树的等价定义 定理3.1.2：设T是结点数为n≥2的树，则若列性质等价： (1)图T连通且无“初级回路"： (2)图T连通且每条都是割边： (3)图T连通且有n-1条边： (4)图T有n-1条边且无“初级回路”； 5)图T的任意两结点间有唯一“切级道路： ⑤图T无初级回路”，但在任两结点间加上一条边后恰有一 个“初级回路 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 511
ä✛✤❞➼➶ ➼♥3.1.2➭✗T➫✭✿ê➃n ≥ 2✛ä➜❑❡✎✺➓✤❞➭ (1) ãTëÏ❹➹“Ð❄↔➫”➯ (2) ãTëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃➯ (3) ãTëÏ❹❦n − 1❫❃➯ (4) ãT❦n − 1❫❃❹➹“Ð❄↔➫”➯ (5) ãT✛❄➾ü✭✿♠❦➁➌“Ð❄✗➫”➯ (6) ãT➹“Ð❄↔➫”➜✂✸❄ü✭✿♠❭þ➌❫❃❚❦➌ ❻“Ð❄↔➫”✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 5 / 1
树的等价定义 定理3.1.2：道T是结点数为n≥2的树，则下列性质等价： (1)图T连通且无“初级回是”： (2)图T连通且每条都是割边： (3)图T连通且有n-1条边： (4)图T有n-1条边且无“初级回是”； (⑤)图T的任意两结点间有唯一“初级道是”； 6图T无“初级回是"，但在任两结点间加上一条边后恰有一 个“初级回是” 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 511
ä✛✤❞➼➶ ➼♥3.1.2➭✗T➫✭✿ê➃n ≥ 2✛ä➜❑❡✎✺➓✤❞➭ (1) ãTëÏ❹➹“Ð❄↔➫”➯ (2) ãTëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃➯ (3) ãTëÏ❹❦n − 1❫❃➯ (4) ãT❦n − 1❫❃❹➹“Ð❄↔➫”➯ (5) ãT✛❄➾ü✭✿♠❦➁➌“Ð❄✗➫”➯ (6) ãT➹“Ð❄↔➫”➜✂✸❄ü✭✿♠❭þ➌❫❃❚❦➌ ❻“Ð❄↔➫”✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 5 / 1
树的等价定义 定理3.1.2：道T是结点数为n≥2的树，则下列性质等价： (1)图T连通且无“初级回路”； (2)图T连通且每条都是割边： (3)图T连通且有n-1条边： (4)图T有n-1条边且无“初级回路”； (⑤)图T的任意两结点间有唯一“初级道路”； (6)图T无“初级回路”，但在任两结点间加上一条边后恰有一 个“初级回路”。 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 511
ä✛✤❞➼➶ ➼♥3.1.2➭✗T➫✭✿ê➃n ≥ 2✛ä➜❑❡✎✺➓✤❞➭ (1) ãTëÏ❹➹“Ð❄↔➫”➯ (2) ãTëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃➯ (3) ãTëÏ❹❦n − 1❫❃➯ (4) ãT❦n − 1❫❃❹➹“Ð❄↔➫”➯ (5) ãT✛❄➾ü✭✿♠❦➁➌“Ð❄✗➫”➯ (6) ãT➹“Ð❄↔➫”➜✂✸❄ü✭✿♠❭þ➌❫❃❚❦➌ ❻“Ð❄↔➫”✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 5 / 1
(1)→(2)：T连通且无“初级回是”→T连通且每条都是割边。 如果T无“初级回是”，那么T的级意边e都论属于“初级回 是”，由定理3.1.1知，e是割边。 2一(3)：T连通且每条都是割边一T连通且有n一1条边 对结点数进行归纳： 令(T和(T表示树T的结点数和边数 当n=2时命题成立，≤时，三一成应 刘：三+时：由于级一边都是国边放三G一有两个 连通支 由≤1三12，放1=1一1。所 0Q0 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 6/1
(1)⇒(2): TëÏ❹➹“Ð❄↔➫”⇒TëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃✧ ❳❏T➹“Ð❄↔➫”➜❅♦T✛❄➾❃eÑØá✉“Ð❄↔ ➫”➜❞➼♥3.1.1⑧➜e➫⑧❃✧ (2)⇒(3): TëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃⇒TëÏ❹❦n − 1❫❃✧ é✭✿ên❄✶✽❇➭ ✲n(T)Úm(T)▲➠äT✛✭✿êÚ❃ê✧ ✟n = 2➒➲❑↕á✧✗n ≤ k➒➜m(T) = n(T) − 1↕á✧ ❑n = k + 1➒➜❞✉❄➌❃eÑ➫⑧❃➜✙G 0 = G − e❦ü❻ ëÏ⑤T1, T2✧ ❞✉n(Ti) ≤ k, i = 1, 2➜✙m(Ti) = n(Ti) − 1➜↕ ➧m(T) = n(T) − 1➃↕á✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 6 / 1
(1)→(2)：T连通且无“初级回是”→T连通且每条都是割边。 如果T无“初级回是”，那么T的任意边都不属于“初级回 是”，由定理3.1.1知，e是割边。 (2)→(3)：T连通且每条都是割边→T连通且有n-1条边。 对结点数n进行归纳： 令n(T)和m(T)表示树T的结点数和边数。 当m=2时命题成立，设≤时，(T门=(T一1成立 刘：一一时，由于任一边都是国边，放G三G一有两个 年 由于T≤1=12，江1=1一1。所 刘胜利（上海交大-CS实验到 图论第三章：树 6/1
(1)⇒(2): TëÏ❹➹“Ð❄↔➫”⇒TëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃✧ ❳❏T➹“Ð❄↔➫”➜❅♦T✛❄➾❃eÑØá✉“Ð❄↔ ➫”➜❞➼♥3.1.1⑧➜e➫⑧❃✧ (2)⇒(3): TëÏ❹③❫Ñ➫⑧❃⇒TëÏ❹❦n − 1❫❃✧ é✭✿ên❄✶✽❇➭ ✲n(T)Úm(T)▲➠äT✛✭✿êÚ❃ê✧ ✟n = 2➒➲❑↕á✧✗n ≤ k➒➜m(T) = n(T) − 1↕á✧ ❑n = k + 1➒➜❞✉❄➌❃eÑ➫⑧❃➜✙G 0 = G − e❦ü❻ ëÏ⑤T1, T2✧ ❞✉n(Ti) ≤ k, i = 1, 2➜✙m(Ti) = n(Ti) − 1➜↕ ➧m(T) = n(T) − 1➃↕á✧ ✹➅⑤ (þ➦✂➀-CIS➣✟➾) ãØ✶♥Ù:ä 6 / 1