实现过程我们将 在第二章介绍。 既然长度无法表征海岸线，那么应该有其他量来描述塔的复杂程度。Mandelbrot 这里就 提到了 1961 年 Richardson 研究的经验数据和经验表达式，并计算出英国西海岸的为数为 1.25 维，比通常曲线维数 1 要大，而且是一个分数。当时 Richardson 并未提出分数维的概 念，只是通过经验观察，得出海岸线的长度 L G( ) 与 G 成正比，其中 G 是他用来测量海岸 线的比例尺的大小，而得出的结论是 是一个依赖于海岸线的选择。但是由于对同一海岸线 的不同区段也得到不同的 ，对此 Richardson 认为 无特殊意义。但是 Mandelbrot 是一个 善于观察的人，他对 L G( ) 和 G 作双对数曲线图，得到一个惊人的发现，结果整个曲线几乎 是一条直线，斜率大概是 D −1 ,D 就是后面他定义的分形维数，并且其后提出的相似维数我 们后面将会讨论到。 前述海岸线在《分形对象：形、机遇和维数》用专门的一章来提及过。其中，他进一步 对分形维数方面的概念及一些问题进行了介绍和分析。譬如维数方面，它重新列举了容量维 数、 相似维数和广义维数，提出了内位似和级联的概念。重新对海岸线的粗略模型Kohn 雪 花曲线以及 Peano 曲线引发的问题进行重点分析。这些内容我将在第二章进行详细介绍和分 析。总之，分形概念的提出相当部分应该归功于Mandelbrot 对海岸线的研究，并且他的对前 人的总结和坚决反对世人对他的藐视看法进行驳斥，都为他后来的成就产生深远影响。 ⚫ 随机论 人们在谈到概率分布的时候，立马就会谈到高斯正态分布。因为正态分布实在太普遍了， 以致于将它视为标准，不满足正态分布的被认为是“变态”分布。特别是维纳在研究布朗运 动中完成了一套漂亮的数学理论之后，是人们对正态分布更是向往，因为维纳对布朗随机过 程的研究用的正是正态分布。正因为正态分布在处理某些问题上取得了空前的成功，所以“非 高斯稳定随即过程”受重视的程度远远不及正态分布。Mandelbrot 关于随机论方面的研究， 最早是关于词频分布和收入分布方面。后来他又对河水的涨落以及经济学中的收入分布规律 进行过专门探讨。另外，在 Mandelbrot 的整个分形研究中，莱维稳定分布是最为重要的。这 个分布几乎使他的研究完全统一起来，并且也沟通了自然科学中确定论体系和随机论体系。 Mandelbrot 的早期，经济学方面是他的重要研究课题。在所有的这类研究中，他似乎只 关心涉及收入分布及其相关的价格问题。然而在他研究的经济学领域，也涉及了多个非高斯 的稳定概率分布。所谓稳定分布指的是多个独立同分布的随机变量序列经过适当的线性总和 后，其分布仍然保持不变。其中，柯西分布和以及 Mandelbrot 后面研究出的负幂律分布(其 中指数介于 0 和 2 之间)都属于稳定分布。其实，Mandelbrot 在他的大部分经济模型中，体 现出来的就是尺度不变下的不变性，并且期间他提出了标度理论。 同样在随机处理方面，当 Mandelbrot 研究海岸线的模型的时候，他曾考虑过用 Kohn 曲 线来建立模型。随后，他应用随机性来改善 Kohn 曲线使其更加接近于自然界的海岸线。因为 只有运用随机性，才能寻求掌握未知和不能控制对象的唯一数学模型，他发现这样做效果极 高。对海岸线的随机 Kohn 模拟可以从第二章描述 Kohn 曲线时得到。 ⚫ Julia 集和Mandelbrot 集