Julia集和 Mande brot集的形成分属于迭代函数进行多次迭代产生的无限自相似精细结 构。自从迭代分形提出后,复式迭代过程又成为研究的热点。因为文章研究的限度,本文后 边关于它们的分析几乎没有涉及到,所以这里只是稍作介绍以加深对分形对象的理解。 一个简单明了的数学表达式能隐藏惊人的复杂性,一个简单的二次多项式究竞有什么奥 秘值得如此众多的学者和研究人员来关注。最先,作为动力系统的模型,我们大多数考虑的 是它作为决定性系统来研究其随时间的演化。但是最近的研究就是对这个二次多项式进行复 式迭代,它是属于一种特殊的复动力系统,而这些至今已经有了非常丰富的成果 那么复式迭代是什么呢?从数学上的语言来讲,这样的复动力系统是一个集合到其自身 的映射。也就是说,从某一初始点z出发,作=f(),然后作=2=(=),等等。这样的迭 代序列就是动力系统后续的离散状态,从而数学家们通过它来探索系统长时间的演化。现在 我们将要提到的是 Julia集和 Mande brot集是如何构造出来的 在所有的非线性映射中,多项式映射可以说是最为简单的映射,而 Julia和 Mandelbrot 从最简单的二次多项式的排线性映射/()=2+C着手研究的。对于它所定义的动力系统, 我们己经得到了很多的定义和性质。当对这个二次多项式进行迭代时,我们得到一个复数序 列 …。这样的一个序列可能一直延伸到无穷,也可能保持有界,也就是说保持在 初始点的一个有界范围内。所谓 Julia填充集指的就是所有使迭代序列有界的复数z的集合。 现在我们知道这样的一个多项式的 Julia填充集是复平面上的有界闭子集。而 Julia填充集 的边界则叫做 Julia集,简称J集。据硏究的成果,得知:对于多项式中不同c的取值,它 的形状有很大的变化(当然对其填充集也是如此),它的外形如此多样,此时 Julia填充集可 能是连通的,也可能是非连通的(此时就是一个 Cantor集,后面将涉及到)。J集这样的边界 通常是分形,它的面积为0。因此, Julia集于我们研究的分形联系也非常紧密。在 Julia 关于复式迭代的研究基础上, Mandelbrot发现了 Mandelbrot集,简称M集。它指的是所有 使 Julia填充集成为连通集的复数c的集合。研究指出,M集是平面緊致的,而且是连通的。 同时,M集与 Julia填充集有着惊人的联系:位于M集同·分支上的c点相应的J集极为相 似:当c是M集中的一点时,它也是 Julia填充集中的一点;当绕c点在M集观察一个区域, 然后再 Julia填充集中可以看到它们之间的外观是非常的相似。 ●湍流 流体的运动情况本身是十分复杂的,流体力学就是硏究流体流动的科学,其在生产生活、 科学技术中的应用十分广泛。而湍流现象是流体中的_种更加常见的流动方式,流体在流动 过程中就伴随着大量的涡旋运动,例如ε快速行驶的船在船尾形成的涡旋;点燃的香烟,其 烟气出现的一团团的涡旋;江水在水流急速的情况出现的漩涡等等。湍流是近百年来的个 经典的难于解决的问题,而湍流理论的中心问题是求纳维斯托克斯方程的统计解,而这个方 程无法得到解析解。从它的提出到现在,人们一直在摸索如何求解这个方面,并获得它的部 分性质。 为什么湍流受到如此众多的人关注呢?因为灜流是自然界和工程中普遍地流动现象,对 于湍流问题的正确认识和模化直接影响对自然环节的预测和工程的质量。虽然我们还有很多
