合金流动性数学模型

D0I:10.13374/j.iss1001-053x.1989.04.004 北京科技大学学报 第11卷第4期 Vol.II No.4 1989年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Ju1y1989 合金流动性数学模型 韩青有 (化造%研窄) 清要：针对自由品粒阻塞流头：的流头阻塞机制，推导出品粒大小与价金流动性关系 的数学旗型。将适用下匀温系及共晶系成份位于相图C≤和CE~角的合金成份与品粒火小的 关系式·代人此模型，得到了合金成份、结品间隔与泼动性的定作关系式。利用前人对北 品系合金所微的实验数据验证表明，这些模型适刑F兵品系合金， 关键词：流动性，数学模型，品粒贝小，结品间隔，介金成分 Methematical Model of Fluidity of Liquid Alloys Han Qingyou ABSTRACT:A methematical model of grain size affacting the fluidity of liquid alloys is derived based on the mechanism of chock-off at the tip of advancing stream owing lo independent crystallisation.Connected the model with H,two fomulas of alloy composition,freezing range,fluidity are got out. The parameter H is used for evaluating the ability of grain refinement of alloying elements,and shows the relation between the composition at the phase diagram corner,Co<ko Ce,and grain size. KEY WORDS:fluidity,grain size.[reezing range,alloy composition,mathe- matical models 流动性指在铸造工业条件定的情况下，金金液本身充填钱型的能力，是金金的最重要 的铸造性能之一。众多学片对合金的流动性做了大量的研究「·】。麻省理T工学院曾用10 年多时间研究流动性1：。但对流动性的认识还是很粗路的。在充型能力计第式中，介金成 份与流动性的关系仪用K(停止流动时流头中的固相百分数)这样一个很难度量的参数表 小示【3】。流动性与结晶间隔有心众所周、结品间隔越小、流动性越好。但究竟：片之间 1987一11一2g收孩 312

。 第 卷 第 期 北 凌 ， 年 月 京 科 枝 大 学 学 报 手 · 合 金 流 动 性 数 学 模 型 贬七 二卜完 学布 早 「 曰 铸 查教 研 味犷 ︸‘ 摘 要 针 对 自 晶粒 阻 塞流 ， 的流 头阻 塞机 制 ， 推导 出 晶粒 大 小 与合金 流 动性关 系 的 数学 模型 。 将适用 于匀 晶 系及 共 晶 系成份 于相 图。 百正“ 一 角的合金 成份 与晶粒大 小 的 关系 式 代 入 此模型 ， 得 到 了合金 成份 、 结 晶 间隔 与流 动性 的 定 性 关 系式 。 利 用前人对 共 晶 系合 金 所 做的实骏 教据 验 证 表 明 ， 这 些 模 刹 适 用 飞 儿 昂系 合 众 关扭词 流 动性 ， 朴赞模 型 ， ，洁拉 尺 寸 ， 结 ’ ”隔 合 金 成分 月 赵 压 手 · 、 一 手 ， 、 一 耳 ， · ， 一 【 ’ 少 一 ， 一 ， · 一 。 、 ， 、 铸 一 、 。 、 、 一 几 。 。 。 ， 。 。 ， · 少 一 ， 、 ’ 。 。 。 ， ， 、 ， 。 流动性指 在铸造 工 业 条 件恒 定 的情况 下 ， 合食液 本身充填铸 型 的 能 力 ， 是 合 金的最 屯 要 的 铸造 性 能之 一 。 众 多学 聋对 合 金的 流动性 做 厂大 最的研究 「’ ， 飞 〕 。 麻 省理 工学 院 钟 用 年 多 时 间研 究 流动 性 一 ’ 。 对 流 动 性 的 认 识还 是 很 粗略 的 。 在充型 能 力 计算式 中 ， 合 金 成 份 一 与流动性 的 关系仅 用 停 流动 时流头 中的 固相 百分 数 这样 一 个 很 难 度 量 的参数 表 示 〔 “ ’ 。 流动性 与结 晶 间隔 仃 关已 众 所 周 知 ， 结 晶 间隔越 小 流 动性 越好 。 但究 竟 二 寿之 叭 户 一 一 收 稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．04．004

