利用有限元法对板坯电磁搅拌中电磁场的数值模拟

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2004.01.025 第26卷第1期 北京科技大学学报 VoL.26 No.1 2004年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feb.2004 利用有限元法对板坯电磁搅拌中 电磁场的数值模拟 李光李华德 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要基于Maxwell方程，建立了板坯内部电磁场的数学模型.为了满足计算机求解的需 要，对数学模型进行了离散化和简化处理.使用有限元法对简化后的数学模型进行了仿真，得 到了电磁场等势线图和磁力分布图.通过对磁场分布进行定性分析，得到了在其他条件不变 的情况下，电磁力和电流强度、电磁力和电流频率的变化关系， 关键字电磁搅拌：有限元法：数值模拟 分类号TM152 电磁搅拌器是连铸生产中的一个重要装置， 磁场，钢水就会在电磁力的作用下运动，从而达 主要用于改善钢坯质量.电磁搅拌是通过在液芯 到搅拌的目的 外部加上电磁场，使液芯在电磁力的驱使下运动 从而达到搅拌的目的.仅就电磁搅拌而言，有多 种因素决定钢坯质量，其中包括钢种、钢坯断面、 绕组 拉速、搅拌器型号及安装位置等川，当这些因素一 凝固壳 定的情况下，钢坯质量将主要由搅拌强度决定回： 而搅拌强度又主要取决于搅拌器的输入电流和 液芯，电磁 搅拌区域 输入频率两个参数，在实际应用中，这两个参数 大都靠经验选取，因此，如果在其他条件一定的 情况下，能找出搅拌强度和给定电流、频率的关 系，对选取合适的电流和频率给定值具有一定的 实际意义. 本文以板坯的电磁搅拌为例，建立了板坯内 图1二冷区的板还电磁搅拌示意图 部的电磁场模型，并分析了电磁场的分布、磁力 Fig.1 Electromagnetic stirring in S-EMS 的分布以及电流一搅拌力、颜率一搅拌力间的关 (I)为简化问题，作以下基本假设：(a)以板坯 系.通过这些初步研究，希望能为建立更为精确 的断面为研究区域，即仅研究二维情况：（⑥）忽略 的给定参数和搅拌效果的关系打下一定的基础. 重力的影响：(c)将液芯区域视为刚体：(d)不考虑 1问题描述 热传导等。 (2)边界条件.激励源从边界1,3上加入，且 以在二冷区对板坯的电磁搅拌为例作电磁 符合诺依曼边界条件，即 场分析（见图1）.在板坯的外侧有一层凝固的钢 on,=Rs). u 壳.板坯的上下面为辊子，辊子内部通有绕组，当 其中，fs)=Jne-m=√2 nwK.I/pd),m为相数，w为 在线圈中通入低频电流时，在液芯处产生稳旋电 绕组匝数，K为绕组系数，I为励磁电流，p为极对 数，d为极距，q为气隙. 收稿日期2003-06-10李光男，25岁，硕士研究生

第 2 6 卷 第 1 期 2 0 04 年 2 月 北 京 科 技 大 学 学 报 JO u rn a l fo U n 扮 e rs iyt o f s c i e n ec a n d eT c h . o】o yg B e ji 妞 g 、勺 L26 N 0 . 1 F e b 。 2 00 4 利用有限元法对板坯 电磁搅拌 中 电磁场 的数值模拟 李 光 李华德 北 京科 技大 学信 息工 程学 院 , 北京 10 0 0 83 摘 要 基 于 M a x w e l l 方程 , 建立 了板坯 内部 电磁 场 的数 学模型 . 为 了满 足计 算 机求 解 的需 要 ,对 数学 模型 进行 了离散 化和 简化 处理 . 使用有 限元 法对 简化后 的数 学模型进 行 了仿真 , 得 到 了 电磁场 等势 线 图和磁 力 分布 图 . 通 过对磁 场 分布 进行 定性 分析 , 得 到 了在 其 他条 件不 变 的情 况 下 , 电磁 力和 电流 强度 、 电磁 力和 电流 频 率的 变化 关系 . 关键 字 电磁 搅拌 ; 有 限元 法 : 数值模 拟 分 类号 T M 1 52 电磁搅 拌器 是 连铸 生 产 中 的一个 重 要装 置 , 主 要用 于 改善钢 坯 质量 . 