6 Julia集和Mandelbrot集的形成分属于迭代函数进行多次迭代产生的无限自相似精细结 构。自从迭代分形提出后，复式迭代过程又成为研究的热点。因为文章研究的限度，本文后 边关于它们的分析几乎没有涉及到，所以这里只是稍作介绍以加深对分形对象的理解。 一个简单明了的数学表达式能隐藏惊人的复杂性，一个简单的二次多项式究竟有什么奥 秘值得如此众多的学者和研究人员来关注。最先，作为动力系统的模型，我们大多数考虑的 是它作为决定性系统来研究其随时间的演化。但是最近的研究就是对这个二次多项式进行复 式迭代，它是属于一种特殊的复动力系统，而这些至今已经有了非常丰富的成果。 那么复式迭代是什么呢？从数学上的语言来讲，这样的复动力系统是一个集合到其自身 的映射。也就是说，从某一初始点 z 出发，作 z f z 1 = ( ) ,然后作 z f z 2 1 = ( ) ,等等。这样的迭 代序列就是动力系统后续的离散状态，从而数学家们通过它来探索系统长时间的演化。现在 我们将要提到的是Julia 集和Mandelbrot 集是如何构造出来的。 在所有的非线性映射中，多项式映射可以说是最为简单的映射，而 Julia 和 Mandelbrot 从最简单的二次多项式的非线性映射 ( ) 2 f z z c = + 着手研究的。对于它所定义的动力系统， 我们已经得到了很多的定义和性质。当对这个二次多项式进行迭代时，我们得到一个复数序 列 z , 1 z , 2 z ,…。这样的一个序列可能一直延伸到无穷，也可能保持有界，也就是说保持在 初始点的一个有界范围内。所谓 Julia 填充集指的就是所有使迭代序列有界的复数 z 的集合。 现在我们知道这样的一个多项式的 Julia 填充集是复平面上的有界闭子集。而 Julia 填充集 的边界则叫做 Julia 集，简称 J 集。据研究的成果，得知：对于多项式中不同c 的取值，它 的形状有很大的变化（当然对其填充集也是如此），它的外形如此多样，此时Julia 填充集可 能是连通的，也可能是非连通的（此时就是一个 Cantor 集,后面将涉及到）。J 集这样的边界 通常是分形，它的面积为 0。因此，Julia 集于我们研究的分形联系也非常紧密。在 Julia 关于复式迭代的研究基础上，Mandelbrot 发现了 Mandelbrot 集，简称 M 集。它指的是所有 使 Julia 填充集成为连通集的复数 c 的集合。研究指出，M 集是平面紧致的，而且是连通的。 同时，M 集与 Julia 填充集有着惊人的联系：位于 M 集同一分支上的 c 点相应的 J 集极为相 似；当 c是 M 集中的一点时，它也是 Julia 填充集中的一点；当绕 c 点在 M 集观察一个区域， 然后再 Julia 填充集中可以看到它们之间的外观是非常的相似。 ⚫ 湍流 流体的运动情况本身是十分复杂的，流体力学就是研究流体流动的科学，其在生产生活、 科学技术中的应用十分广泛。而湍流现象是流体中的一种更加常见的流动方式，流体在流动 过程中就伴随着大量的涡旋运动，例如：快速行驶的船在船尾形成的涡旋；点燃的香烟，其 烟气出现的一团团的涡旋；江水在水流急速的情况出现的漩涡等等。湍流是近百年来的一个 经典的难于解决的问题，而湍流理论的中心问题是求纳维-斯托克斯方程的统计解，而这个方 程无法得到解析解。从它的提出到现在，人们一直在摸索如何求解这个方面，并获得它的部 分性质。 为什么湍流受到如此众多的人关注呢？因为湍流是自然界和工程中普遍地流动现象，对 于湍流问题的正确认识和模化直接影响对自然环节的预测和工程的质量。虽然我们还有很多