存在什么样的规律，品粒大小对流动性的影响有何规律，合金成份与流动性有何关系等等， 这些问题却尚无定论。为此，每开发-一个铸造合金，总要用重父性不太好的螺旋试柞测流动 性，实验结果各异。 为对上述问题给出规律性解释，本文利用数学解析方法，推导合金流动性定性数学模 型。 1数学模型的推导 1,1K的推导 流头阻塞物理模型如图1所示。对于宽结晶问隔合金、随若液态金属流动、在流头首先 析出固相晶粒，当流头中固相百分数达到一临 界值K时，液流的压力不能克服其阻力，流头 堵塞，流动停止。 假设液态金属流动的沿程阻力可忽略。压 头完全损失在驱使流头流动上；流头段停止流 阳1流头阻塞物理模型 动时各处固相百分数相同。在停止流动前一瞬 Fig.1 Model of chock-off occured at the 间，液体流动速度趋于零。根据Ergun定律r4), tip of advancing stream 金属液通过流头段的阻力△P为（取其第一项）： △P=Fd2(1-K)-3K2 (1) 式中F为常数，与金属液流速、晶体形状系数等有关；：为流头液体中的品粒直径，它与凝 固后流头处晶粒直径d成比例。亦d,=F,d。 于是当压头H=△P时，流头停止流动。即 H=F2d-2(1-K)-3K (2) 式中F3=F,2·F。(2)式也可表示为： K2(1-K)-3=F3d2 (3) 其中F3=H·F2'。因为K≈0.15~0.203]，将上式左侧项在K=0处展开成泰勒级数得： K2(1-K)-3=K:+三3(3+1)：(3+n-1)xa8 (4) n! 取其第一项，并将(4)式代入(3)式得： K=Fd (5) 其中F,=√F3 1.2晶粒大小与流动性的关系 在铸造工艺因素恒定的条件下，合金的流动性可表示为8： L=(P KL.+P2C)/(ti-ty) (6) 313

存在什么 样 的规律 ， 品 粒大 小对流动性 的影 响有何规 律 ， 合金 成份 ’ 流动性 有何 关系等等 ， 这 些 问题却 尚无 定 论 。 为此 ， 每开 发 一 个铸造 合金 ， 总要 用 重 复性 不太好 的螺 旋 试 样测 流动 性 ， 实验 结 果各异 。 为对上 述 问题给 出规 律性 解释 ， 本 文 利 用数 学解 析方 法 ， 推 导 合 金流 动 性 定性 数 学模 型 。 数学模型 的推导 门 的推导 流头 阻塞物 理模型 如 图 所示 。 对 于宽 结 晶 间隔 合 金 ， 析 出固相晶粒 ， 当流头 中固相百分数达到 一临 界值兀 时 ， 液流 的压 力不能克 服其阻 力 ， 流头 堵塞 ， 流动 停止 。 假 设液 态 金属 流动 的沿程 阻 力可忽 略 。 压 随 着液 态 全 属流 动 ， 在流头 首 先 象…军彝 头完全 损失 在驱 使流头 流动上 流头 段 停止流 动 时各 处 固相 百 分数相 同 。 在停止流动前 一瞬 扒 间 ，液体 流动速度趋于 零 。 根据 定律 〔 月 〕 ， 金属液通过 流头 段 的阻 力八 为 取其 第一项 图 」 流 头阻 塞物 理 模 型 玉 一 众 。 △尸 丁 一 一 “ 式中 为常数 ， 与金 属液流速 、 晶体形状 系数等 有关 为流头 液 体 中的晶 粒 直径 ， 它 与凝 固后流头处 晶 粒直 径 成 比 例 。 亦 。 于是 当压头 二 时 ， 流头 停止流 动 。 即 一 一 一 “ 巳 式 中 了 。 式也 可表 示 为 “ 一 一 “ “ 其 中 。 · 万’ 。 因为 、 一 。 〔 ’ ， 将上 式 左侧项在 。 处展 开 成 泰 勒 级 数 得 一 一 一 一 六 川 一 取其 第一项 ， 并将 式代 入 式 得 其 中 侧 。 晶 粒 大 小 与流动 性 的关系 在铸造 工艺 因素恒定 的条件下 ， 合金 的流动性可表示 为 〔 “ 〕 二 ， ， 一 弓