电磁搅拌 是通 过 在液芯 外 部加 上 电磁场 , 使液 芯 在 电磁 力 的驱 使下运 动 从 而 达 到搅 拌 的 目的 . 仅就 电磁搅拌 而 言 , 有 多 种 因素 决定钢坯 质 量 , 其中包括 钢种 、 钢 坯 断面 、 拉 速 、 搅拌 器 型号 及安 装位 置等 LI] , 当这些 因素 一 定 的情 况下 , 钢 坯 质量 将主要 由搅拌强 度决 定仪, ; 而搅 拌 强 度 又 主要 取 决 于 搅 拌 器 的输入 电流 和 输 入 频 率两 个 参数 . 在 实 际应 用 中 , 这 两个 参 数 大都 靠 经验 选 取 . 因此 , 如果 在 其他 条 件 一定 的 情况 下 , 能找 出搅 拌 强 度和 给 定 电流 、 频 率 的关 系 , 对选 取合 适 的 电流 和 频 率给 定值具有 一 定的 实际意 义 . 本 文 以板 坯 的 电磁 搅拌 为例 , 建 立 了板坯 内 部 的 电磁场 模 型 , 并分 析 了电磁 场 的分 布 、 磁 力 的分 布 以及 电流一搅拌 力 、 频率一搅 拌 力 间的关 系 . 通 过 这些 初 步 研究 , 希 望 能为 建 立更 为精确 的给 定 参数 和搅 拌效 果 的关 系打 下 一定 的基础 . 磁 场 , 钢 水 就会在 电磁 力 的作 用 下运动 , 从而 达 到 搅拌 的 目的 . 液芯 , 电磁 搅拌区域 图 1 二冷 区的板坯 电磁搅拌 示 愈 图 F i g . I E城t功m a gn 比c s份血9 in -s E M S 1 问题 描述 以在 二 冷 区对 板 坯 的 电磁 搅 拌 为 例 作 电磁 场 分析 ( 见 图 1) . 在 板坯 的外侧有一 层凝 固的钢 壳 . 板坯 的上下 面 为辊 子 . 辊子 内部 通有 绕组 . 当 在线 圈中通 入低 频 电流 时 , 在液芯 处产 生稳 旋 电 ( l) 为简化 问题 , 作 以下基 本假 设 : (a) 以板 坯 的 断面 为 研究 区域 , 即仅研 究二 维情 况 ; (b) 忽 略 重 力 的影 响 : c( ) 将液 芯 区 域视 为 刚体 ; (d) 不 考 虑 热传 导 等 . (2 ) 边 界条 件 . 激励源 从 边 界 1 , 3 上 加 入 , 且 符 合诺 依 曼边 界条 件 , 即 韶 , 一 f(s , · 其 中 , fs( ) = 森 e 枷 一 功二拒脚” 话二I/ 勿刃 , m 为相 数 , w 为 绕组 匝数 , wK 为绕 组 系数 , I 为 励磁 电流 , P 为极对 数 , d 为极 距 , q 为气 隙 . 收稿 日期 2 0 03 刁卜10 李 光 男 , 25 岁 , 硕士 研究生 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 2004. 01. 025

·96· 北京科技大学学报 2004年第1期 假设2,4的边界值相差Az周期的整数，则 可以简化为： A水=Ak. 7A=-W (7 (3)基本参数.板坯的断面为250mm×1000 其中， J=E+vxrotA (⑧) mm,线圈电流1为5kA,频率f为1Hz,m=2,w=3, 所以： VA=-uJ=(E+vxrotA) (9) K-0.6,p=2,9=0.02m. 对于平面场，A只有一个分量A2,v只有一个分量 y,且=2f1-3)(s为滑差率，d为极距)，则： 2基本原理 aA红k V0=:-=- 21电磁场的数学描述 (ixi=0;ixj=k) (10) Maxwell方程组是研究一切电磁现象的基 假设A仅在z方向上，则激励磁势可表示为： 石，它主要有四大定律组成：高斯定理、法拉第电 A(xy,t)A(y)ex=Az (11) 磁感应定律、安培环路定律和无磁单极法则. 对于(n.0=jA6中=jd (12) 了×H=J+ aD 驶-培40e-骨 (13) VxE-- B (1) 将(10(13)代入(9)得： 7.B=0 整+誥-减at+2-(-骨M-o 7.D=p (14) 另外，还有三个辅助方程用于表征电场和磁 此式就是适用于此例的电磁场的二维表达式. 