第六章非线性方程(组)的求解 同题:求∈R使f(x)=0.f:R1→、R的函数 若n=1,称为方程求根问题;n>1称为方程组求解 理论问题 (1)解的存在性。即有解还是无解,有多少解 (2)解的邻域性态。即孤立解的区域,解的重数,光滑性 关于解的存在性及其性态,不是数值分析所讨论的问题 我们总认为:f(x)在一个确定的区域2cR内有唯一解, 任务是如何求得这个x*。 下面分别讨论方程求根和非线性方程组求解的算法
第六章 非线性方程（组）的求解 问题：求x R n 使f (x) = 0, f : R n → R n 的函数。 若n=1,称为方程求根问题；n>1称为方程组求解。 理论问题： （1）解的存在性。即有解还是无解，有多少解。 （2）解的邻域性态。即孤立解的区域，解的重数，光滑性。 关于解的存在性及其性态，不是数值分析所讨论的问题。 我们总认为： f (x)在一个确定的区域 R n 内有唯一解x * ， 任务是如何求得这个 x * 。 下面分别讨论方程求根和非线性方程组求解的算法
§61非线性方程求根 如果(x)在区间ab内有解且有唯一解,秕区间为(x)的有解区间 二分法(区间分半法去) 设f(x)在区间a,b上连续且(a)·f(b)<0,则f(x)在区间a,b呐有解。 不妨设有唯一解。 算法: 找ab]={a02b]→[a1,b]→…[anbn]→… 满足 (1)f(an)f(bn)<0 (2)b d 令 aL.+ ∴X∈a 1rn-x<3(6n-an)=o(b-a) n→∞,x→)x
§6.1 非线性方程求根 如果f (x)在区间[a,b]内有解且有唯一解，称此区间为f (x)的有解区间。 不妨设有唯一解。 设 在区间 上连续且 则 在区间 内有解。 一、二分法（区间分半法 ） f (x) [a, b] f (a) f (b) 0, f (x) [a, b] , . ( ) 2 1 ( ) 2 1 [ , ], , 2 ( ). 2 1 (2) (1) ( ) ( ) 0; [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] , * * * 1 1 0 0 1 1 n x x x a b x x b a b a a b x b a b a f a f b a b a b a b a b n n n n n n n n n n n n n n n n n n → → − − = − + = − = − = − − 令 满 足 找 算法：
function [ x n]=erfenfaqiugen(f name, a,b, epsl) %求方程邱x)=0在有解区间[a]的根,满足fa)*(b)<0 x-(a+b)/2; ffeval(f name, x) while b-x>epsl if abs(<le-8, break, end if f*feval(f name, a)>0 else ene X-(a+b)/2; ffeval(f name, x) n=n+1 ene
function [x,n]=erfenfaqiugen(f_name,a,b,epsl) %求方程f(x)=0在有解区间[a,b]的根，满足f(a)*f(b)<0. x=(a+b)/2; f=feval(f_name,x); n=1; while b-x>epsl if abs(f)<1e-8,break,end; if f*feval(f_name,a)>0 a=x; else b=x; end x=(a+b)/2; f=feval(f_name,x); n=n+1; end
注: 1)二分法只能求奇数重的实根。 设x为f(x)的n重根,即f(x)=(x-x)mp(x),(x)≠0 不妨设叭(x)>0由(x)的连续性,则δ>0当x-x<谢时, q(x)>0. 又当m充分大以后{n,b]c(x-o,x"+6)于是m为偶数 时 ,x∈[an,bn,f(x)>0,不变号了! 2)二分法线性收敛,收敛因子为1/2 ∵x.-x n-Ia x)2 3)二分法可用来划分有解区间,这应是它的最大优点
注： 1）二分法只能求奇数重的实根。 时 ， 不变号了！ 又 当 充分大以后， 于 是 为偶数 不妨设 由 的连续性，则 当 时 ， 设 为 的 重根，即 ） 。 [ , ], ( ) 0, ), * , * [ , ] ( ( ) 0. * ) 0, ( ) 0, * ( ) 0 * ) ( , ( * ( ) ( ) ( * − + − = − f x n b n x a n an bn x x m x x x x x x f x n f x x x m x x 2）二分法线性收敛，收敛因子为1/2。 3）二分法可用来划分有解区间，这应是它的最大优点。 . 2 1 ( ), 2 1 ( ) 2 1 * 1 * * 1 1 1 * − − − − − − − − − x x x x x x x a x x n n n n n n
般迭代法 f(x)=0分x=0(x),q(x)称为迭代函数 xo∈Na(x.在解的邻域内选定初值 =0 n+l=( 3、讨论{xn的收敛性 定理一设0(x)在区间a,b上 (1)一阶导数连续,且題自映射,即a≤φ(x)≤b, (2)g(x)≤L<1 则vo∈[ab,由迭代6-1-1)产生的数列xn}均收敛,且 1-L 或 1-L
二、一般迭代法 、讨论 的收敛性。 、 在解的邻域内选定初值。 、 ， 称为迭代函数。 n x n x n x n x N x f x x x x 3 ( ) 1 0,1,2, ), * ( 0 2 1 ( ) 0 ( ) ( ) = + = = = 1 0 1 * 1 1 * 1 [ , ] 0 ( ) 1 ( ) , : ( ) [ , ] x x L n L x n x n x n x L x n x n x a b x x L a x b x a b − − − − + − − 6 - 1 - 1 2 1 或 则 ，由迭代（ ）产生的数列 均收敛，且 （ ） （ ）一阶导数连续，且是自映射，即 定理一 设 在区间 上