的问题悬而未决,但是因为它太接近自然和太符合实际,所以现在一直成为人们关注的焦点 其中,最直接的表现就是纳维-斯托克斯存在性和光滑性已经成为千禧之年大奖难题之一,可 见其重要性。因为这个方程如此重要,很多年来人们从解析的角度做了很多的努力,但是方 程就是无法求解。这时, Mandelbrot从几何形状这样一个全新方式入手,观察湍流的绘画, 速度纪录等等,以方便获得基本的几何直觉。利用自己的研究经验,他也获得了一些猜想, 他认为这些猜想将来一定能够被证明。 Mandelbrot首先硏究利用的他分形中最为重要的概念—自相似。他根据里查逊在气象 研究中与级联有关的旋涡等级层次的概念,着手于湍流级联的自相似。然后, Mandelbrot更 加自信地认为湍流运动的奇异性本身就是分形,他认为:如果维纳-斯托克斯方程的解存在的 话,就是事实上的极限分形,他进而猜想欧拉方程的解奇异性也是分形。在分形的应用关于 宇宙方面的讨论中,涉及到一点点涡漩的分析 1.2分形基础 121基本概念 自相似性、标度不变性和特征长度 我们说一个系统具有自相似性指的是它的某种结构或者过程上的特征从不同的空间或时 间来看是使相似的,或者也可以说这个系统或者结构的局部性质或局域结构与整体类似。 般情况下我们说的自相似性不是简单的比例放大和整体完全重合,其实符合这种性质的分形 自然界是不存在的,只有我们人为构造的自相似结构才存在有这样的性质。但是自然界中表 征自相似系统或者结构的定量属性分形维数,并不会因放大或缩小而变化,我们称这种性质 为伸缩不变性。这也是自相似结构的内在属性。 现在人们枧察到,这种自相似性存在各个领域,如地理、物理、化学、天文学、生物学、 经济学以及社会科学,它其实是自然界的普遍规律之一。前面我们介绍了 Mandelbrot最为关 注的分形主题——海岸线。如果我们是在高空的飞机上观察海岸线,可以看到它是极不规则 和不光滑的曲线构成,由许许多多的半岛和港湾组成。随着我们观察髙度的降低,也就是把 我们的海岸线发达,可发现原来的海湾或半岛由更小的海湾和半岛组成。更进一步,如果我 们徒步在海岸线上行走时,会发现它具有更精细的结构,这就说明海岸线具有自相似结构。 而这样的自相似结构在我们改变测量尺度下,无法确定其真正的长度,也就是前述长度是无 穷大。再看看我们身边的大自然世界,自相似结构无处不在。一棵大树是由一个主干和主干 上的分叉长出的树枝组成。你会发现每截树枝它的生长形态又和一棵整体的树一样,它又有 很多分支。你会看到用石灰粉刷的墙啬壁有象植物根系一样的裂痕,生出魔掌似的的闪电,植 物叶脉的分叉形状,一些蕨类植物的枝叶,这所有所有的都具有自相似结构。在看看我们人 类自己,我们的血液循环系统,它的有动脉、静脉和毛细血管,它们是如此的错落有致,几 乎走遍了我们全部的身体。 在这里我想着重讲述下由中国人创建的新科学—全息生物学。生活在农村小孩子就应 该都很了解:只要将带有枝节的葡萄枝插在有营养的土地里就会长出葡萄藤来;我们现在的 7
7 的问题悬而未决，但是因为它太接近自然和太符合实际，所以现在一直成为人们关注的焦点。 其中，最直接的表现就是纳维-斯托克斯存在性和光滑性已经成为千禧之年大奖难题之一，可 见其重要性。因为这个方程如此重要，很多年来人们从解析的角度做了很多的努力，但是方 程就是无法求解。这时,Mandelbrot 从几何形状这样一个全新方式入手，观察湍流的绘画， 速度纪录等等，以方便获得基本的几何直觉。利用自己的研究经验，他也获得了一些猜想， 他认为这些猜想将来一定能够被证明。 Mandelbrot 首先研究利用的他分形中最为重要的概念---自相似。他根据里查逊在气象 研究中与级联有关的旋涡等级层次的概念，着手于湍流级联的自相似。然后，Mandelbrot 更 加自信地认为湍流运动的奇异性本身就是分形，他认为：如果维纳-斯托克斯方程的解存在的 话，就是事实上的极限分形，他进而猜想欧拉方程的解奇异性也是分形。