第四节线性方程组的解的结构 2.教学基本要求： 通过本章教学使学生能较好地掌捉N维向量，V维向量空间，向量间的线性关系（线性 组合、线性相关，线性无关)，向量组的秩，向量组的极大无关组，线性方程组解的结构等基础 知识。 1、了解N维向量与N维向量空间的概念，掌握N维向量的线性运算。 2、了解向量组的线性相关性与线性无关性，会判断一个向量组是否线性相关。 3、掌握用初等变换的方法求向量组的极大无关组及向量组的秩。 4、了解线性方程组的一般形式与矩阵形式，知道线性方程组有解的判定定理，掌握用初等 变换的方法求方程组通解的方法。 3.教学重点难点： 向量组的线性相关性与线性无关性，用初等变换的方法求向量组的极大无关组、向量组的 秩及解线性方程组。 4.教学建议：应重点掌握：(1)向量组的线性相关性与线性无关性：(2)向量组的极大无关组 第四章：矩阵的特征值与特征向量 1.基本内容： 第一节方阵的特征值与特征向量 第二节向量的内积与向量组的正交规范化 第三节矩阵对角化 2.教学基本要求： 通过本章教学使学生了解和掌握矩阵的特征值与特征向量，相似矩阵，实对称矩阵的特征 值与特征向量，正交向量组，正交矩阵等知识。 1、理解矩阵的特征值与特征向量的概念，掌握求特征值与特征向量的方法，了解特征值与 特征向量的性质。 2、理解相似矩阵的概念，了解相似矩阵的性质，知道一个矩阵与对角矩阵相似的条件。 3、了解正交向量组的概念，理解正交矩阵的概念，知道正交矩阵的性质。 4、掌握实对称矩阵化为对角矩阵的方法。 3.教学重点难点： 矩阵的特征值与特征向量的概念，求特征值与特征向量的方法，施密特正交化方法，方阵 对角化的条件与方法。 4.教学建议：矩阵的特征值与特征向量的概念比较难以掌握，尽量通过几何方法给出解释。 第五章：二次型 22
第四节 线性方程组的解的结构 2. 教学基本要求： 通过本章教学使学生能较好地掌握 N 维向量，N 维向量空间，向量间的线性关系（线性 组合、线性相关，线性无关），向量组的秩，向量组的极大无关组，线性方程组解的结构等基础 知识。 1、了解 N 维向量与 N 维向量空间的概念，掌握 N 维向量的线性运算。 2、了解向量组的线性相关性与线性无关性，会判断一个向量组是否线性相关。 3、掌握用初等变换的方法求向量组的极大无关组及向量组的秩。 4、了解线性方程组的一般形式与矩阵形式，知道线性方程组有解的判定定理，掌握用初等 变换的方法求方程组通解的方法。 3. 教学重点难点： 向量组的线性相关性与线性无关性，用初等变换的方法求向量组的极大无关组、向量组的 秩及解线性方程组。 4. 教学建议：应重点掌握：（1）向量组的线性相关性与线性无关性；（2）向量组的极大无关组。 第四章：矩阵的特征值与特征向量 1. 基本内容： 第一节 方阵的特征值与特征向量 第二节 向量的内积与向量组的正交规范化 第三节 矩阵对角化 2. 教学基本要求： 通过本章教学使学生了解和掌握矩阵的特征值与特征向量，相似矩阵，实对称矩阵的特征 值与特征向量，正交向量组，正交矩阵等知识。 1、理解矩阵的特征值与特征向量的概念，掌握求特征值与特征向量的方法，了解特征值与 特征向量的性质。 2、理解相似矩阵的概念，了解相似矩阵的性质，知道一个矩阵与对角矩阵相似的条件。 3、了解正交向量组的概念，理解正交矩阵的概念，知道正交矩阵的性质。 4、掌握实对称矩阵化为对角矩阵的方法。 3. 教学重点难点： 矩阵的特征值与特征向量的概念，求特征值与特征向量的方法，施密特正交化方法，方阵 对角化的条件与方法。 4. 教学建议：矩阵的特征值与特征向量的概念比较难以掌握，尽量通过几何方法给出解释。 第五章：二次型 22
1.基本内容： 第一节二次型的概念 第二节二次型标准化 2.教学基本要求： 1、理解二次型的概念，二次型对应矩阵，正负惯性指数 2、理解正定二次型的概念及判断。 3、掌握二次型化标准型的方法。 3.教学重点难点： 正定二次型的概念及判断， 二次型化标准型的方法 4.教学建议：正定二次型的概念难以理解，因此建议尽量结合应用意义去解释该概念 四、教学环节与学时分配 其 序号 教学内容 总学时 讲课习题课其他 备注 1 第一章行列式 7 第二章矩阵 10 8 2 第三章向量的线性相关性 与线性方程组的解的结构 10 8 第四章矩阵的特征值与特 4 征向 6 第五章二次型 6 4 五、教学中应注意的问题：线性代数比较抽象，要注意结合几何意义。 六、实验实践内容：无。 七、考核方式：见《线性代数》课程考试大纲。 八、教材及主要参考书： 1、选用教材： 《线性代数》同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2007年 《线性代数》谭琼华主编，复旦大学出版社，2010年 2、主要参考书： 《高等代数》，北京大学数学系主编，高等教有出版社，1988。 《线性代数学习辅导与习题解答》，吴赣吕主编，中国人民大学出版社，2010 《线性代数及应用》，谢国瑞主编，高等教育出版社，1999. (Linear Algebra And Its Application),David C.Lay.1995 九、教改说明及其他：强烈要求增加教学课时，否则无法完成教学任务 23
