这种情况属发散,并且写不出像上述6种情况那的极限表达式 二、无穷小量与无穷大量 在各种各样的数列中,凡极限为0的数列称为无穷小量.随着 学习的深入,我们将体会到无穷小量在极限理论中起着核心的作 用 在上面的例1中, im-=0 所以说,}是一个无穷小量 在上面的例2中,当q|<1时, limq”=0 因此,当|q<1时,{q”}是一个无穷小量 现在我们给出无穷小量的形式定义:对一个数列{xn},如果成 立如下的命题: ε>0彐NⅤn>N:|xnl<e, 则称它为无穷小量,亦即 limx_=0. 其中符号Ⅴ是逻辑上的全称量词,意思是“所有的”;符号彐是逻辑 上的存在量词,意思是“有一个”它们经常出现在现代科学技术文 献中.再者, z|<e,即|x0|<ε,亦即p(0,xn)<e, 意思是说,序列中的成员x。与极限0的距离小于E,而E通常代表 个小的正数,“小不点儿”, 上述命题可以翻译成:对于任意小的正数e,存在一个号码 N使在这个号码以后的所有号码n,相应的x。与极限0的距离比 这个给定的e还小.它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认
识在数学上的精确表述如果我们需要严格地论证某个极限问题, 就用得着这种形式定义 无穷小量可以进行一定的算术运算设{xn}和{y}是无穷小 量,于是 (1){xn+yn}和{xn-yn}也是无穷小量这可以说成:两个无 穷小量的和差是无穷小量: limI.=0且 limy.=0→limn(xn士y)=0 (2)对于任何常数c,数列{cxn}也是无穷小量.或者说:无穷 小量的“数乘”是无穷小量 limx=0→lim(cxx)=0. 上述两点可以概括成一句话:无穷小量的线性组合是无穷小 量即对于任何常数a和P,成立 limx x=0且limy=0→lim(ax,+Byn)=0 (3){xmy}也是无穷小量就是说,两个无穷小量的积是一个 无穷小量 limx=0且limy=0→lim(xy)=0 (4){|znl}也是无穷小量.事实上有以下更强的结论; limx=0台)lim||=0. 例3我们知道{}是无穷小量即 于是推知{S2也是无穷小量即 lic1)" 但是,两个无穷小量的商不一定是无穷小量,情况还颇为复 杂这里,我们仅举一例,请读者自己设想其他的种种可能性 ·14·
例4由上面的例子已知 n/和(-1)2皆为无穷小量现 在置 并考察 /yn=(-1)°,n=1,2,3 十分明显,此时数列{xn/yn}发散,当然就不是无穷小量 类似于无穷小量,如果一个数列其成员的绝对值无限制地增 大,则称为无穷大量 在上面的例2中,当1q|>1时, IImg"=oo, 所以说,当{q|>1时,q}是一个无穷大量 无穷大量的形式定义如下:一个数列{xn},如果成立 ⅤG>0彐N￥n>N:|xx>G, 那么称它为无穷大量,记成 limx 特别地,如果有ⅤG>0彐NVn>N:xn>G,则称之为正无穷大 量,记为 limx=+∞; 若成立￥G>0彐NVn>N:x<一G则称之为负无穷大量,记 成 InT 粗糙地说,除了个别成员例外,由正数组成的无穷大量为正无穷大 量;由负数组成的无穷大量为负无穷大量既有无限多个正数又有 无限多个负数组成的无穷大量就笼统地称之为无穷大量 通过例2,我们看到:当|q1>1时{q”是无穷大量而当lq|< 1时{q}是无穷小量,两者之间其实是一个倒数关系这个倒数关 15
系具有普遍性 无穷小量与无穷大量的倒数关系在xn≠0的情况下 limx=0→lim 种·d inx=∞→lim1=0 亦即无穷小量的倒数列是无穷大量;无穷大量的倒数列是无穷小 量 无穷大量也可以进行一定的算术运算,但情况比无穷小量的 算术运算还要复杂,譬如说两个无穷大量的和差就不一定是无穷 大量 例5显然{√n}和{√n+1}是两个正无穷大量现在置 /n+ 。 并考察 √n+1 √n+1+ n=1,2,3 得出 lim(y,-,)=0. 此时,这两个无穷大量之差是一个无穷小量 三、极限 直观上很清楚,数列{xn}:x1,x2…,x…若有一个总的趋 势以某个实数a为极限,则相应的数列{xn-a}是无穷小量,这可 以一般地表述为 limx=alim(x, -a)=0. 于是,以a为极限的数列{x}本质上是一个常数列(此常数即为 a)与一个无穷小量{xx-a}之和这实际上是我们考察数列极限的 16
个基本观念 现在可以借助于无穷小量的形式定义给出数列{xn}以a为极 限的形式定义:如果成立 e>0彐Nn>N:|x。a|<e, 则称数列{xn}的极限为a,记成 li: 上述定义还有下面两种等价的表述 Ⅴε>0彐NⅤn>N:p(x,a)<e; vε>0彐Nn>N:x∈O(a,E) 极限是数列的总趋势,因此该数列中的某一个或开头某几个成员 的具体大小对它无决定性的关系 例6数列{1+(-1)1是这样的一个数列{xn},其中 (-1)”,n=1,2,3,…, 对于这个数列,容易将它分解为常数列{yn}: 1,2,3 以及无穷小量{x.2}: 2 (-1) 由此得出结论,它的极限为2,即 li 2 +(-1) 例7数列{v2},即 =列2,n=1,2,3,… 这时,捕捉其中的一个常效列就不那么容易了.首先 1,n=1,2,3