式巾P。、P,为与合金流的流动速度、过热度等有关的参数：L,为介金的结晶潜热：C为介 金液的比热：t:为合金液相线温度；t,为铸型温度。 将(5)式代人(6)式，得到 L=(P L-d+P2C)(t-tu) (7) (7)式便为晶粒大小和流动性的关系式、晶粒越大，流动性越好。式中，P,P,F。 1.3合金成份与流动性的关系 据文献〔5]，2组元合金品粒大小与成份的系可表为： daM3c-w:I◆ (8) H◆=C。p(1-k。)D,k。 (8) 式中C,为合金成份；p为相图上液相线斜率：D,为液相中溶质扩散系数：。为溶质分配系 数：M2,M,为与冷速有关的常数。 将(8)式代入(7)式，得 M,L.ep(-M,Cg）-P,C) L= Dk。 (9) fL-fx 式中M:=M3P1; 由于（8)式是在对共晶系合金当C。sk,Ce(Ce为共晶成份)时得H出的，故(9)式的 应用也受上述条件限制。 1.4结晶间隔与流动性的关系 (8)式可改写为： H=(pC。/k。-pC)/D (10) 近似地取k。为常数。设T。为纯金属熔点；T,、Ts分别为合金的液相线温度和固相线温 度，则pC。=T。-T,C。/k。=T。-Ts。于是得 H◆=(T:-Ts)'DL=AT (11) 将(11)式代入(9)式，得到： L-ML.e-Nsr-P2C (12) t.-tx 式中M3=M2DL。 式(7)、(9)、(12)即为流动性与晶粒大小、合金成份及结品间隔的定性：关系。 2验证及讨论 在推导公式时.使用·参数作：为品拉大小和流动性关系的转换式。故选用无高棕点 314

式 中 。 、 为 与合全流 的流 动速 度 、 过热 度等 有 廷的 参教 ， 为合 全的箔晶潜热 为合 金 液 的 比 热 为合金液 相 线 温 度 、， 为铸 型温 度 。 将 汽 式 代 人 式 ， 得到 ， ， 、 ‘ ， 一 、， 式 便 为晶粒大 小和 流 动性 的 关系式 ， 晶 粒越大 ， 流 动性 越好 。 式 中 ， 尸 、 一 。 尸 ‘ 。 乙 合金 成份 与流动 性 的关系 据文 献 〔 弓 〕 ， 组 元合 全晶粒大 小 ’歹成份 的 又系可表 为 二 一 ，‘ ’ ‘ ’ 万一 。 户 一 。 乙 。 产 式 中 。 为合 全 成份 为相 图上 液 相 线斜 率 刀 为液相 中溶 质扩 散系数 儿 。 为溶质分配 系 数 ， 。 为 与冷速有关 的常数 。 将 式 代 入 式 ， 得 ，乙 · ” 一 一 。 二 ， 一 力禹 一 一 甘 式 中 。 ， 由 二 式是 在对共 晶系合金 当 。 ‘ 。 。 。 为共晶 成份 时 得 出的 ， 故 式 的 应 用 也受 卜述 条件限 制 。 结晶 间 隔 与流动 性 的关 系 ‘ 式 可改写 为 。 。 一 户 。 近似地 取 庵 。 为常数 。 设 。 为纯金 属熔 点 、 分 别 为合 袋 的液 相 线温 度和 固相线 温 度 ， 则 户 。 。 一 ， 。 。 二 。 一 、 。 于是得 一 、 ， 二 将 式 代 入 式 ， 得 至小 一 材 ’ 丁 一 尸 ， 乙 一 ’ 一－ 一 一 二 一 材 式 中 。 式 、 ， 、 即 为 流 动性 ‘歹晶粒大 小 、 合 金成份及 结 品 ’ 隔 的定性 又系 。 验证及 讨论 在推 导公 式时 种使用 参数 作 为品 粉大 小和 流动性 关系的转换 式 。 故 选 用无高熔 点

