基于SAP5P程序的刚架结构离散变量优化系统

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1995.04.004 第17卷第4期 北京科技大学学报 Vol.17 No.4 19958 Journal of University of Science and Technology Beijing Ag195一 基于SAP5P程序的刚架结构离散变量优化系统 孙衍全 康书刚 叶太印 门玉贵 北京科技大学资源工程学院，北京100083 摘要利用优化准则法，结合机械设计的特点，编制了以SAP5P程序为基础的大型复杂刚架结 构离散变量优化程序SOP,并对一刚架结构模型进行了优化分析， 关健词优化，程序设计/刚架结构、离散变量 中图分类号TH114,TH391.72 Discrete Variable Optimization System for Rigid Frames based on SAP5P Program Sun Yanquan Kang Shugang Ye Taiyin Men Yugui College of Resource Engineering,USTB,Beijing 100083.PRC ABSTRACT A program SOP for large complex frame structural discrete optimization, based on SAP5P program,is designed by applying the optimum criterion method and including the characteristics in mechanical structure,and the optimization analysis of a frame structure is completed. KEY WORDS optimization,programming rigid frames,discrete variables 刚架结构是在各类机械设备中经常采用的基本结构，刚架结构的优化对于减轻设备 的质量，降低制造成本，延长设备的使用寿命都有着极其重要的意义·因此，本文在广泛使 用的，计算可靠的SAP5P结构分析程序的基础上，利用优化准则法，结合机械设备的结构 设计特点，编制了适合大型复杂结构、多载荷工况、多约束条件的结构离散变量优化程序· 并对一刚架结构模型，在同一类型型钢下，取两种不同型号的材料分别进行优化分析，取得 了相当近似的优化结果. 1结构离散变量优化准则法 结构离散变量优化准则法的基本思想是：预先规定一组结构优化设计所必须达到的准则 (包括变量圆整到邻近离散点上的准则)，且认为满足这些准则，结构是最优化的， 对于一些大型复杂的机械结构，在优化时，要同时考虑其应力和位移.一般，应采用应 力一位移准则法， 1.1设计变量 1994-01-24收稿 第一作者男33岁硕士

第 卷 第 期 北 京 科 技 大 学 学 报 望巧 年 月 如 嗯 望巧 基于 程序 的刚架结构离散变量优化系统 孙衍全 康 书刚 叶 太 印 门 玉 贵 北京科技大学 资源工 程学 院 ， 北 京 刀 摘要 利用 优化准则法 ， 结合机械设计的特 点 ， 编制 了 以 程 序 为基 础 的大 型 复 杂 刚架 结 构离散变量优化程序 ， 并对一 刚架结构模型 进行 了优化分析 关健词 优化 ， 程序设计 刚架结构 离散变量 中圈 分类号 通 ， 而 “ ， ， ， ， ， ， 而 而 ， ， 刚架结构是 在各类机械设备 中经 常采用 的基本结构 刚架结 构 的优 化 对 于 减 轻 设 备 的质量 ， 降低制 造成 本 ， 延 长设备 的使用 寿命都有着极其重要 的意义 因此 ， 本文在广泛使 用 的 ， 计算 可 靠 的 结 构分 析程 序 的基础 上 ， 利用优化 准 则法 ， 结 合机 械设备 的结 构 设计特点 ， 编 制 了适 