场间有关的物理量的关系： 22电磁场方程的变分及离散化 D=EE 对于一般的电磁场问题可用二阶势函数和 B=uH (2) 边界条件来表示， J.=yE 二阶势函数： 由Maxwell方程组可以看出，电磁变量是相 互交织在一起的，这样给数值求解带来了难度. -7.(k7pta肿=q(∈w) (15) 狄利克莱条件： 为此，笔者通过定义一个标量电势和一个矢量磁 中=g(∈) (16) 势的方法（一中法），将电场变量和磁场变量分 诺伊曼条件： 开，形成两个独立的电场和磁场偏微分方程，以 (k7φ)n+o冲=h(∈I) (17) 便于数值计算， 引入矢量磁势A(单位为b/m)和标量电势 其中，g,h,o为位置的一般函数，m为边界曲面的 外向单位法向量，·是狄利克莱边界，T2是诺伊 中（单位为V): 曼边界.对于此类问题的泛函形式为： B=V×A (3) B=-0-沿 (4) F=vd0+号J0d0 根据此条件，可以推导出形式上完全对称的 00+号o0-201r (18) 电场和磁场势函数方程. 对于所研究的问题，k=1,a=4osj@,9=0,c=0,h= 02A 72A-46济=-W (5) 一H,则： .02Φ 7中-u6=49 (6) F4)= 由(5)，(6)两式可以看出，这两个方程将电势 2∬4r∫HAd (19) 和磁势分开表示，并且有对称的形式，给求解带 经离散化处理后，整个场域内的能量泛函可以表 来了方便.式（⑤）表明磁势由电流激励J产生，且 示为遍及所有三角元的能量泛函的总合，若有 是时间、位置和材料的函数：式(6)表明电势由电 个单元，个节点，则泛函的形式可以表示为： 荷激励ρ产生，且是时间、位置和材料的函数. F0=F.d=FA,A,…,Ao) (20) 就导电媒质中的电磁场而言，分析时一般忽 而变分问题即被离散化为一多元函数的极值问 略其中位移电流的影响，也就是说，是在似稳场 题： 的条件下考虑闭.当不考虑位移电流项时，式（⑤） F(A)=FA,AzA)=min (21)

. , 6 . 北 京 科 技 大 学 学 报 2 0 4 年 第 1期 假 设 2, 4 的边 界值 相 差 zA 周 期 的整数 , 则 A lz , = Ajz , . (3 ) 基 本 参数 . 板 坯 的断 面为 2 50 ~ xl 0 0 ~ . 线 圈 电流 I 为 s kA , 频 率厂为 1 12 , m =2 , w “ 3 , wK 司 . 6 , P = 2 , q = 0 . 02 m . 可 以简化为 : 甲讨 = 一时 ( 7) 其 中 , J = E 十 vx or 以 ( 8) 所 以 : 甲切 = 一尸J = 伍+ vx r o 叼 ) ( 9) 对 于 平 面场 , A 只 有 一 个分 量 zA , v 只 有 一个 分 量 从 , 且 vx = 2 fd( 1一 s) s( 为滑 差 率 , d为 极距 ) , 则 : 2 基 本原 理 .2 1 电磁场 的数 学 描 述 M ax we n 方 程 组 是 研 究 一 切 电磁 现 象 的基 石 , 它主 要有 四大定 律组 成 : 高斯 定理 、 法 拉第 电 磁感应 定 律 、 安培环 路 定 律和 无磁 单 极法 则 . vx( ; 、 ) 一 vxj 带 一 知一 i( x i = 0 ; i寸= k) 带 ( 10 ) 假 设 A 仅在 z 方 向上 , 则 激励 磁 势可 表 示为 : A x( 少 , t) A切少 卜 sx) = 力 : l( 1) , xH 一 ; , 架 “ 一餐 ( l ) 对 于 ( 1 1) , 鲁 一 j浏、 。 , 一 j诚 会一翻动砂 一和 一和 · 将 ( 10 H 13 )代入 ( 9 )得 : ( 12 ) ( 13 ) V · B二 0 甲 · D = P 会会 一 、 “ +&f2z ` 一 s)( 一枷” · 、 cojz 另外 , 还 有 三个 辅助 方程 用 于表 征 电场 和磁 场 间有 关 的物 理量 的关系 : 「D = ￡百 B = 户H 丈 = yE ( 2 ) 由 M ~ n 方 程 组可 以看 出 , 电磁 变 量是 相 互交 织在 一起 的 , 这 样给 数值 求 解 带来 了难 度 . 