在分形的应用关于 宇宙方面的讨论中，涉及到一点点涡漩的分析。 1.2 分形基础 1.2.1 基本概念 ⚫ 自相似性、标度不变性和特征长度 我们说一个系统具有自相似性指的是它的某种结构或者过程上的特征从不同的空间或时 间来看是使相似的，或者也可以说这个系统或者结构的局部性质或局域结构与整体类似。一 般情况下我们说的自相似性不是简单的比例放大和整体完全重合，其实符合这种性质的分形 自然界是不存在的，只有我们人为构造的自相似结构才存在有这样的性质。但是自然界中表 征自相似系统或者结构的定量属性分形维数，并不会因放大或缩小而变化，我们称这种性质 为伸缩不变性。这也是自相似结构的内在属性。 现在人们观察到，这种自相似性存在各个领域，如地理、物理、化学、天文学、生物学、 经济学以及社会科学，它其实是自然界的普遍规律之一。前面我们介绍了Mandelbrot 最为关 注的分形主题——海岸线。如果我们是在高空的飞机上观察海岸线，可以看到它是极不规则 和不光滑的曲线构成，由许许多多的半岛和港湾组成。随着我们观察高度的降低，也就是把 我们的海岸线发达，可发现原来的海湾或半岛由更小的海湾和半岛组成。更进一步，如果我 们徒步在海岸线上行走时，会发现它具有更精细的结构，这就说明海岸线具有自相似结构。 而这样的自相似结构在我们改变测量尺度下，无法确定其真正的长度，也就是前述长度是无 穷大。再看看我们身边的大自然世界，自相似结构无处不在。一棵大树是由一个主干和主干 上的分叉长出的树枝组成。你会发现每截树枝它的生长形态又和一棵整体的树一样，它又有 很多分支。你会看到用石灰粉刷的墙壁有象植物根系一样的裂痕，生出魔掌似的的闪电，植 物叶脉的分叉形状，一些蕨类植物的枝叶，这所有所有的都具有自相似结构。在看看我们人 类自己，我们的血液循环系统，它的有动脉、静脉和毛细血管，它们是如此的错落有致，几 乎走遍了我们全部的身体。 在这里我想着重讲述下由中国人创建的新科学——全息生物学。生活在农村小孩子就应 该都很了解：只要将带有枝节的葡萄枝插在有营养的土地里就会长出葡萄藤来；我们现在的
吃的薯片以及番薯等等在大面积种植的时候,它并不是由番薯一个个种下去的,而是把种薯 长出来的藤条剪成许多带叶子的小段,每段插在地里,就可以长出番薯来,不过种植的时候 一般在下雨天:;种马铃薯的时候,把马铃薯块茎用刀削开几个口子,就可以生长:;以前见过 月季、菊花、仙人掌类、苹果和梨等通过嫁接生长。这样的植物的根茎、枝条、叶子都包含 了植物生长的全部信息,也就是说它存有一整套的基因,它们都能培育成一个完整的植物个 体,也就正好反映了植物本身所具有的自相似性。我们所说的全息生物学研究的就是生物体 部分和整体或者部分和部分在生物学特性上全息相关的规律以及其应用。其中提出的相似度 的概念就是表示对应部分之间生物学特性相似程度的大小,全息胚的相似度越大,则全息胚 之间在形态和结构上越相似,如株植物的叶子之间,从而在后边引出了生成元生成分形的 算法 我们在这里指出一个具有自相似特性的系统必定满足标度不变性。那么什么是标度不变 性呢?我们这里还是用拿一个岛屿作为例子:如果你从高空中观察,你会看到这个岛屿的边 界是如此的比规则,它由很多凹凸部分,以及一些零碎的小岛屿组成。在近看,你会看到岛 屿的一个区段的边界,你发现在这些凹凸部分之上又不断地“冒出”很多小的凹凸部分。接 下来你来到这个岛屿的一个海滩,你发现这个海滩,也不是一条直线,它可能会有很多零碎 地时候,弯曲的沙滩向两边延伸。最后你对具体一个石头,你也会发现其实石头也是如此的 凹凸不平,……。