x+1=√2+xn=1,2,3, 6按柯西准则,证明下面的数列收敛: 1+1+ 1·22·3 n(m+1,=1,2,3,… §3·无穷级数与数列 部分和序列 所谓无穷级效,就是一串编了号的无限多个数a1,M2,a3 的累加,记为 u,=u,+u2+s+u,tat 首要的问题是在什么情况下这样的无限暴加是有意义的,为 此,考察它的部分和 = S2=v2+ S3=31+2+ S。=u1+t2+3+…+ 数列{Sn}叫做这个无穷级数的部分和序列 定义如果部分和序列{S}存在极限S,则称无穷级数 ∑ 收敛,且以此S为它的“和” u,=lims.=S 若{S,}发散,就称此无穷级数∑发散 28
例1无穷级数∑(-1)+1 它的部分和序列 S1=1 S2=1 S,=1 z+3-…+(-1)+1,1 §2例15按柯西准则得出了这个部分和序列的收敛性 limS.=In2 所以所给出的无穷级数收敛: +王 例2无穷级数以(-1)+1 这时部分和序列 S2=0 3 Sn=4+(-1)+1 2 显然发散,所以这个无穷级数∑(-1)+发散 29
二、收敛级数 性质1如果un=S,则有 Imus 换言之,无穷级数收敛的一个必要条件是它的一般项趋于零 证明借助于部分和 S t 可见无穷级数的一般项是相邻两个部分和之差: =s-S 由此得出 limu,=lim(S,-S-1)=limS,-limS,_1=S-S=0. 证毕 注按此条件,上面例2中的无穷级数∑(-1)+的一般项 )+1显然不趋于零,因此该级数发散 性质2如果2an=S,则对任何常数a成立 as 性质3如果 S T,则有 (un十Un)=S+T 性质2和性质3借助于部分和序列容易证明将这两点性质 联合起来,可以说对于收敛级数,线性组合的级数等于级数的线 性组合
∑(a+B)=a∑a+8∑ 、正项级数 无穷级数中最简单的情况是各项非负 这时,∑w叫做正项级数 由于正项级数∑w的部分和序列{Sn}单调增加 St-s ≥0,n=1,2 因此正项级数只有两种可能性 (1)正项级数收敛,其和为某个正数S: S.↑S,即∑un=S<+∞. (2)正项级数发散到正无限大: S,↑+∞,即 除此以外,不可能出现其他的发散情况 例3由§2例16可知下面的这个正项级数收敛 ∑↓=2, 6 例4调和级数 首先,这显然是一个正项级数,因此它的部分和序列单调增 加然后,我们将说明它的部分和无限制地增大,部分和序列是 个正无穷大量.为此,只需特别地考察如下的部分和 31
S=1+十+++|+…+++…+ 17 22+1+…+ +2+2+ ++÷++… 1+2,是=2,3 这样,就得出 s↑+∞,即21=+∞ 四、收敛性的比较原理 讨论正项级数的收敛性,有一个基本的出发点:比较原理设 有两个正项级数∑zn和∑v如果存在常数c>0,使得 n≤cvn,n=1,2,3,… 则可断言收敛: u<+∞→∑v<+∞, 或者断言发散: + → v r=1 注在收敛的情况下,∑n的和与∑v的和一般是不同 的 无穷级数的收做性与它的开头若干项的大小无关.常用的是 比较原理的极限形式:设正项级数∑乱与∑的一般项之间成 立 32