为此 , 笔 者通 过定 义一 个标 量 电势和 一个 矢 量磁 势 的方 法 “ 一 功法 ) , 将 电场 变 量和 磁 场变 量 分 开 , 形成 两 个独 立 的 电场 和磁 场 偏微 分 方程 , 以 便于 数值 计 算 . 引入矢 量磁 势月 ( 单 位 为 从飞八n ) 和标量 电势 价( 单位 为 V ) : B = 甲 x A ( 14 ) 此 式 就 是适 用于 此 例 的 电磁 场 的二 维表达 式 . .2 2 电磁 场方 程 的变 分及 离 散 化 对 于 一般 的 电磁 场 问题 可 用 二 阶势 函数 和 边 界条 件来表 示 . 二 阶势 函数 : 一 甲 · (k 口价) 十砂 = 叮 (任 . ) ( 15 ) 狄 利克 莱 条件 : 价= g (任厂 ) ( 16 ) 诺 伊曼 条件 : (k甲价) · n’ + 呻 = h (任几 ) ( 17 ) 其 中 , g , h , 。 为位 置 的一般 函数 , 从为边界 曲面 的 外 向单 位 法 向量 ,几 是 狄 利 克莱边 界 , 几 是 诺伊 曼边 界 . 对 于此 类 问题 的泛 函形 式为 : E = 一 甲沪一 尸一 告否, ? 币翻号丁和 - 根据 此条 件 , 可 以推 导 出形 式上 完全 对 称 的 电场 和磁场 势 函 数 方程 . 去帅。号吏 〔命 一喇dr 、少. 夕 (34 一斤A 口ō,` ( 18 ) 。 一 ,杂一、 。 一 嚼 一 、 对 于 所研 究 的 问题 , k = 1 , a 二户呵。 , q = 0 , a = 0 , h = 一鱿 则 : 由 (5) , (6 ) 两式可 以看 出 , 这两 个方 程将 电势 和磁 势 分 开表 示 , 并 且有 对称 的形式 , 给求 解 带 来 了方 便 . 式 (5) 表 明磁势 由电流 激励 J 产 生 , 且 是 时 间 、 位 置 和材 料 的 函数 ; 式 (6) 表 明 电势 由 电 荷 激 励 p 产 生 , 且 是 时 间 、 位 置 和材料 的 函数 . 就 导 电媒质 中的 电磁 场 而言 , 分析 时一 般 忽 略其 中位 移 电流 的 影响 , 也就 是 说 , 是 在似 稳场 的条 件下 考 虑 。 , . 当不考 虑 位移 电流项 时 , 式 ( 5) 形 , 一 命琴 〔带 4嚼 )] dxw 缨万 A娜矛洲dsz ` 、尹.. J ù 了`U 、 . ( 19 ) 经 离散化 处理 后 , 整 个场域 内的能量 泛 函可 以表 示 为遍 及所 有 三角元 的能 量泛 函的 总合 . 若 有 e0 个 单元 , n0 个 节 点 , 则泛 函 的形 式可 以表 示 为 : 形) 丙 丙 二 艺凡(A 卜月注 : , 瓜 , …户游 ( 2 0 ) 而 变分 问题 即被 离 散 化 为 一多 元 函数 的极 值 问 题 : 月刁) 二 侧月 l, 斑’, 方刃 = m in (2 l)

VoL.26 No.1 李光等：利用有限元法对板还电磁搅拌中电磁场的数值模拟 ◆97· 等价于方程组 3实验 2==0 ∂A,iA, (22) 本实验用MATLAB进行编程仿真，主要进行 因此，涡流场的条件变分问题为： 8-川器品2r等品+ 以下几步：(a)初始值设定；b)网格剖分：(c)形成 求解矩阵：(d)方程求解；(e)解后处理. oua叮2*uh82吨- 实验结果如下所述： 名rgbb+cen1r+ (1)自动剖分的过程可以归结为，将剖分的元 素按相同的规律归类，用数学归纳法找出每类元 oNN:Adytu Nrdrdy- 素生成、节点生成与节点坐标生成规律，并用计 名三(6.tce)+. 算程序实现.网格剖分的示意图见图2所示， joua哈a+b+bd9 0.25 (23) 0.20 F 同理：当问与=m时与沉， 有对应的关系式，而 0.15 在其他情况下股均为0，将式20)表示的个关 0.10 0.05 系式组合成矩阵形式表示，即： 0 瓷-☒aH7a-间 (24) 0 0.2 0.40.60.81.0 当取得极值时，令上式为0，得： 图2网格的自动剖分留 [.