从中你可以看出每次的这种类似放大的过程,每次看到的图像是如此的相 似。因此,所谓标度不变性是指在分形上的任选一局部区域,对它进行放大后,得到的放大 图又会显示出原图的形态特征,它的形态、复杂程度、不规则形等方面都不发生变化。 我们指出自相似体没有特征长度,一般认为能代表物体的几何特征的长度就可以说是该 物体的特征长度。如一个球的半径,桌子的边边长,人的身高,江河的官邸等。如果我们对 物体稍加简化,而物体的特征长度不变,那么它的几何性质就不会有太多的变化。我们把一 个原木和在远处的电线杆一起树立,它们之间没有太大的差别。这些具有特征长度的最基本 形状都有一个共同的性质,它们都是平滑几乎处处可微的。其实我们描述的这类物体是一种 对现实事物理想化和简单化的产物,可以说自然界不存在有这种有特征长度的物体,相当 部分我们见到的就是没有特征长度的分形。例如云就是具有自相似性的物体,我们对云的边 界描述,它不是球的_部分表面。如果要细致的描述,可以由·部分小的球表面的结合,然 而要完全描述云的话,那么必须有无穷个这样的球表面进行结合才能表现出云的如此复杂的 自相似表面。其实我们这里提出的自相似和标度不变性还有特征长度都有非常密切的联系, 自相似的物体必然满足标度不变性,而且它没有特征长度。 分形的概念 现在我们知道分形理论中很多概念早在 Mande brot很久之前就已经出现了,例如 Haus dorff维数、 Cantor集、 von Koch雪花等等。很多这样的处处不可微的图形,被称为反 常的现象,但是 Mande brot却从中发现如今世界举目的分形,并创立了分形几何学,如今分 形在各个领域的应用在短短的二、三十年中就迅猛发展 于是, Mandelbrot在最初研究分形的时候,尝试给分形下一个明确的定义:分形是满足 dorff- Besicovitch维数严格大于其拓扑维数的集合。这里边引入了 Hausdorff维数的 概念,它将在接下来的维数一节中介绍。我们说的集合的拓扑维数都是早就为人接受的非负 整数维。即一个点是零维,直线线是1维的,平面是2维的,空间是3维的,……。但这也
8 吃的薯片以及番薯等等在大面积种植的时候，它并不是由番薯一个个种下去的，而是把种薯 长出来的藤条剪成许多带叶子的小段，每段插在地里，就可以长出番薯来，不过种植的时候 一般在下雨天；种马铃薯的时候，把马铃薯块茎用刀削开几个口子，就可以生长；以前见过 月季、菊花、仙人掌类、苹果和梨等通过嫁接生长。这样的植物的根茎、枝条、叶子都包含 了植物生长的全部信息，也就是说它存有一整套的基因，它们都能培育成一个完整的植物个 体，也就正好反映了植物本身所具有的自相似性。我们所说的全息生物学研究的就是生物体 部分和整体或者部分和部分在生物学特性上全息相关的规律以及其应用。其中提出的相似度 的概念就是表示对应部分之间生物学特性相似程度的大小，全息胚的相似度越大，则全息胚 之间在形态和结构上越相似，如一株植物的叶子之间，从而在后边引出了生成元生成分形的 算法。 我们在这里指出一个具有自相似特性的系统必定满足标度不变性。那么什么是标度不变 性呢？我们这里还是用拿一个岛屿作为例子：如果你从高空中观察，你会看到这个岛屿的边 界是如此的比规则，它由很多凹凸部分，以及一些零碎的小岛屿组成。在近看，你会看到岛 屿的一个区段的边界，你发现在这些凹凸部分之上又不断地“冒出”很多小的凹凸部分。接 下来你来到这个岛屿的一个海滩，你发现这个海滩，也不是一条直线，它可能会有很多零碎 地时候，弯曲的沙滩向两边延伸。最后你对具体一个石头，你也会发现其实石头也是如此的 凹凸不平，……。从中你可以看出每次的这种类似放大的过程，每次看到的图像是如此的相 似。