那么{xn}是一个单调减少数列;若进一步有 十】9 则称之为严格单调减少数列 例10(1/n)和(一n2显然是严格单调减少的数列;n+1 和{n}是严格单调增加的数列 2.有界性对一个数列{x},如果存在某个实数m,使 则称此数列有下界,m为它的一个下界 类似地,如果有某个实数M,成立 ≤M,n=1,2,3 那么称它有上界,M是它的一个上界 既有上界,又有下界的,就称为有界. 例11 1+(-1) 2 n}是一个有下界无上界的数列;(sn}是 个有界数列 定理1收敛数列一定有界 证明设数列{xn}以a为极限: li 按形式定义,e>0彐NⅤn>N:|xn-a|<ε 现在随便取定一个,譬如说e=4,于是有某个号码No,使当 >N。时成立 Fr-a<Eo 运用三点不等式得 于是可取
B=max{|x1,|x21|,…,|xl,a|+ 这样就必有 zn|≤B,亦即-B≤x≤B,n=1,2,3,… 这表明数列{xn}有界.证毕 注有界数列不一定收敛 例12将数列 1+(-1) 2 写出来就是 0,1,0,1…,0,1, 可见:第一,它有界;第二,它不收敛 定理2单调有界数列一定收敛 上述定理可分别叙述为:单调增加有上界的数列一定收敛;单 调减少有下界的数列一定收敛 像“区间套定理”一样,这个定理也是实数系连续性的一种本 质反映.尽管它并不直接提供数列的极限,但往往可以在得知数列 收敛的基础上求出极限 例13通过81例2,我们可以说:{1+1)}是严格单调增 加且有上界的数列,因此它必定收敛,用e记它的极限 im(1+1)=e 有时还可更加明确地写成 +1 1+↑e以及(1+ 例14设数列{xn}: 2, xn+1=2x+n=1,2,3 请读者补充证明:{xn}是一个单调有界数列,因而{x}是一个 收敛数列.记它的极限为a>0: ·24
lim.=a 然后在递归关系xm+1=2x+x两边取极限,得到 4=1mx+-lm(2x+2)=a+ 由此得出 a=√2,即 limx=√2 事实上,这是计算√2的数值时在计算机上可以实现的一个 迭代算法,读者可在计算机上进行数值实验 六、柯西准则 个数列的单调性和有界性确实是数列本身的特性,不必事 先指出极限,由单调性和有界性就保证了数列的收敛性然而,许 许多多的收敛数列不具有单调性,如例6中指出的那样, +(-1)}是一个收敛数列但显然不单调所以说,“单调 有界数列必收敛这个命题的适用范围还不够普遍 柯西①准则数列{x}收敛的充分必要条件是 e>0彐NVn>NⅤp:!xn+p-x|< 也就是说:对于任意给定的小量E>0,存在某个号码N使对在这 后面的任何两个号码n和n+p,成立|xn+p-x|<e 这个命题已达到充分必要的程度,可以说是收敛数列的最普 遍的属性了,这个命题也是实数系连续性的一种本质反映 例15数列{xn}定义如下: x=1-1+1_…(-1)+1,n=1,2,3,… 不难检验,它不是单调数列.现在考察 D柯西( Augustin Louis Cauchy,1789-1857),法国数学家
2+1n+2+…+(-1)+11≤1 1 注意,不等式的最右边已经与号码中的户无关,因此只要n足够 大,不论p的大小如何都能使|xm+r-x充分地小 因此,按柯西准则,这个数列是收敛的由第八章中幂级数的 计算可知 Im 2 …+(-1y+1)-1m2 例16给出数列{x} xn=1+2+3+…+n2,n=1,2,3, (1)显然数列{xn}单调增加,再者 =1+2+3+…+n 1·22·3 ·+ 2 即数列{xn}有上界,因此按照上面的定理2:单调增加有上界的数 列一定有极限,这个数列{x}收敛 (2)换一种方式,考察 0≤ 十身 (n+1)2(n+2)2 … (n+p)2 n(n+1)(n+1)(n+2) (n+p-1)(n+p) +1+(n+1n+2 1 n十—1n+p 由此可见,只要n足够大,关于一切自然数力都能使|xn+p-x充 26
分地小.按照柯西准则,这个数列{xn}收敛 由第八章中傅里叶级数的计算可知 lim 1+at 22 十…十 注“单调有界数列一定收做”这个命题的适用范围当然要比 柯西准则的适用范围小,但有时按前者验证更加方便,进而能通过 递归关系求出极限(见例14) 习题 1.验证下面的数列是无穷小量: n+(-1) 1+2+3十… 2.借助于二项展开证明: (1)对于任何正数a,有极限 IIn (2)li 3.运用夹逼性原理证明: lim 十 +1√n2+2 √x2 求极限 1+十+ (1)in (2)lim 1++n+… n3+n2+2 (3)lir 5.证明下面的数列具有单调性和有界性,进而求出极限: (1) xn+1=√2xn,n=1,2,3,… 2