[4]+[T.A]=P. (25) Fig.2 Automatic meshing graph 其中，各矩阵的具体元素可表示为： (2)电磁场的磁势等势线图与磁力分布图见 飞=k=bbree】g=4周） 图3和图4.从图中可以看出，板坯内的磁场分布 ==41+8）s=m 是上下对称的，即上部和下部的磁力方向相反而 式申a-6月=学=m 大小对称相等，且距离激励源越近电磁力越大. 0.250 这样，变分问题的离算化最终归结为一线性 代数方程组（复数形式），使计算机运算成为可能， 23离散化后方程的求解和后处理 将电磁方程离散化处理以后，要对形成的线 日0.125 性代数方程求解.由于总刚度矩阵具有大型、对 称、稀疏、主对角占优的特点，在计算机求解时采 用一维变带宽存储方法.求出磁势矩阵[]后，经 0 过后处理，即可得出电场强度、电流强度、磁通密 0.5 1.0 度以及电磁力等参数.计算公式如下： x/m E=-joA (26) 图3板还内的电磁场分布 8=0 dy =六etoa+odW Fig.3 Contour plot of the electromagnetic field in a slab (27) 0.250 8- =云bi+6i+b0 (28) 电流强度可按下式求得： 1.=00(d4tA) 0.125 3 (29) 则电磁力应等于： F.=B,I.L (30) 整个搅拌区域所受到得电磁力应为各个单元的 0 0.5 1.0 总和： x/m 图4电磁力图 F-piF. (31) Fig.4 Lorenz force distribution

V b L 26 N O 一 1 李光 等 : 利用 有 限元 法对板 坯 电磁 搅拌 中电磁场 的数 值 模拟 . , , . 等价 于 方程 组 , 月 a 厂丁 F - 袅 D尺 = 乙 , r 二 一 = U O A t 尸 , 口人 r 因 此 , 涡 流场 的条件 变 分 问题为 : 周潇小嚼喘嚼 卜嚼会哥 ) +ewj 。 万 “知~ 丁知 、 - 娜 [篡奋+bt, 翩 . ] +dxy j啊万 【点 . 州 r] ~ 丁衅 dxy - (2 2 ) dx妙 上 艺 声 户勾、用 叼J 止 as 〔含 bt +,c .,c) 认+, 申嘴挤瑞分 · )噜 . 3 实验 本 实验用 N孕汀 L AB 进 行编程 仿真 , 主要 进 行 以下几 步 : ( a) 初始 值 设 定 ; 伪) 网格 剖 分 ; (c) 形 成 求 解矩 阵 ; d( ) 方程求 解 ; e( ) 解 后 处理 . 实 验 结果 如 下所 述 : ( l) 自动剖 分 的过 程可 以归结 为 , 将剖 分 的元 素 按相 同的规 律归类 , 用 数学 归 纳法 找 出每类 元 素 生成 、 节 点 生 成与 节 点 坐标 生 成规 律 , 并用 计 算程序 实现 . 网格 剖 分 的 示意 图见 图 2 所 示 . ( 2 3 ) 同理 : 当。 与、 时 与器卜 有对 应 的关系 式 , 而 在 其 他情 况 下器 均 为 。 · 将 式 (20 ) 表 示 的、 个关 系 式 组合 成 矩 阵形 式 表 示 , 即 : 0 . 25 0 . 2 0 0 . 15 卜 0 . 1 0 0 . 0 5 0 回 ’ / 川/ / / ’ 川 ’ 川 ’ / 口 / / . / ’ / 川 / 川川/ / / ’ / / / ’ 川 / 洲/ / / / ’ / 川 ’ / 川 川 / / / / 口川 / / / 川/ / 川口 0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0 图 2 网格 的 自动剖 分 图 F ig . 2 A u ot m a ict m o h恤9 g ar Ph (2 ) 电磁场 的磁 势等 势 线图 与磁 力 分布 图见 图 3 和 图 4 . 从 图 中可 以看 出 , 板坯 内的磁场 分 布 是 上下 对称 的 , 即上 部和 下部 的磁 力 方 向相 反而 大 小对 称 相 等 , 且 距 离激 励 源 越近 电磁 力越大 . 、产. 、 , 声 4 `J 22 廿 。 了、了. 器卜 因 · 防 , + 〔列 ·防卜晒“ · 当取 得 极值 时 , 令上 式 为 0 , 得 : 因 。