1. 基本内容： 第一节 二次型的概念 第二节 二次型标准化 2. 教学基本要求： 1、理解二次型的概念，二次型对应矩阵，正负惯性指数。 2、理解正定二次型的概念及判断。 3、掌握二次型化标准型的方法。 3. 教学重点难点： 正定二次型的概念及判断，二次型化标准型的方法 4.教学建议：正定二次型的概念难以理解，因此建议尽量结合应用意义去解释该概念。 四、教学环节与学时分配 序号 教学内容 总学时 其 中 备 注 讲课 习题课 其他 1 第一章 行列式 8 7 1 2 第二章 矩阵 10 8 2 3 第三章 向量的线性相关性 与线性方程组的解的结构 10 8 2 4 第四章 矩阵的特征值与特 征向量 6 4 2 5 第五章 二次型 6 4 2 五、教学中应注意的问题：线性代数比较抽象，要注意结合几何意义。 六、实验/实践内容：无。 七、考核方式：见《线性代数》课程考试大纲。 八、教材及主要参考书： 1、选用教材： 《线性代数》同济大学应用数学系主编，高等教育出版社，2007 年. 《线性代数》谭琼华主编，复旦大学出版社，2010 年. 2、主要参考书： 《高等代数》，北京大学数学系主编，高等教育出版社，１９８８． 《线性代数学习辅导与习题解答》，吴赣昌主编，中国人民大学出版社，2010. 《线性代数及应用》，谢国瑞主编，高等教育出版社，1999． 《Linear Algebra And Its Application》，David C.Lay .1995 九、教改说明及其他：强烈要求增加教学课时，否则无法完成教学任务。 23
执笔人：郑立景系室审核人：王恒太 24
执笔人：郑立景 系室审核人：王恒太 24
《线性代数》课程考试大纲 课程编号：130704016 总学时数：40学时学分：2.5学分 一、考试对象 修完本课程所规定的各专业学生。 二、考试目的 本课程考试目的是考核学生对线性代数的基本概念、基本理论的理解程度：考核学生掌握 线性代数中处理离散量的基本方法及其熟练程度：考核学生综合运用所学知识分析问题和解决 问题的能力。 三、考试要求 本课程是一门抽象程度很高的基础理论学科，要求学生认识和理解相关基本理论，掌握行 列式、矩阵两个数学工具，并能应用这两个工具（尤其是矩阵）解决向量空间、线性方程组的 相关问题。 四、考试内容与要求 第一章行列式15-20分值 1、考试内容：①行列式的概念：②行列式的性质：③行列式按行（列）展开定理：④克 莱姆法则。 2、考试要求： ①识记行列式的概念、余子式代数余子式的概念，会计算排列的逆序数： ②掌握行列式的性质，并会利用行列式的性质计算行列式： ③掌握行列式按行（列）展开定理，并会利用展开定理计算行列式： ④会用克莱姆法则求解线性方程组。 第二章矩阵 25-30分值 1、考试内容：①矩阵的概念：②矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行 列式，矩阵的转置，分块矩阵及其运算：③伴随矩阵，逆矩阵的概念和性质：矩阵可逆的充要 条件：④矩阵的秩，矩阵的初等变换的概念，矩阵的等价，初等矩阵的概念：⑤齐次线性方程 组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有解的充分必要条件。 2、考试要求： ①理解矩阵的概念，识记单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵的定义和 25
《线性代数》课程考试大纲 课程编号：130704016 总学时数：40 学时 学分：2.5 学分 一、考试对象 修完本课程所规定的各专业学生。 二、考试目的 本课程考试目的是考核学生对线性代数的基本概念、基本理论的理解程度；考核学生掌握 线性代数中处理离散量的基本方法及其熟练程度；考核学生综合运用所学知识分析问题和解决 问题的能力。 三、考试要求 本课程是一门抽象程度很高的基础理论学科，要求学生认识和理解相关基本理论，掌握行 列式、矩阵两个数学工具，并能应用这两个工具（尤其是矩阵）解决向量空间、线性方程组的 相关问题。 四、考试内容与要求 第一章 行列式 15-20 分值 1、考试内容： ①行列式的概念；②行列式的性质；③ 行列式按行（列）展开定理；④克 莱姆法则。 2、考试要求： ①识记行列式的概念、余子式代数余子式的概念，会计算排列的逆序数； ②掌握行列式的性质，并会利用行列式的性质计算行列式； ③掌握行列式按行（列）展开定理，并会利用展开定理计算行列式； ④会用克莱姆法则求解线性方程组。 第二章 矩阵 25-30 分值 1、考试内容：①矩阵的概念；②矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行 列式，矩阵的转置，分块矩阵及其运算；③伴随矩阵，逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充要 条件；④矩阵的秩，矩阵的初等变换的概念，矩阵的等价，初等矩阵的概念；⑤齐次线性方程 组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有解的充分必要条件。 2、考试要求： ①理解矩阵的概念，识记单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵的定义和 25