因此，所谓标度不变性是指在分形上的任选一局部区域，对它进行放大后，得到的放大 图又会显示出原图的形态特征，它的形态、复杂程度、不规则形等方面都不发生变化。 我们指出自相似体没有特征长度，一般认为能代表物体的几何特征的长度就可以说是该 物体的特征长度。如一个球的半径，桌子的边边长，人的身高，江河的官邸等。如果我们对 物体稍加简化，而物体的特征长度不变，那么它的几何性质就不会有太多的变化。我们把一 个原木和在远处的电线杆一起树立，它们之间没有太大的差别。这些具有特征长度的最基本 形状都有一个共同的性质，它们都是平滑几乎处处可微的。其实我们描述的这类物体是一种 对现实事物理想化和简单化的产物，可以说自然界不存在有这种有特征长度的物体，相当一 部分我们见到的就是没有特征长度的分形。例如云就是具有自相似性的物体，我们对云的边 界描述，它不是球的一部分表面。如果要细致的描述，可以由一部分小的球表面的结合，然 而要完全描述云的话，那么必须有无穷个这样的球表面进行结合才能表现出云的如此复杂的 自相似表面。其实我们这里提出的自相似和标度不变性还有特征长度都有非常密切的联系， 自相似的物体必然满足标度不变性，而且它没有特征长度。 ⚫ 分形的概念 现在我们知道分形理论中很多概念早在 Mandelbrot 很久之前就已经出现了，例如 Hausdorff 维数、Cantor 集、von Koch 雪花等等。很多这样的处处不可微的图形，被称为反 常的现象，但是 Mandelbrot 却从中发现如今世界举目的分形，并创立了分形几何学，如今分 形在各个领域的应用在短短的二、三十年中就迅猛发展。 于是，Mandelbrot 在最初研究分形的时候，尝试给分形下一个明确的定义：分形是满足 Hausdorff-Besicovitch 维数严格大于其拓扑维数的集合。这里边引入了 Hausdorff 维数的 概念，它将在接下来的维数一节中介绍。我们说的集合的拓扑维数都是早就为人接受的非负 整数维。即一个点是零维，直线线是 1 维的，平面是 2维的，空间是 3 维的，……。但这也
有一些分形如 Peano曲线它们的维数是2维的。因此,后来 Mandelbrot又重新修改了他对分 形的定义:部分与整体以某种方式相似的图形称为分形。这个定义重点体现的是分形具有自 相似结构,着重提显出分形的局部与局部、局部与整体在形态、功能和性质等方面的相似性, 但是这样不能解释像直线、圆等不是分形。这样,从严格意义上对分形进行严格定义比较困 难。这样我们总结自然界的分形,它应该具有的性质和特征,归纳这样一个集合F可能是分 形的观点。集合F是分形,如果它满足如下几个典型性质: ①F具有无限的精细结构,即在任意小的尺度下,它一直存在有与整体相似的细节; ②F是破碎不规整的,它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述 ③F通常有自相似结构,这种自相似可以是完全自相似的,也可以是统计意义下的 ④一般情况下,F的某种定义下的分形维数大于它的拓扑维数 ⑤一般F以非常简单的方法确定,可能由迭代过程产生 上面所说的分形具有的这些性质用来完全确定分形也仍然不很明确,里边的这些性质的 说法也是模棱两可的。但是从这个定义形式下,我们大致了解到分形大概的特征,甚至可以 想象到分形具有的简单美和复杂美 122维数 分形提出不到半个世纪,它的应用可算是空前绝后,但如今没有一个有关于分形的确切 定义。同样关于分形图形维数的计算方法也是多种多样,对不同的问题采用不同定义计算维 数。