防」+ [刀 。防] = 网 。 其 中 , 各矩 阵的 具体 元 素 可表 示 为 : :.K 一 “ 一毒队 +二 , .(r 一 ’i,J m) 二 一 。 = j嘿 空( 1 、 .(r 一 ’i,m) 、 、 : _ J l月 , _ _ 匹竺 ` I _ ; ; _ 、 式 中 , 6 。 = 古 _ 君= 一件产 U = iJ, m ) to r羊 s ` ’ j 这样 , 变分 问题 的离 算 化 最终 归 结 为一 线 性 代 数 方程 组 (复数 形 式 ) , 使 计 算机运算成 为 可 能 . .2 3 离 散化 后 方程 的求解和 后 处理 将 电磁 方 程 离 散化 处理 以后 , 要 对 形成 的线 性 代 数方 程 求解 . 由于 总 刚度矩 阵具 有 大型 、 对 称 、 稀疏 、 主 对 角 占优 的特 点 , 在 计算机 求 解 时采 用 一 维 变带 宽存 储 方 法 . 求 出磁势 矩 阵 防〕后 , 经 过 后 处 理 , 即可 得 出 电场 强度 、 电流 强度 、 磁 通密 度 以及 电磁 力 等参 数 . 计 算 公 式 如下 : 右= 一翻 (2 6) ` 刁之 1 , : . 、 . : 、 , , , 众 = 苍华二胃一( c刁汁动+l 动 k) (2 7) ` a月 1 , , 、 . , : , , 、 凡一 蓄飞艺( 妞汁弥心+ b班k) (2 8) 电流 强 度 可按 下 式求 得 : 、 一 。 ` (架黔) ( 2 9 ) 则 电磁 力 应 等于 : 凡 = 双丈几 (3 0) 整 个 搅 拌 区域 所 受 到 得 电磁 力 应 为各 个 单 元 的 总和 : 0 . 2 5 0 日 0 . 12 5 入 图 3 板 坯 内 的 电磁 场 分布 F 咭 · 3 C o n t o u r p lot o f t h e e le c lt , m a gn e t i e ife dl 恤 a s肠 b 0 . 2 5 0 月 0 . 12 5 入 川` - . ~ 月卜 一 . 口 川口卜~ ~ - 阅吸 - 叫吐 一 月暇 . 吸 ~ 侧哎 月峨 . ~ ~ 一 , … ~ 】卜 · . ~ 加卜 一勺 卜 知卜 ~ 】, -刁 卜 - - - - 刃卜 , 卜 一 j 卜 - 曰翻卜 . 1 1 尸一 p ; 只 ( 3 1 ) 图 4 电磁 力 图 F i g . 4 L O邝nz fe cr e d is 幻d b u iot n

·98· 北京科技大学学报 2004年第1期 (3)频率与电磁力之间的关系见图5.由图可 (4)电流与电磁力的关系见图6.由图可以看 以看出，频率在0-2.5Hz时，电磁力随频率增大而 出，频率不变，电流在5kA变化时，电磁力随电流 增大：大于2.5H五时，电磁力随频率的减小而减 的增大而增大， 小：频率的最佳范围在1.8~4.2Hz. 35 50r 30 3 % 20 30 15 20 10 0 0 2345678 50100150200250300350400450500 f/Hz I/A 图5频率与电磁力关系曲线图=360A) 图6电流与电磁力关系图=2Hz) Fig.5 Relationship between frequency and Fig.6 Relationship between electrical current Lorenz force and Lorenz force 4结论 (4):305 2韩至成.电磁冶金学M.北京：冶金工业出版社， 通过利用有限元方法求解Maxwell方程组对 2001 二冷区板坯内的电磁场进行了数值模拟.不仅找 3张榴晨，徐松.有限元法在电磁计算中的应用M.北 出了当其他因素一定时电磁力与电流，电磁力与 京：中国铁道出版社，1996 频率的定性关系，而且在作一定的简化后，可以 4盛剑霓.电磁场数值分析[M).北京：科学出版社，1984 定量的计算出一定的电流和频率所能产生的电 5麻永林，贺友多，徐广尧，等.连铸电磁搅拌器磁场 磁力的值.这样就为在实际生产中选择合适的电 的有限元分析[.包头钢铁学院学报，1997,16(3少： 193 磁搅拌力提供了一定的理论基础. 