合大 型复 杂结构 、 多 载荷工 况 、 多 约束条件 的结 构 离 散 变 量 优 化 程 序 并对一 刚架结构模型 ， 在 同一 类 型型 钢下 ， 取 两种不 同型 号 的材料分别进行优化分 析 ， 取得 了相 当近似 的优化结果 结构离散变量优化 准则法 结构 离散变量 优 化准则法 的基本思 想是 预先规定一 组结构优化设计所必须 达到 的准 则 包括 变量 圆整 到 邻近 离散点 上 的准则 ， 且 认 为满 足 这些 准 则 ， 结构是 最优化 的 对于 一些 大型 复 杂 的机械结 构 ， 在优化 时 ， 要 同时考虑其应力 和位 移 一般 ， 应采用 应 力 一 位移准则 法 设计变 一 一 收 稿 第 一 作 者 男 岁 硕 士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1995．04．004

·326* 北京科技大学学报 1995年No.4 刚架结构优化设计变量的确定应反映空间粱单元截面的力学特征，采用截面面积A 作为设计变量，并且是离散变量，目的是使优化出的值都为标准型钢的标准值，由离散变量 A通过式(1)可以确定截面其它的特征参数. A2=a1A品，A3=a2A,11=x3A,，2=a4A 13=&5A,01=a6A,02=a,A,01=gA8 (1) 这里：A,、A,一分别为2、3轴方向的剪切面积；1一截面对1轴的抗扭转惯性矩；12、 I,一分别为截面对2、3轴的抗弯曲惯性矩；02、0，一分别为截面对2、3轴的抗弯模 型；a,、B,（i=1,2,…,8)-分别为待定系数. 对于x:和B:的确定，例如在式(1)中的A2=1A,两边取对数nA2=血a1+B,血A,对 某种类型的型钢，可以有一组截面特征参数的离散值，这样，求得一组A2和nA,利用最 小二乘法回归求出lna:和阝，从而确定某种型钢的系数x,和B. 12梁单元最大应力求解方法 梁单元某节点处正应力：on=R/A+M/W1+|M/W,(R,一1轴方向的轴向力； M2、M2-绕2、3轴方向的弯矩)方剪应力：t=√(R2/A)2+(R,/A)2(R2、R,-沿2轴 和3轴方向的剪应力)方由第三强度理论知合成应力为√σ。2+3t2.取梁单元两节点 处合成应力的最大值0mx,使ox=[o]([o]一许用应力).便可确定梁单元的最大应 力断面.本文采用二分法求解，并将求解后的最大应力断面合并到尺寸下限中去， 1.3优化准则 选择目标函数为结构的质量： W=W,+2,AP,÷极小 (2) j-1 满足的约束条件：U,-U≤0(=1,2，…，m);A,-A≤0A一A,≥0. 这里：W-结构质量；W。一被动单元所占质量；↓，-第j个主动单元的长度A一第j个主 动单元的断面积；P一第j个主动单元的质量密度；U,一第i个约束位移，U一第i个许用 位移；A、A一分别为第j个主动单元的尺寸上、下限， 将应力约束条件σ，-[o】≤0(o,-第j个主动单元合成应力；[o,]-第j个许用应力) 归并到尺寸下限中去，即由应力约束条件求得最大应力断面面积A,与来自型钢最小尺寸的 面积A:比较，取较大者为尺寸下限，即：4，=max(A,A) 将所有的单元分为两类，即主动单元和被动单元，依据约束位移对单元断面面积的导数 是否大于零来判断.若大于零，列为被动单元，并让其断面面积取尺寸下限A,在以后的 迭代过程中不再修改；若小于零，列为主动单元，并在迭代过程中断面需进行调整，另外， 在迭代过程中，凡是断面尺寸违反了尺寸上、下限约束的单元，其断面面积取尺寸上限或 下限，并列为被动单元，在以后的迭代过程中不再修改， 1.4迭代公式

