然后考察 x1=2,x2=√2≈1.414,x3=y2≈1.26, z4=√2≈1.19,xs=V2≈1.15,…, x1=W2≈1.07,…,x2=2≈1.03,…, x30=2≈1.02,… 总的趋势似乎收做于1(即有可能分解出以1为常数的常数列) 它究意是不是以1为极限,关键要看 2-1,n=1,2,3 是不是一个无穷小量 为此置数列{yn} 于是有 2=1+y,yx>0 应用二项展开得 2=(1+y)=1+m+~。y2+…+yz>1+ny 因而 0<y<1,即0<y2-1<1,n=2,3,… 这表明 lim(y2-1)=0, 所以结论是 limy=1 注本例中我们运用了二项展开以及不等式的技巧,有兴趣 的读者可以进一步证明(有一定难度): (1)对于任何正数a,有 18
lim y (2)进一步地有 lim vn=1 四、收敛数列 以某个实数a为极限的数列{xn}称为收敛教列;任何实数a 也不能作为其极限的数列{xn}称为发散数列,简而言之,有极限的 数列叫做收敛数列,没有极限的数列叫做发散数列 极限的唯一性定理收敛数列的极限是唯一的 证明假设收敛数列{xn)有两个极限: limr=a和 limx=b 对于任意给定的小量e>0,按 lim z=a的形式定义,存在N1,使 当n>N1时有 同样地,按 limx=b的形式定义,存在N2,使当n>N2时有 现在取N=max{N1,N2}.于是当n>N“时,应用三点不等 式得出 lab=lan-xatI-blslIn-al+lEmb<2E. 从上面的不等式两头来看,两个定数a和b之差竞然能小于任意 小的正数,这就毫无疑问地导致该两定数相等:a=b.换言之,收敛 数列的极限必定唯一.证毕 注1max系 maximun的头三个字母,作为一种运算,意思 是“取其大者” 注2极限唯一性定理表面上看,似乎对于极限计算没有什 么用处,其实它是一个基本观念第二章和第三章讲述的导数和积 分都将是建立在极限基础上的,因此它们也都是唯一的 19
夹辽性定理三个数列{xn},{yn}和{zxn}如果从某个号码起 成立 ≤y≤ 并且已知{xn}和{z}收敛,且 limx=a=lmx,则有结论 1 注在上述三个数列中,{yn}是要求计算极限的“主体”数列, {x}和{zn}是“辅助”数列关键在于{xn}和{x}必须具有相同的极 限,否则,夹而不逼将一事无成 例8要求计算 (a1y+an2++2 对于 (兀+1)2 l,2,3 通过不等式技巧 4n=(2n)2(n+1)2+(n+2)+“(2m)<(n+1)<n, 产生所需要的 和 很明显 1,2,3 并且 limx=0=lime 由此得出结论: lin (n+1)2+(n+2)2 … 代一 (2n)2/=0 收敛数列可以进行加减乘除四则运算: 1. limt.=a且inyn=blim(xn±y)=a土b.即
lim (xn+ym)- lima +limyn. 更一般地可以说,收敛数列线性组合的极限等于收敛数列极 限的线性组合,即 lim(axn士Byn)= alima士 Pliny 1无,= 且 limy=b→lim(xy 即 一 lim( 3. linux=a且limy=b≠0→lim(xn/y)=,即 lim (./yx=limm limy 例9讨论1m24n十a十”+a团十a,其中a>0. on (1)当更=l时,应用四则运算规则行到 n*+a1n4-1+…+ bn2+b1n4-1+…+b 已 1 b+b1+…+b a1+…+ im|b+b+…+b b (2)当k<l时,有 him ben 十 b1n4-1+…+b limn b+b1+…+b 2
a1+…十a limn-lim bo+b,n+…+b 0 (3)当k>l时,结果是 lim bn2+b1n2-3+…+b 十ar 1 十…+ =limn- 601b 1 十…+b2 (这里,正无穷大量{n24)与极限为a0/b>0的收敛数列 十…+a 之积是正无穷大量.) b+b1-+…+b 五、单调有界数列 关于数列,讲到现在都离不开它的极限:有极限的数列收敛; 没有极限的数列发散然而,当给定了一个数列以后,要指出它的 极限不是一件容易的事(事实上,有远比例7困难的情况)所以问 题便转向:避开极限,就数列本身的结构来确定它的收敛性 1.单调性.一个数列{xn}如果满足 ≤xn+1,n=1,2,3 则称它是单调增加数列;若进一步地成立 xn<+1#=1,2,3, 就称之为严格单调增加数列 类似地,如果 xn≥xn+1,n=1,2,3,…