6 GovindarajuN,Li BQ.A macro/micro model for magnetic 参考文献 stirring and microstructure formation during solidification 1曹建刚，王权，王宝蜂，等.包刚大方坯电磁搅拌器磁 [J].Energy Convers Manage,2002,43:335 场特性测试分析).包头钢铁学院学报，2001,20 Simulation of the Electromagnetic Field in Steel Slabs Based on the Finite Element Method LI Guang,LI Huade Information Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Based on Maxwell equations,a model for describing the electromagnetic field in a slab was devel- oped.To meet the need of numerical calculation the model was discretized and simplified.A simulation was con- ducted by means of the finite element method.The contour plot of the electromagnetic field was presented and anal- yzed.When the other parameters unchanged,the fundamental relationships between the frequency and Lorenz force and between the electrical current and Lorenz force were established respectively. KEY WORDS electromagnetic stirring;finite element method;numerical simulation

北 京 科 技 大 学 学 报 2 00 4 年 第 l 期 (3 ) 频 率与 电磁 力之 间 的关 系见 图 5 . 由图 可 以看 出 , 频率 在 小.2 5 12 时 , 电磁力 随频 率增 大而 增 大 ; 大于 .2 S ZH 时 , 电磁 力 随频 率 的减小 而减 小 ; 频 率的最佳 范 围在 1名~4 .2 zH . (4) 电流与 电磁力 的关 系见 图 6 . 由图可 以看 出 , 频率 不变 , 电流在 s kA 变化 时 , 电磁 力 随 电流 的增 大 而增 大 . nUO ō j4 3 5 3 0 2 5 `, j, 八“nU 之、叭 n ù哎à 0 `, ,二,且 冰、叫 f / H z 图 5 频 率 与电磁 力关 系 曲线图少36 0 A ) Fi g . 5 eR la iot n s h i P b e 幻斤 en fr e q u e n yC a n d L o er 皿 fo 代e 5 0 10 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 4 5 0 5 00 I / A 图 6 电流与 电磁 力关 系图价Z ZH ) F落6 eR l a it o n s h妙 b e 幻斗 e e n e le e tr i c a l e u r er n t a o d L o 碑心 fo 代e 4 结论 通 过利 用 有 限元方 法 求解 M a x w e ll 方程 组 对 二冷 区板坯 内的 电磁场 进行 了数值模拟 . 不仅 找 出 了当其他 因素一 定 时 电磁 力 与 电流 , 电磁 力 与 频 率的定 性 关系 , 而 且在 作 一定 的 简化 后 , 可 以 定量 的计 算 出一 定 的 电流和 频 率 所 能 产 生 的 电 磁 力 的值 . 