· · 北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 刚架结构优化设计变量 的确 定 应 反 映 空 间 梁 单 元 截 面 的 力 学 特 征 采 用 截 面 面 积 作为设计变量 ， 并且是 离散变量 ， 目的是 使优化 出的值都 为标准型钢 的标准值 由离散变量 通 过式 可 以 确定 截 面其它 的特征参数 一 尹 ， 尹 ， 一 口】 ， 口 ’ “ 夕 ， 。 声 ， 。 ， 刀 ， 。 刀吕 这 里 、 一 分 别 为 、 轴 方 向 的剪 切 面 积 乙一 截 面 对 轴 的抗扭转 惯 性 矩 几 、 几一 分别 为 截 面 对 、 轴 的 抗 弯 曲 惯 性 矩 ， 、 。 一 分 别 为 截 面 对 、 轴 的抗 弯模 型 ‘ 、 刀 ， ， ， 一 ， 一 分别 为待定 系数 对于 ‘ 和 刀 ‘ 的确定 ， 例如在 式 中 的 二 ，矛 ， 两 边 取 对数 加月 ， 刀 】 ， 对 某 种类 型 的型钢 ， 可 以 有 一 组截 面特征参数 的离 散值 这样 ， 求 得 一 组 通 和 加通 ， 利 用 最 小二乘法 回归求 出 ‘ 和 刀 ‘ ， 从 而 确定某 种 型 钢 的系数 ‘ 和 口 ‘ 梁单元最大应 力求解方法 梁单元 某 节 点处正 应力 。 。 叽卜 叽 ， 一 轴 方 向 的 轴 向 力 材 、 材 一 绕 、 轴 方 向 的 弯矩 剪 应 力 丫 通 ， 凡 ， ， 和 轴 方 向 的 剪 应 力 处 合 成 应 力 的 最 大 值 。 由第 三 强 度 理 论知合 成 应 力 为 丫石二不万万了 、 一 沿 轴 取 梁 单 元 两 节 点 使 。 【 。 【 叮 】 一 许 用 应 力 便 可 确 定 梁 单 元 的 最大应 力 断 面 本 文 采 用 二 分 法 求 解 ， 并 将 求 解 后 的 最大应 力 断 面 合 并 到 尺 寸 下 限 中 去 优化 准则 选择 目标 函数为结构 的质量 肚 叽 ， 互 ‘ ， ， ” 极 小 ， 满 足 的 约 束 条 件 ‘ 一 梦 二 ， ， … ， ， 一 ， 伏 厂 ， 这里 一 结构质量 叽 一 被动单元所 占质量 ，一 第 个 主动单元的长 度 厂 第 个 主 动单元 的断面积 只一 第 个主 动单元 的质量 密度 ， 一 第 个约束位 移 ， 尹一 第 个许用 位移 再 、 一 分别 为第 个 主动单元 的尺寸 上 、 下 限 将 应 力 约 束 条 件 ， 一 位 ， 】 簇 伍 一 第 个 主 动 单 元 合成 应 力 ，卜 第 个 许 用 应 力 归并 到 尺寸 下 限 中去 ， 即 由应 力 约束条件求 得 最 大应力 断面面积 对 ， 与来 自型钢最小尺寸 的 面积 群 比较 ， 取较大者 为 尺寸 下 限 ， 即 乙二 川 ， 衅 将所有 的单元分为 两类 ， 即 主 动单元 和 被 动单元 依据 约束 位移 对单元 断面面积 的导数 是否 大于 零来判 断 · 若大 于零 ， 列 为被 动 单 元 ， 并 让 其 断 面 面 积 取 尺 寸 下 限 乙 ， 在 以 后 的 迭代过程 中不 再修改 若小 于 零 ， 列 为主动单元 ， 并 在 迭代过程 中断 面 需 进行 调 整 另 外 ， 在迭代 过程 中 ， 凡是 断 面 尺寸 违反 了 尺 寸 上 、 下 限 约 束 的单 元 ， 其 断 面 面 积 取 尺 寸 上 限或 下 限 ， 并列 为被 动单元 ， 在 以后 的迭代过程 中不再修改 迭代公式

Vol.17 No.4 孙衍全等：基于SAP5P程序的工程刚架结构离散变量优化系统 .327. BA:; 当A,<B,A号<A A+1={4, ； 当B,A≤A (2) ;当B,A≥A 这里：A、A+'-分别为D次和v+1次迭代后的面积；B=x-(1-x)2,/(,P方x-松驰因 子（取x=0.5~0.9方1-拉氏乘子，经推导： =-(a;-u+1-20,A)1-22A/0,A》 这里：U-v次迭代后第i个约束位移；Q,=0u,/A,一第i个约束位移对第j个单元断面面 积的导数（或位移灵敏度）· 1.5多载荷工况、多位移约束情况的处理 对这一问题，一般采用包络法进行处理，但当由各个约束条件分别迭代出的最优点相距 很远时，此法就很不理想·对此，本文提出这样的处理方法：(1)对位移约束条件进行筛 选，当约束位移U,<07U,,则认为该位移约束为松约束，迭代时不予以考虑.