本节主要介绍分形维数最初的理论基础定义 asdorff维数和后面本文模拟分形的维数 的计算用到的盒维数和相似维数的定义 ● Hausdorff维数 在所有我们分析的分形维数中, Hausdorff维数可以说是最古老最重要的一种。它的优 点在于它适用于任何点集,同时它也是建立在测度的基础上,数学上的研究要很方便。正是 由于至一点,很多情况下,用来实际计算或估计集合的维数时,却比较难。但它作为数学理 论上的应用是有特别重要的地位。在我们介绍 Hausdorff维数之前,我们必须先说明下 Hausdorff测度的概念,这纯属数学上的定义。 Hausdorff测度 假设U为欧式空间R”中任意非空子集,且U的直径的定义为 即U内任意两点距离的最大值。如果(们是有限或者可数个 点集构成的点集序列,则我们说{)构成点集F的一个6-覆盖,也就是说 对v且有0<6,满足 Fcl 此时,如果有F为R中的任意子集,S是一个非负数,我们考察对任意直径不超过O的
9 有一些分形如 Peano 曲线它们的维数是 2维的。因此，后来 Mandelbrot 又重新修改了他对分 形的定义：部分与整体以某种方式相似的图形称为分形。这个定义重点体现的是分形具有自 相似结构，着重提显出分形的局部与局部、局部与整体在形态、功能和性质等方面的相似性， 但是这样不能解释像直线、圆等不是分形。这样，从严格意义上对分形进行严格定义比较困 难。这样我们总结自然界的分形，它应该具有的性质和特征，归纳这样一个集合F可能是分 形的观点。集合F 是分形，如果它满足如下几个典型性质： ① F 具有无限的精细结构，即在任意小的尺度下，它一直存在有与整体相似的细节； ② F 是破碎不规整的，它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述； ③ F 通常有自相似结构，这种自相似可以是完全自相似的，也可以是统计意义下的； ④ 一般情况下，F 的某种定义下的分形维数大于它的拓扑维数； ⑤ 一般 F 以非常简单的方法确定，可能由迭代过程产生。 上面所说的分形具有的这些性质用来完全确定分形也仍然不很明确，里边的这些性质的 说法也是模棱两可的。但是从这个定义形式下，我们大致了解到分形大概的特征，甚至可以 想象到分形具有的简单美和复杂美。 1.2.2 维数 分形提出不到半个世纪，它的应用可算是空前绝后，但如今没有一个有关于分形的确切 定义。同样关于分形图形维数的计算方法也是多种多样，对不同的问题采用不同定义计算维 数。本节主要介绍分形维数最初的理论基础定义Huasdorff 维数和后面本文模拟分形的维数 的计算用到的盒维数和相似维数的定义。 ⚫ Hausdorff 维数 在所有我们分析的分形维数中，Hausdorff 维数可以说是最古老最重要的一种。它的优 点在于它适用于任何点集 ，同时它也是建立在测度的基础上，数学上的研究要很方便。正是 由于至一点，很多情况下，用来实际计算或估计集合的维数时，却比较难。但它作为数学理 论上的应用是有特别重要的地位。在我们介绍 Hausdorff 维数之前，我们必须先说明下 Hausdorff 测度的概念，这纯属数学上的定义。 Hausdorff 测度： 假 设 U 为 欧 式 空 间 n R 中 任 意 非 空 子 集 ， 且 U 的 直 径 的 定 义 为 U x y x y U = − sup : , ，即 U 内任意两点距离的最大值。如果 Ui 是有限或者可数个 点集构成的点集序列，则我们说 Ui 构成点集 F 的一个 −覆盖 ，也就是说： 对 i 且有 0 Ui ，满足 1 i i F U = (1.1) 此时，如果有 F 为 n R 中的任意子集， s 是一个非负数，我们考察对任意直径不超过 的