这样就 为在 实际生 产 中选择 合适 的 电 磁 搅 拌力 提供 了一定 的理 论 基础 . 参 考 文 献 1 曹建刚 , 王 权 ,王 宝峰 ,等 . 包 刚大方 坯 电磁 搅拌 器 磁 场 特性测 试 分析 1[J . 包头钢 铁 学 院学报 , 2 0 01 , 20 ( 4 ) : 3 0 5 韩至 成 . 电磁 冶金学 [MI . 北京 : 冶 金 工业 出版社 , 2 0 0 1 张榴晨 , 徐松 . 有 限元 法 在 电磁 计算 中 的应 用 [明 . 北 京 : 中 国铁道 出版社 , 1 9 9 6 盛 剑霓 . 电磁 场数值 分析 [M ] . 北京 : 科学 出版 社 , 19 84 麻永 林 , 贺友 多 , 徐 广尧 , 等 . 连 铸 电磁搅 拌器磁 场 的有 限元 分析 [J] · 包 头钢 铁 学院学 报 , 19 97 , 16 (:3) 1 9 3 G vo idn ar aj u N , L i B Q . A m ac r o / m i c or m o d e l fo r m a g ” et i c s ti币n g an d m i e or s t ” c tU r e fo mr iat o n d团n g s o li diif e iat o n [刀 . E n e gr y C o vn e sr M叨a g e , 2 0 0 2 , 4 3 : 33 5 Sim u l at i o n o f ht e E l e e tr o M e ht o d e t i c F i e ld i n St e e l S lab s B a s e d o n ht e F in it e E l e m e n t LI G u a n g, IL H扮口 山 I n fo mr at i on E n g in e inr g S e h o o l , U n i v e rs ity o f s e ien e e an d eT e hn o 1 0盯 B e ij ign , B e ij 吨 l 0() 0 83 , C h in a A B S T R A C T B a s e d o n M a x 、 v e ll e q哪at l o n s , a m o d e l fo r d e s e ir b ign ht e e l e c tr o m a gn e it e if e l d in a s lab w a s de v e l - op e d . oT m e et ht e n e e d o f umn e ir e a l e a l e ul at ion ht e m o d e l w a s d i s e er itZ e d an d s im Pliif e d . A s im ul iat on w a s e on · d u e t e d b y m e an s o f ht e if n i ot e l em ent m e th o d . T五e e o in our P l o t o f het e l e e tr om a gn c it e if e l d wa s P r e s e n t e d an d an a l - y z e d . Wl l e n ht e o t h e r Pa r 田卫 e t e sr ucn h an g e 氏het fu i l d田” e n t a l er l iat o n s hi P s b e七邢 e e n ht e fer q u e n e y an d L o r e n Z fo cr e 阴d b e wt e en het d e c itr c al c u r e nt an d L 0 r e n z fo r e e w e r e e s 切bL h s h e d er sP e c ti v e ly . K E Y WO R D S el e c tr o m a gn iet c st i币n g ; 五n it e el e m ent m e t h o ;d n 切 m ier c al s诵ul iat o n