(2)对于不 被删除的位移约束，选择最大的位移比(U,U)所对应的约束条件为基础进行迭代计算· 求出最优解后判断被筛选后的位移约束是否满足约束条件，如满足，说明这些约束也不起控制 作用也将不予考虑；如违反，则沿这些约束曲面的梯度方向把设计变量拉回到这些约束曲面上， 1.6离散处理 在每次迭代结束后、重分析之前，要对设计变量进行离散化·因为每次迭代后，设 计变量不会正好就是标准值，当选代后，它的值为A,,落在两个标准离散值A,和Ak+1 之间.A取何值，分两种情况：(1)当位移约束为主动约束时，A;取Ak+1;(2)当应 力约束为主动约束时，本文采用桁架结构的满应力选代公式A/A;=(o儿σ])'(r-起松驰 因子)，按超弛因子来判断取值.A,代人A,分别把Ak和A+:代入A,若A和 Ak+1都能使r=1.05~1.20,则A,取A;否则，取满足使r=1.05~1.20的值. 1.7迭代结束条件 (1)当主动单元和被动单元的分类没有变动时，结束迭代·(2)当前后两次迭代后计 算结果充分接近时，即：(Wd)-W(d-l)/W(d-I)<e(W(d-I),W(d)-前后两次迭代结构的 质量；e-收敛精度)，停止计算，输出结果.SOP程序框图（略）· 2计算实例 2.1模型建立 图1所示为一个刚架结构模型，所取的节点数为16个，单元数为24个，载荷工况取为3 种工况，如表1所示.在节点1的x方向以及节点4的x、y方向上没有位移约束，许用 位移为=2×103m(i=1,2,3),并取许用应力[o]=234MPa.对节点13、14、15、16各 方向位移全部约束.刚架结构材料的选取：虽然SOP程序可以涉及机械设计手册中的9

孙衍 全 等 基于 程 序 的 工 程 刚架 结 构离散 变量 优 化 系 统 ， 了 当丝 ， ， 岁 凡 当 ， 岁簇 些 ， 当 乓 岁 凡 次 和 。 十 次 迭 代 后 的 面 积 乙再一 尹﹄ 才 一 这里 冉 、 群 ’ 一 分别 为 子 取 又一 拉 氏乘子 ， 经推 导 乓二 “ 一 一 幻兄仓 ， 毛 二 一 松驰 因 又一 卜 了 一二 艺 ‘， 签 一 艺 恳 乡 ，马 这里 研一 。 次迭代后 第 个约束位移 仓， 刁。 日 ， 一 第 个约束位移对第 个单元 断面 面 积 的 导数 或位移灵敏度 多载荷工 况 、 多位移约束情况 的处理 对这一 问题 ， 一般采用 包络法进行处理 ， 但 当由各个 约束条件分 别迭代 出的最优点相 距 很远 时 ， 此法就很不理 想 对此 ， 本 文 提 出 这 样 的 处 理 方 法 对位 移 约 束条件进 行 筛 选 ， 当约束位移 矶 叨 ， 则 认 为该位 移 约束 为松 约 束 ， 迭 代 时不 予 以 考 虑 对 于 不 被删 除的位移约束 ， 选 择最大 的位移 比 矶周兮 所对应 的 约 束 条 件 为 基 础 进 行迭 代计 算 求出最优解后 判断被筛 选后 的位 移 约束是 否 满足 约束 条件 ， 如 满足 ， 说 明这 些 约 束 也 不 起 控 制 作用 也将不 予考虑 如违反 ， 则沿这些约束曲面的梯度方 向把设计变量拉 回到这些约束曲面上 离散处理 在 每次迭 代 结 束后 、 重 分 析 之 前 ， 要 对 设 计 变 量 进 行 离 散 化 因 为 每 次 迭 代 后 ， 设 计变量 不 会正好就是 标 准值 当迭 代后 ， 它 的 值 为 冬 ， 落在 两 个标准 离 散 值 和 之 间 · 取 何 值 ， 分 两 种 情 况 当位 移 约 束 为 主 动 约 束 时 ， 取 当应 力 约束为 主动约束时 ， 本 文采 用析架结构 的满应力迭代公式 群 十 ‘ 群 【 。 