m dir 积分两次，并利用初始坐标和速度，从而解出 )=合品”+，+ a)=点：+ 由上式即可确定该宏观粒子任一时刻的行为。这样的描述方式， 用来描述量子力学中的微观粒子在原则上是不可能的。因为采用 这种描述方式的前提是，被描述的粒子要有确定的轨道x(t)和 速度(t). 1.5.1微观粒子的状态 如果对一个微观粒子的坐标相继进行多次测量，每次间隔的 时间为△t.这些测量结果，一般说来，并不位于一条光滑的曲线 上，而且测量得愈精确，这些结果会变得愈不连续愈不规则.这 说明微观粒子并不存在运动轨道.只有在极为祖糙地测量粒子坐 标的情况下，例如，在Wi1so云室中根据蒸气凝成的液滴确定电 子坐标的情形下，才会得到一条光滑的轨道.如果保持测量的精 确度，缩短测量的时间间隔△t,那么一系列相继测量结果虽然 都会落到某一很小的空间范围内，但其分布却毫无规则，根本不 位于任何光滑曲线上，特别是△t趋于零时，相继测量的结果并 不趋于分布在同一直线上，这表明微观粒子并不具有经典意义下 的速度，既然微观粒子没有轨道和经典意义下的速度，就不能采 用经典方法描述微观粒子的状态」 而且在测量中总要用到仪器，仪器通常是宏观物体。用仪器 测量微观粒子的过程实际上是微观粒子与仪器的相互作用过程， 因此测量本身势必要影响微观粒子的状态。原则上不可能使这种 影响变得任意小，否则将意味着被测之量本身具有一个和测量无 18 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要
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关的定值。由于测量的这种性质，使得多次测量的结果只能确定 微观粒子处在各种可能状态的几率，而量宇力学也只能在这种统 计的意义上描述微观粒子的状态。 在上一节中我们讨论了自由粒子，因为自由粒子不受任何力 场作用，所以它的能量和动量都是常量，由de Broglie关系可 知，其频率和波长也都是常量，从而得到了描述自由粒子状态的 平面波(1一39)式.如果粒子受到随时间和位置变化的力场作 用，它的动量和能量不再是常量，这时粒子的状态就不能用平面 波来描述，而必须用一个复杂的波来描述，这个波通常可用一个 实变量的复函数来表示，这个复函数称为波函数。即在一般情况 下，总是用波函数来描述微观粒子的状态。 1.5,2波函数的统计解释 如前所述，量子力学只能在统计的意义上描述微观粒子的状 态，因而表征这些状态的波函数应该具有统计解释， 对于光，按照光的波动理论，光的强度应该与光波的振幅平 方成正比。若把平面光波 亚=Acos[2x(x/-t)] 写成复数形式 则光的强度I与振幅的关系为 I=k,A2=k,1四12 按照Einstein的光子说，光的强度与光子的密度p成正比 I=kap 合并以上两式，得 ,|12 式中k1,k,为比例常数.若dN为体积元du内的光子数目，则 =竖- 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要
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dN'd (1-41 N=套∫小ePd (1-42) 由上两式相除，得 dN'dv Ndu (1-43) 上式可写为 dN/N do=swdo (1-44) 上式是由光子的波粒二象性得到的，微观粒子也具有波粒二象 性，所以任何微观粒子都应满足上式，只是式中的⑨不再是光波 而是波函数罢了。上式右边分母的积分总要等于一个具体的数 值，因此上式表示在d体积元附近的单位体积中发现粒子的几 率dNIN(即几率密度)与波函数绝对值的平方 do |型|=四*四 (1-45) 成正比 由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各 点出现的几率总和等于1，因而粒子在空间各点出现的几率只决 定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于其绝对强度的大 小。如果把波函数在空间各点的振幅同时加大一倍，并不影响粒 子在空间各点的几率，或者说将波函数乘上一个常数后，所描述 的粒子状态并不改变。因此，对于粒子的某一状态，总可以找到 一个适当的波函数型，而使(1-44)式的分母 ∫|亚1dv=∫亚*里dv=1 (1-46) 于是(1-44)式表示平1为发现粒子的几率密度，这就是1型1 的物理意义，对波函数的这种统计解释是玻恩(Bor)于1926 年首先提出的， 20 仅限读者PB1803090本人使用，阅毕请删除，不要
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1.5.3波函数的标准化条件 即然|亚1？代表几率密度，因此(1-46)式就表示在整个空间 发现粒子的几率等于1.满足(1-46)式的亚称为归一化的波 函数，按照波函数的统计解释，除了波函数的归一化条件外，波 函数还应满足下列三个标准化条件： (1)亚必须是单值的，因为|亚2表示几率密度，在某一时 刻、空间某点的几率密度必须是一个确定的值，因而要求亚是单 值函数， （2)型必须是平方可积的.(1-46)式可知，.这个条件 是显然的. (3)在所研究的区域内，要求亚及其一阶偏导数连续。以 后我们将会看到，如这一条件不满足，则确定微观粒子运动规律 的薛定谔(Schrodinger)方程将失去意义. 这就是说，并不是任何一个函数都可以作为波函数来描述微 观粒子的状态，只有满足以上标淮化条件的才能作为波函数。 以后我们将会看到，波函数一经确定，则微观粒子的任一力 学量的平均值都可用波函数计算出来，这就在统计的意义上完全 描述了微观粒子的状态. 1.5.4态选加原理 波函数对微观粒子状态的统计描述是微观粒子波粒二象性的 表现之一，波粒二象性还通过量子力学中的态迭加原理表现出来， 在经典物理学中，波动过程遵从迭加原理：两个可能的波动 过程中，和中：线性选加的结果α中，+b中，也是一个可能的波 动过程，实际上光学中的惠更斯(Huygens)原理就是这样一个 原理，它告诉我们：在空间任意一点P的光波强度，可以由前一 时刻波前上所有各点传播出的光波在P点迭加起来而得到.利用 这一原理可以解释波的干涉、衍射现象。 21 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要
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微观粒子也具有波动性，因此相应地有一个量子力学中的态 迭加原理：如果型，型2，.，平，都是体系的可能状态，那么它 们的线性迭加 平=c亚，+c,乎2+.+cn里， (1-47) 也是这个体系的一个可能状态。其中c,C2,C.为复系数。态 迭加原理告诉我们：体系的某种状态可表示为其它状态的迭加， 因而作为描述其状态的波函数的形式也不是唯一的。 1.6不确定（测不准）原理 不确定原理(uncertainty principle),也称为测不准原理 (indeterminacy principle),是量子力学中的一个基本原理. 1.6.1平面波选加成波包 在上节中我们曾提到：微观粒子分布的几率密度与波函数绝 对值的平方引平2成正比.这就是说，如果|亚1在空间某个区域 有较大的值，则粒子很可能在那个区域出现。假定在某一时刻（例 如t=0),对在一维空间运动的粒子的坐标进行测量，发现粒子 定域在-x。和x。之间，那么描述粒子的波函数的绝对值在这个 区域就较大，即粒子的波函数乎()应该是一个定域波（波包）， 如图1.4(a)所示. 按照态迭加原理，型()可表示为一系列可能存在的状态的 迭加.可将图1.4(a)所示的定域波用t=0时的平面波(1-38) 式迭加起来 型(x)=c1(1)Ψ：(x)+c2(k2)2(x)+. (1-48) 其中 g.(=4eo( (1-49) 里.(=Aca(经 22 仅限读者PB180309i0本人使用，阅毕请删除，不要
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