F的覆盖,使得这些直径幂的和最小,即定义 x(F)=mf∑:}为P的任意。-覆盖 已经知道δ减少时,(F)随之增加,所以当δ→0时,我们记极限值为 (F)=lima( 其中对于任意的子集F这样的极限值都存在,且极限值一般为0或者∞。此时我们称(1.3) 中的(F)为F的s维 Hausdorfi测度。从定义可以看出,空集的 Hausdorff维数为0, 且若EsF,则(B)≤x(F) Hausdorff维数: Hausdorff测度是对长度,面积和体积的推广。我们知道当尺度比例放大k倍时,相应 的长度、面积和体积将分别放大k、k2和k倍,其中的指数1,2和3就是通常所说的拓扑 维数。对于s维 Hausdorff测度而言,将放大k倍 此时,我们从式(.2)和式(1.3)反过来看s。容易看出对任意的点集F以及< 对s的增加它是不增的,且如果r>S,则有 ∑≤8-∑U(1)是F的-覆盖 两边同时取下确界就得到 x6(F)≤ox(F) 令6→0,可知若x(F)<∞,则x(F)=0,当1<,则(F)=∞。此时,也就是说 存在的一个临界值使得(F)从∞跳跃到0,我们称这个临界值为F的sdor维数 记为dmz(F) 。精确地表示为 dimu(F)=inf(s: r(F)=0)=sup(S: r"(F) 此时可知到dmn(F)可取0或无穷或者两者之间 ●盒维数 盒维数( Box dimension)也称为计盒维数或容量维数。由于盒维数的计算相对于其他维数
10 F 的覆盖，使得这些直径幂的和最小，即定义： ( ) s 1 inf : s i i i F U U F = = − H 为 的任意 覆盖 (1.2) 已经知道 减少时， ( ) s H F 随之增加，所以当 →0 时，我们记极限值为 ( ) ( ) s s 0 F F lim → H H = (1.3) 其中对于任意的子集 F 这样的极限值都存在，且极限值一般为 0 或者 。此时我们称(1.3 ) 中的 ( ) s H F 为 F 的 s 维 Hausdorff 测度。从定义可以看出，空集的 Hausdorff 维数为 0， 且若 E F ，则 ( ) ( ) s s H H E F 。 Hausdorff 维数： Hausdorff 测度是对长度，面积和体积的推广。我们知道当尺度比例放大 k 倍时，相应 的长度、面积和体积将分别放大 k 、 2 k 和 3 k 倍，其中的指数 1，2 和 3就是通常所说的拓扑 维数。对于s 维Hausdorff 测度而言，将放大 s k 倍。 此时，我们从式(1.2)和式(1.3)反过来看 s。容易看出对任意的点集 F 以及 1， ( ) s H F 对 s 的增加它是不增的，且如果 t s ，则有 t s t s i i i i U U − ， Ui 是 F 的 −覆盖 两边同时取下确界就得到 ( ) ( ) t s t s F F − H H 令 →0 ,可知若 ( ) s H F ，则 ( ) t H F = 0 ，当 t s ，则 ( ) t H F = 。此时，也就是说， 存在 s 的一个临界值使得 ( ) s H F 从 跳跃到 0，我们称这个临界值为 F 的 Hausdorff 维数， 记为 dimH (F) 。精确地表示为 ( ) ( ) ( ) s s dim inf : 0 sup : H F s F s F = = = = H H ， 此时可知到 dimH (F) 可取0 或无穷或者两者之间。 ⚫ 盒维数 盒维数(Box dimension)也称为计盒维数或容量维数。由于盒维数的计算相对于其他维数