一 起松驰 因 子 ， 按 超 弛 因子 来 判 断 取 值 ，‘ 代 人 群 ， 分 别 把 和 人 ，代 人 群 十 ，， 若 和 都能使 一 ， 则 ’ ， 取 否 则 ， 取 满足使 一 的值 迭代结束条件 当主 动单元和 被 动单元 的分类没有 变动时 ， 结束迭 代 当前 后 两 次迭 代后 计 算结果充分接 近 时 ， 即 一 一 一 。 一 ， 一 前 后 两次迭代结构 的 质量 一 收敛精度 ， 停 止 计算 ， 输 出结果 程 序框 图 略 计算实例 模型建立 图 所示 为一个 刚架结 构模 型 ， 所取 的节点数为 个 ， 单元 数为 个 ， 载荷工况取为 种工况 ， 如表 所示 在 节 点 的 方 向 以 及 节 点 的 、 方 向 上 没 有 位 移 约 束 ， 许 用 位移 为 户 一 ， ， ， ， 并 取许用 应力 对节点 、 、 、 各 方 向位移全部约束 刚架结构材料 的选 取 虽 然 程 序 可 以 涉 及 机 械 设 计 手 册 中 的

·328· 北京科技大学学报 1995年No.4 表1载况工况 2 1① 工况I 工况Ⅱ 工况Ⅲ 作用点23 671011 ∠@③ 作用方向xx y xx y xx y 5⑤3 ② 载荷/N-10-10-10-10-10-10-10-105-10 ①® /⑦ ☑ 9 ① 种标准型钢的材料，但为分析方便起见，本次计 /画 @ 算对刚架结构所取的型钢类型都为工字钢.从实际 13 11 14 结构设计的角度出发，4个立柱每个各取相同的材 料，即后左立柱上的单元⑨、飞、红材料序号为 5 11;后右立柱上的单元⑩、@、@材料序号为12；前 图1钢架模型 右立柱①、⑤、⑧单元材料序号为13；前左立柱 ②、⑥、④单元材料序号为14.为说明SOP的程序的特点，对该刚架结构进行了两次优化 计算，且优化前各单元都取相同的截面积，分别为A=42cm2和A=157.8cm2. 3.2结果分析 两次优化计算各共迭代了3次便完成了· 图2为质量优化曲线，可以看出，第1次迭代 3.0 后都达到了最优点附近；第2次有所降低；第 3次迭代后，又重新回到并收敛到最优点，说 2.0 明第1、第2次迭代是在约束边界附近并违反了 1.0 约束条件，第3次迭代后，回到了约束边界 上·优化前，面积较小的刚架结构质量为 0.792t,优化后，质量为2.15t,增加了171%： 选代次数 优化前，面积较大的刚架结构质量为2.973t, 图2质量优化曲线 优化后，质量为2.04t,降低了31.4%. 图3、4分别为两种面积结构在优化前后3种工况下单元最大合成应力曲线，图中横线 2400 240 许用值 1800 160 1200 600 许用值 0 0 12 20 004812、162024 单元 图4优化前合成应力曲线 留5优化后合成应力曲线

北 京 科 技 大 学 学 报 卯 年 表 载况工 况 工 况 工 况 作用 点 作用 方 向 载荷阿 义 工 况 一 一 一 一 护 一 护 一 一 一 一 种标准 型 钢 的材料 ， 但 为分 析方便起 见 ， 本次计 算对刚架结构所取 的型 钢类 型都为工 字 钢 从 实际 结构设计 的角度 出发 ， 个 立柱每个 各取相 同 的 材 料 ， 即后左 立柱 上 的单元 ⑨ 、 ⑩ 、 材料序号 为 后 右立 柱 上 的单元 ⑩ 、 ⑩ 、 ⑩ 材料 序号 为 前 右立 柱 ⑩ 、 ⑩ 、 ⑩ 单元材料序号 为 前左立 柱 罕司 ⑦ 黔 别 一⑩ 图 钢架模型 ⑩ 、 ⑩ 、 单 元材料 序号 为 为说明 的程序 的特点 ， 对该 刚架结构进行 了两次优化 计算 ， 且优化前各单元都取 相 同的截面积 ， 分别 为 和 二 结果 分析 两次优化计算 各 共 迭 代 了 次 便完 成 了 图 为质量 优化 曲线 可 以 看 出 ， 第 次迭 代 后都 达到 了最优点 附近 第 次有 所 降低 第 次迭代后 ， 又 重新 回 到并 收敛 到 最 优 点 说 明第 、 第 次迭代是 在 约束边 界 附 近 并 违 反 了 公 约 束 条件 ， 第 次 迭 代 后 ， 回 到 了 约 束 边 界 上 优 化 前 ， 面 积 较 小 的 刚 架 结 构 质 量 为 ， 优 化 后 ， 质 量 为 ， 增 加 了 优化 前 ， 面 积 较 大 的 刚 架 结 构 质 量 为 ， 优化后 ， 质量 为 ， 降低 了 玉坦一 迭代 次 数 图 质量优化 曲线 图 、 分 别 为两 种 面积结 构在 优化 前后 种 工况 下 单 元 最 大 合 成 应 力 曲线 图 中横 线 许用 值 尸工芝 许 用 值 ‘ ‘ ，一 ‘且‘ 卜‘卜 七芝︸一目 单 元 单元 图 优化前合成应 力 曲线 图 优化后合成应 力 曲线

