MTSD@UPC 第一节平动 二维势箱：分离变量法求解 五282 2m Ox+ =E妙 具有如上形式的偏微分方程可采用分离变量法求解： 可将波函数写为两个函数相乘的形式，两个函数分别为x和y的单变量函数 (x,y)=X(x)Y(y) 代入SEQ得： (rx+x别 -EXY dy2 由于Y≠0（否则ψ=0），可将上式两边同除以XY得： 器+}晋爱 方2 第一项和第二项分别为x和y的单变量函数，不依赖与y和x。由于两项之和为常数，故两项 各自为常数，分别记为-2mEx/h2和-2mEy/h2,且有Ex+Ey=E,则有： 贵器-梁子晋= 五2 上面两式即一维势箱中粒子的$EQ。 2022/3/24 材料化学系：结构化学 16
MTSD@UPC 具有如上形式的偏微分方程可采用分离变量法求解： 可将波函数写为两个函数相乘的形式，两个函数分别为x和y的单变量函数 代入SEQ得： 由于 𝑋𝑌 ≠ 0（否则𝜓 = 0），可将上式两边同除以 𝑋𝑌得： 第一项和第二项分别为x和y的单变量函数，不依赖与y和x。由于两项之和为常数，故两项 各自为常数，分别记为−2𝑚𝐸𝑥/ℏ 2和−2𝑚𝐸𝑦/ℏ 2，且有𝐸𝑥 + 𝐸𝑦 = 𝐸，则有： 上面两式即一维势箱中粒子的SEQ。 2022/3/24 材料化学系：结构化学 16 第一节 平动 二维势箱：分离变量法求解
MTSD@UPC 第一节平动 二维势箱：分离变量法求解 1d2X 2mE 1 d2Y 2mE X dz2 i2，了dy2 方2 与一维情况相同，分别求解两个维度的$EQ,得： X(x)= sin 2）2 L1 for0≤x≤L1 Y.(y)= 2）1/2 nimy in( for0≤y≤L2 由于ψ=XY,体系波函数为： 2 4am(z,）=亿，项sin（ nTx L sing L2 for0≤x≤L1,0≤y≤L2 又有E=Ex+Ey, h2 5十g8m 2022/3/24 材料化学系：结构化学 17
MTSD@UPC 与一维情况相同，分别求解两个维度的SEQ，得： 由于𝜓 = 𝑋𝑌，体系波函数为： 又有 𝐸 = 𝐸𝑋 + 𝐸𝑌， 2022/3/24 材料化学系：结构化学 17 第一节 平动 二维势箱：分离变量法求解
MTSD@UPC 第一节平动 二维势箱：讨论 for0≤x≤L,0≤y≤L2 ·两个量子数n1和n2 ·n1=1,2,…n2=1,2, ·零点能 E1= /1,1h2 +8m ·几率分布和节点数 例：二维方势阱边长为L,处于量子态 (a)n1=1,n2=1 (b)n1=1,n2=2 (n1,n2)=(1,2)的电子几率分布为 4.c）=告sm(}n(22） 4 则最容易找到电子的位置为(x,)=(作) 和x)=传)。 求：找到电子几率最小的位置？对量子态 (n1,n2)=(2,3)重复以上计算。 (c)n1=2,n2=1 (dn1=2,n2=2 2022/3/24 材料化学系：结构化学 18
MTSD@UPC • 两个量子数𝑛1和𝑛2 • 𝑛1 = 1, 2, … ; n2 = 1, 2, … • 零点能 • 几率分布和节点数 2022/3/24 材料化学系：结构化学 18 第一节 平动 二维势箱：讨论 n1 = 1, n2 = 1 n1 = 1, n2 = 2 n1 = 2, n2 = 1 n1 = 2, n2 = 2 例：二维方势阱边长为L，处于量子态 𝑛1, 𝑛2 = 1,2 的电子几率分布为 则最容易找到电子的位置为 𝑥, 𝑦 = 𝐿 2 , 𝐿 4 和 𝑥, 𝑦 = 𝐿 2 , 3𝐿 4 。 求：找到电子几率最小的位置？对量子态 𝑛1, 𝑛2 = (2,3)重复以上计算
MTSD@UPC 第一节平动 三维势箱 三维势箱：边长分别为L1,L2和L3的长方体盒子内势能为零，盒 子外势能为无穷大。 练习：与二维情形类似，写出三维势箱中粒子的$EQ,并利用分离变量 法求解。验证其波函数和本征能量分别为： …g-(G8)m(爱）m(2）m(） for0≤x≤L1,0≤y≤L2,0≤z≤L3 倍+塔+》 其中量子数n1=1,2,…;n2=1,2,n3=1,2,…0 三维势箱中粒子零点能为 =(信++) 2022/3/24 材料化学系：结构化学 19
MTSD@UPC 三维势箱：边长分别为𝐿1, 𝐿2和𝐿3的长方体盒子内势能为零，盒 子外势能为无穷大。 2022/3/24 材料化学系：结构化学 19 第一节 平动 三维势箱 练习：与二维情形类似，写出三维势箱中粒子的SEQ，并利用分离变量 法求解。验证其波函数和本征能量分别为： 其中量子数𝑛1 = 1, 2, … ; 𝑛2 = 1, 2, … ; 𝑛3 = 1, 2, …。 三维势箱中粒子零点能为
MTSD@UPC 第一节平动 简并(degenerate)和简并度(degeneracy) 方形二维势箱，L1=L2 波函数： 女a）=2in(）sn("） 能量： h2 E=(n+n)8m 两个量子态： (a) 6 (n1,n2)=(1,2) 41,2(,）= 2 E1,2 5h2 8mL2 (n1,n2)=(2,1) E1,2=E2,1i1,2≠ψ2,1 2,1(x,）= m2）(2） E2.1= 5h2 8mL2 简并：不同的波函数具有相同的能量 简并度：具有相同能量的波函数的个数，此处为双重简并(doubly degernerate) 2022/3/24 材料化学系：结构化学 20
MTSD@UPC 方形二维势箱，𝐿1 = 𝐿2 波函数： 能量： 2022/3/24 材料化学系：结构化学 20 第一节 平动 简并（degenerate）和简并度（degeneracy） 两个量子态： 𝑛1, 𝑛2 = (1, 2) 𝑛1, 𝑛2 = (2, 1) 𝐸1,2 = 𝐸2,1; 𝜓1,2 ≠ 𝜓2,1 简并：不同的波函数具有相同的能量 简并度：具有相同能量的波函数的个数，此处为双重简并（doubly degernerate）