2.时域循环移位定理 设x(m)是长度为N的有限长序列,y(n)为x(m)的循 环移位,即 y(n=x((n+mNRN( Y(k)=DFT Ly(n) =W如mNX(k) (3.2.3) 其中Ⅹ(k)=DFT[x(m)],0≤k≤N-1
2. 时域循环移位定理 设x(n) 是长度为N的有限长序列， y(n)为x(n)的循 环移位， 即 y(n)=x((n+m))NRN(n) 则 Y(k)=DFT［y(n)］ =W-km NX(k) (3.2.3) 其中X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1
证明 y(k)=DFTLy(n) ∑x(mn+m)R3(mW如 ∑x(n+m)W 令n+m=n’,则有 N-1+m Y(k)=∑x(m)、WA ∑x(m)W
证明： 1 0 1 0 ( ) [ ( )] (( )) ( ) (( )) N kn N N N n N kn N N n Y k DFT y n x n m R n W x n m W − = − = = = + = + 令n+m=n′ ， 则有 1 ( ) 1 ( ) (( )) (( )) N m k n m N N n m N m kn kn N N N n m Y k x n W W x n W − + − = − + − = = =
由于上式中求和项x(n)Wm以N为周期,所以 对其在任一周期上的求和结果相同。将上式的求和区 间改在主值区则得 Y(k)=W∑x(m)如 W∑x(n)形 WN X(k) 3.频域循环移位定理如果 X(k)=DFT[x(n)],0≤k≤N-1 Y(k)=X(k+DNRN(k) Al y(n)=IDFT LY(k)]=WnNx(n) (32.4)
由于上式中求和项x((n′))NWkn′ N以N为周期， 所以 对其在任一周期上的求和结果相同。 将上式的求和区 间改在主值区则得 1 1 0 ( ) (( )) ( ) ( ) N km kn N N N n N km kn N N n km N Y k W x n W W x n W W X k − − − − = − = = = 3. 频域循环移位定理如果 X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1 Y(k)=X((k+l))NRN(k) 则 y(n)=IDFT［Y(k)］=Wnl Nx(n) (3.2.4)
3.23循环卷积定理 有限长序列x(n)和x2n),长度分别为N1和N2, N=max[N1,N2]。x1(n)和xn)的N点DFT分别为: X, (k)=DFT LX,(n)J X,(k)=DFT LX,(b)] 如果 X(k)=x1(k)·X2(k) 则 x(n)=DFT[X(k)=∑x(m)(n-m)R、(n)(3.25) x(n)=IDFTIX(k)]=2 x2(m)(n-m)RN(n)
3.2.3 循环卷积定理 有限长序列x1 (n)和x2 (n)， 长度分别为N1和N2， N=max［ N1 , N2 ］。 x1 (n)和x2 (n)的N点DFT分别为： X1 (k)=DFT［x1 (n)］ X2 (k)=DFT［x2 (b)］ 如果 X(k)=X1 (k)·X2 (k) 则 1 1 0 ( ) [ ( )] ( )(( )) ( ) N N N m x n IDFT X k x m n m R n − = = = − (3.2.5) 1 2 0 ( ) [ ( )] ( )(( )) ( ) N N N m x n IDFT X k x m n m R n − = = = −
般称(32.5)式所表示的运算为xl(n)与x2(n)的循 环卷积。下面先证明(325)式,再说明其计算方法 证明:直接对(325)式两边进行DFT X(k)=DFTx(n ∑x(m)x2(n-m)R3(m)W ∑x(m)∑x2(n-m)W 令nm=n',则有 N-1-m X(k)=∑x(m)∑x2(m)W N-1-m ∑x(m)W∑x2(m)形
一般称(3.2.5)式所表示的运算为x1(n)与x2(n)的循 环卷积。 下面先证明(3.2.5)式， 再说明其计算方法。 证明： 直接对(3.2.5)式两边进行DFT 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0 ( ) [ ( )] [ ( ) (( )) ( )] ( ) (( )) N N kn N N N n m N N kn N N n m X k DFT x n x m x n m R n W x m x n m W − − = = − − = = = = − = − 令n-m=n′， 则有 1 1 ( ) 1 2 0 1 1 1 2 0 ( ) ( ) (( )) ( ) (( )) N N m k n m N N m n m N N m km kn N N N m n m X k x m x n W x m W x n W − − − + = =− − − − = =− = =