(∞,b]={xlx≤b} 9.整个实直线 (-∞,+∞)=R x 图1-2 其中,符号∞标记无限,+∞意味着实直线向右的无限延伸; ∞意味着实直线向左的无限延伸.进一步地,如果我们在直线上 虚拟一个理想元素:无限远∞,那么正无限远+∞位于无限远点∞
的左侧;负无限远一∞就位于无限远点∞的右侧 特别地,在实直线R上以点x为中心、以数为半径的一个 开区间(x0-8,x0+8)称为点x的δ邻域,记成O(x0,8): O(x0,8)={xx-xo|<a} 五、区间套 所谓区间套实际上是嵌套区间 (1)一系列的闭区间{an,bn]}; (2)前后嵌套,即[an+1b1]c[anb,亦即 ≤an+1<b+1≤bn,n=1,2,…↓ 3)区间长度收缩为零,即 (6 (显然bn+1-a+≤bn-an,这些区间的长度逐个缩小,趋于零.) 实数连续统的基本性质区间套{an,bn]}具有唯一的公共 点(图1-3)也就是说存在唯一的点,成立 an≤∈≤b,n=1,2,…, [[[— 留1-3 这是实数系连续性的一种本质反映,数学分析教科书上称为 区间套定理” 例1设 ,b3]=[1,2] [a2b2]=[14,1.5], [a3,b3]=[141,1.42]
Aa, b],其中a。为数2开方的前n位数 b=a+10--) 不难看出,这样构造的{[a,b}是区间套,其唯一的公共点 就是 2=1.41421 例2设 a1,1]=[2,4] [a2,b2]=[2.25,3.375], [an,b,],其中an=(1+1y,b,=(1+1 可以验证(有一定的难度),如此构造的{[a,b]}也是区间 套,这时唯一的公共点是 e=2.71828 习题 验证集合运算的分配律: AU(B∩D)=(AUB)∩(AUD); A∩(BUD)=(A∩B)U(A∩D). 2.验证集合运算的对偶律: (AUB)°=A∩Bg (A∩B)C=ACUB° 3证明距离的三点不等式,即对于任何三点x,y,z∈R成立 P(x,y)≤P 4.证明√2是一个无理数 5.证明√3是一个无理数 10
6.就任何一个素数p,证明√p是无理数 7.参照本节例2,证明对于正整数k≥3,成立: (1+)<(1+ k+1 矗+1 1 最+2 1+ 1+ §2数列极限 数列 顾名思义,数列就是由数组成的序列.这里我们强调两点: (1)这个序列中的成员都是编了号的; (2)序列中有无限多个成员 归结起来,数列是一串编了号的无限多个数,抽象地写成 123 ,n, 缩写为{xn} 例1数列{1}是这样的一个数列{x},其中 1,2,3, 写开来即为 2”3 n 十分清楚,这个数列有一个总的趋势数值越来越小,极限为0,记 成 0 注lm可视为 limit的开头三个字母 例2数列{q”}是这样的一个数列,其中 l,2,3 写开来就是 11
现在分别几种情况讨论 (1)当0<q<1时,这个数列有一个总趋势,其数值越来越 小,极限为0,记成 limo"=0. (2)当—1<q<0时,这个数列也有一个趋势虽然符号交替 变化,但其绝对值还是越来越小,极限仍为0,记成 lim=0. (3)当q>1时,这个数列有一个总趋势,其数值越来越大,无 限制地发散,记成 limq”=+∞ (4)当q<-1时,这个数列也有一个趋势,虽然符号交替变 化但其绝对值还是越来越大,这样的无限制发散记成 limq"=∞, 注意,此时不能写成十∞或-∞,只能一般地写成∞ 5)特别地,当q=0时,它是一个平凡的常数列 0,n=1,2,3 当然,此时也可理解成极限为0,记作 limq”=0 (6)类似地,当q=1时,它也是一个平凡的常数列 q”≡1,n=1,2,3 于是显然极限为1,记作 limo"=1. 7)当q=-1时, -1) 1,2,3 写开来即交替地出现