性质： ②掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，理解方阵的幂与方阵乘积行列 式的性质，理解分块矩阵的概念及其运算： ③理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件：理解件随矩阵的概念 会用伴随矩阵求逆矩阵： ④理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的性质： ⑤理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念 ⑥了解非零矩阵的行阶梯形与行最简形的概念： ⑦掌握用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵的方法： ⑧理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，理解非齐次线性方程组有解的充分必要 条件： ⑨掌握用初等行变换法求解线性方程组的方法。 第三章向量组的线性相关性与线性方程组的解的结构 25-30分值 1、考试内容：①向量的概念，向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无 关，等价向量组：②向量组的最大线性无关组，向量组的秩，向量组的秩与矩阵秩的关系：③ 向量空间的概念及相关概念：④线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组的基础解系 和通解，非齐次线性方程组的通解。 2、考试要求： ①理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念： ②理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及 判别法： ③理解向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的最大线性无关组及秩， 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系： ④了解向量空间、向量空间的基与维数的概念 ⑤理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解 的求法：理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 第四章矩阵的特征值与特征向量 15-20分值 1、考试内容：①矩阵的特征值和特征向量的概念、性质：②向量的内积，正交矩阵及其 性质，规范正交基，线性无关向量组的正交规范化方法：③相似变换、相似矩阵的概念及性质： 矩阵可相似对角化的充分必要条件及矩阵对角化方法：④实对称矩阵的特征值、特征向量及其 相似对角矩阵。 26
性质； ②掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，理解方阵的幂与方阵乘积行列 式的性质，理解分块矩阵的概念及其运算； ③理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵的概念， 会用伴随矩阵求逆矩阵； ④理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的性质； ⑤理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念； ⑥了解非零矩阵的行阶梯形与行最简形的概念； ⑦掌握用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵的方法； ⑧理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，理解非齐次线性方程组有解的充分必要 条件； ⑨掌握用初等行变换法求解线性方程组的方法。 第三章 向量组的线性相关性与线性方程组的解的结构 25-30 分值 １、考试内容：①向量的概念，向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无 关，等价向量组；②向量组的最大线性无关组，向量组的秩，向量组的秩与矩阵秩的关系；③ 向量空间的概念及相关概念；④线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组的基础解系 和通解，非齐次线性方程组的通解。 ２、考试要求： ①理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念； ②理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及 判别法； ③理解向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的最大线性无关组及秩， 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系； ④了解向量空间、向量空间的基与维数的概念. ⑤理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解 的求法；理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 第四章 矩阵的特征值与特征向量 15-20 分值 １、考试内容：①矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；②向量的内积，正交矩阵及其 性质，规范正交基，线性无关向量组的正交规范化方法；③相似变换、相似矩阵的概念及性质； 矩阵可相似对角化的充分必要条件及矩阵对角化方法；④实对称矩阵的特征值、特征向量及其 相似对角矩阵。 26