Vol.17 No.4 孙衍全等：基于SAPSP程序的工程刚架结构离散变量优化系统 .329. 为许用应力值.a曲线表示较小面积结构；b曲线表示较大面积结 构，可以看出，优化前各立柱上的大部分单元应力都超过了许用应力，并且立柱的底部应力 最大，图4是优化后的合成应力曲线，优化后所有的单元应力都远远地低于许用应力，分布 趋于合理，应力约束是松约束·对于较大面积结构，尽管优化前单元的面积取值较大，但结 构的应力状态并不好，其中各立柱上大部分单元的应力超出了许用应力：优化后，应力状 态得到了很好的改善， 对于位移，以x方向为例，对两种面积的结构除约束节点外，大部分的节点在优化前都 超过许用位移数值.但优化后，所有节点都处在许用值幅围内，其中4节点最接近于许用 值，说明在优化过程中4节点的x方向位移是一个紧约束， 3结束语 (I)SOP程序具有一定的先进性和实用性·先进性在于采用功能很强的C语言编号， 程序模块化层次清楚，易读易改；实用性在于该程序利用机械设计手册中的9种标准型钢的 断面特性参数建立了材料库文件以供优化选择，符合工程实际的设计要求， ()对于SOP程序与SAP5P程序的接口设计，每次修改SAP5P的数据文件后，可自动 执行SAP5P程序，不需人工进行. 参考文献 1李炳威.结构优化设计.北京：人民交通出版杜，1989.1~115 2王光远.结构优化设计方法，北京：高等教育出版社，1987.260一278 3谭洁强.C程序设计.北京：清华大学出版社，1991.1~320

孙 衍 全 等 基于 程 序 的 工 程 刚 架 结 构离 散 变 量 优 化 系 统 · · 为 许 用 应 力 值 曲 线 表 示 较 小 面 积 结 构 曲 线 表 示 较 大 面 积 结 构 可 以看 出 ， 优化前各立 柱 上 的大部分单元 应力 都超 过 了许 用应力 ， 并 且立柱 的底部应力 最大 图 是优化后 的合成应力 曲线 优 化后 所 有 的单元 应力 都远 远 地 低于许 用 应力 ， 分 布 趋于 合理 应力 约 束是松约束 对于 较大 面 积结 构 ， 尽 管优化前单元 的 面积取 值较大 ， 但结 构 的应力状态并 不 好 ， 其 中各立柱 上 大 部 分 单 元 的 应 力 超 出 了 许 用 应 力 优 化 后 ， 应 力状 态得到 了很好 的改善 对于位移 ， 以 方 向为例 ， 对两种 面积 的结构 除 约束节 点外 ， 大 部分 的节 点在 优化 前 都 超过许用位移数值 但优化后 ， 所有 节 点 都 处 在 许 用 值 幅 围 内 ， 其 中 节 点 最 接 近 于 许 用 值 ， 说明在优化过程 中 节 点 的 方 向位移 是 一 个 紧约束 结束语 程序具 有 一 定 的 先 进 性 和 实 用 性 先 进 性 在 于 采 用 功 能 很 强 的 语 言 编 号 ， 程序模块化层次清楚 ， 易读易 改 实用性 在 于 该程 序利 用 机械设计手册 中的 种标 准型 钢 的 断面特性参数建立 了材料库文件 以供优化 选 择 ， 符合工 程 实际 的设计要 求 丫 对于 程序与 程序 的接 口 设计 ， 每 次修改 的数据文件后 ， 可 自动 执行 程序 ， 不需人工进行 参 考 文 献 李炳威 结构优化设计 北京 人 民交通 出 版社 ， 一 王光远 结构优化设计方法 北京 高等教育出版社 ， 印一 谭洁强 程序设计 北京 清华大学 出版社 ， 卯 一