化合物的共晶合金系的实验数据，验证模型的有效性。 2,1结晶间隔与流动性的关系 Ragone等人【a〕曾用严格控制压头、吸管温度的真空流)性测试方法研究了Pb-Sn合金 系的流动性，结果如图2所示。取该图共晶点以左的数据（因为凝固模式不同，舍去纯Pb 的数据点)处理后回归得流动性工与结晶间隔的关系： L=16+35.2e-0·68447 (13) r=-0.92 25 计算结果如图3所示。可见回归式与(12) 式是-致的。证明公式(12)对于Ph-Sn合金 20 系是成立的。 15 在Al-Mg合金系中，取Flemings7)用类 10 5 80 60 Superheat 85C 300F 21 200 100L 20 406080100 0204060 80100 AT,C Pb Sn,wt% 图2Pb-Sn合金成份与流动性的关系i6] 图3Pb-Sn合金品间隔和流动性的关系 Fig.2 Relationship between composition Fig.3 Relationship betwcen freezing range and fluidity of lead-tin and fluidity of lead-tin alloys 61 alloys 似的实验方法所得到的结果。按(12)式回归得到 L=8.0+7.7e-000747 r=-0.88 (14) 可见在Mg-A1系巾(12)式仍然较好地成立。 对于最常用的铸造合金F©-C合金系、取文献C3〕的结果如图5所示，扣除包品反应点 数据，回归结果如下： L=2+5.3e-0,0554r r=-1.00 (15) 可见Fe-C合金的数据与(12)式吻合的很好。 总结上述3种合金系的规律可得： L=A。+A1e-4T (16) 就流动性而言，A。、A:取决于t红-tw,L。,C,但主要取决于tz-tw。实验结果证明了这 一点。Fe-C合金的t.高于Mg-A1、Pb-Sn合金，其Ag、A,值小于这两种合金，流动性也 最低。 315

化 合物 的共 晶合 金系 的实验 数据 ， 验 证模 型 的有效 性 。 结 晶 间 隔 与流动 性 的关系 等人 〔 “ ’ 曾用严格控制压头 、 吸管温度的真空流云，性 测试方 法研究 了 一 合金 系 的流动性 ， 结 果如 图 所示 。 取该 图共 晶点以 左 的数据 因 为凝 固模 式 不 同 ， 舍去 纯 〕 的数据点 处理 后回 归得流动性 一 与结 晶 间隔 的 关系 一 ” ‘ 。 ， 一 。 计算结 果 如 图 所示 。 可见 回 归式 与 式是 一致 的 。 证 明公 式 对 于 一 合金 系是 成立 的 。 在 一 入 合金 系 件 ， 取 。 ，二 〔 〕 用类 甘的引丘 ， 洲、 、 乓卜 刁 ， 叫卜场 目 目 泞 几讨甘 闷任。卜 冬 · 八’ 火 、 气 脚卜 ‘ 」 ， 一 “ ’ ，、 ‘ … 丫 、 、 、 、 、 一口户曰丁 户 ‘ 二子尸州一 尸 ， 图 一 合金 成份与 流动 性的关 系 “ 〕 一 ‘ 〕 、 ， 图 一 合金 结 晶 间隔和流 动 性 的 关 系 一 似 的实验方法 所得到 的结果 。 按 式回 归 得到 二 。 。 一 。 ” 一 。 理 可 见在 一 系 中 式 仍然 较好 地 成立 。 对于 最 常 用 的铸造 合金 一 合金 系 ， 取 文献 〔 〕 的结果 如 图 所 示 ， 扣 除 包晶反应 点 数据 ， 回 归结果如 下 二 。 一 。 “ 一 刃 一 。 可见 一 合金 的数据与 式吻 合 的很好 。 总结上 述 种 合金系的规 律可得 。 一 刁 了 就流动性 而言 ， 。 、 取 决于 一 与 ， 。 ， ， 但 主要 取 决于 一 ，， 。 实验结果证 明 了这 一点 。 一 合金 的 高于 一 、 一 合金 ， 其 。 、 ， 值小于 这两 种 合金 ， 流 动性 也 最低

实验结界表明、(12)、(16)式不以证用千CmkC的情况，也话用C。<C的场 80 15A 10.. 50100150200250 ,℃ Fe 2 C% 图1Mg-AI在金结品间隔、成份与流动性的关系 用5Fc-C合金成份与流动性的关系11 Fig.I Relationship among freezing Fig.5 Relationship between composition range composition and fluidity and fluidity of Fe-C alloys:31 of Mg-Al alloys 2.2合金成份对流动性的影响 由式(11)，已证得△T-D,H·,条件为：C,k,Ce。只要将(11)式代入(13~15) 式，便可证明当C。一k,Cε时，(9)式成立。 当Ce>Cn>kC时、必须对的定义作一修正，令 (k。（常数) =CoICE C。kCs Ce>C。kCs 取k。=:,并将k6代人H·表达式，则(9)式在0<C。<C范用内成立。这一点，同样可 以用(13~15)式证明、表示为 L=B。+B1c-s◆ (17) 2.3晶粒大小与流动性的关系 对于无高熔点化合物的共晶系合金，由于晶粒大小与H存在着指数关系【5】，故2.1， 2.2的数据与讨论，便已证明了(7)式成立。 因为公式(T)的推导时，不受共晶系限制，故只要晶粒细小，流动性就应该差。FI- mings的实验证实了这一点「8)，见图6。Al-Cu合金中加入Ti,Ti主要以TiC和TiAl,形式 存在，作为异质形核质点细化品粒，而对p,k。等参数彩响不大。放Ti降低A-Cu合金流 动性是细化晶粒的效果。 A-4.5C 12001250.130013501400 T,℃ 图行Ti对A】1.5Cu合金流动性的影响】 Fig.6 Ti and the fluidity of Al-1,5 Cu alloy si 316

实验 结 见表 明 飞助 、 创 式 不仪适 川 厂「 一 秃 。 一 的情况 ， 也适 用 」几 ‘ 、 的场 合 。 塾又 邺 口 少 ‘ 艺 。 、 、 、 、 、 、 ，口 、 一一 一 【 丁 甘 。 。 日 、 勿 川 众七 八几 ， 图 一 合全 结 钻间隔 、 成份 与流动性的 关系 笼 飞 图 几 一 合 金 成份 与流 动性 的关 系 ， 了 仇 ， 认 亏 厂 一 一 ， 合 金 成 份对 流 动 性 的影 晌 由式 ， 已 证得 △ ， 条 件 为 。 一 了 。 二 。 只 要将 式 代 入 一 式 ， 便 可证 明 当 。 一 了 舟。 二 时 ， 式成立 。 当 二 。 二 时 必须对寿。 的定义作一修正 ， 令 ‘ 二 ，袋 ” ’ 。 一 二 二 。 庵 。 二 取吞。 气 ， 并 将气代 人 ‘ 表达 式 ， 则 以 用 式证明 ， 表 示 为 二 召 。 一 ‘ ，， 式 在 。 。 二 范 围内成立 。 这 一点 ， 同样可 。 昌 粒 大 小 与流动 性 的关系 对 于无 高熔 点化合物 的共晶系合金 ， 由 千晶 粒大 小 与 存 在 着指数 关系 〔 ‘ 〕 ， 故 · ， 。 的数据 与讨 论 ， 便 已证明 了 式 成 立 。 因 为公 式 的推导时 ， 不受共 晶 系限 制 ， 故 只 要 晶粒 细 小 ， 流动性 就应 该差 。 。 “ 的实验 证实 这 一 点 〔 “ ’ ， 见图 。 一 。 合金 中加 入 ， 主要以 和 屯 形式 存 在 ， 作 为异质 形 核 质点细 化 品 粒 ， 而 对 ， 。 等 参数 影响 不大 。 故 降低 卜 ， 合金流 动性 是 细化晶粒 的效 果 。 洲了 一味少 尸了 厂芬乡卿 。 。 三二 台七八月﹃目‘ 食丈叫﹄ 图 丁 。 对 人 、 合金 流 动 性 的 影 响 “ 」 阵 「 一 ‘ 弓