△P.≈h/△x=6.626×10-18gcms-1 其速度方面的不确定性△：，达 △vx=△pz/m=6.626×10-10/0.9109×10-27 ≈10cms-1 显然，它的运动不可能再用轨道的概念来描述，实际上就是因为这 时它的运动的被动性起着重要作用了。为此，要求人们建立能够 较好地反映微观世界内特有的规律性的力学去加以研究，这就是 量子力学的任务。 §1-3实物微粒运动状态的表示法 1.波函数平 在经典力学中，任何质点的运动都有一定的轨迹。在每一个 时刻，它的坐标和动量都同时具有确定值。因此，如果知道了某一 时刻质点的运动状态，就可预知其在另一时刻的状态。例如，经典 力学中粒子的一维运动服从牛顿第二定律： F=m器 式中F为作用于质量为m的粒子的力。这是一个二阶微分方程 它的通解包含有两个待定常数c1和c2,所以其坐标可以写成t的 某个函数，具有如下形式： z=f(t,c1,c2) 如果我们知道了粒子在t。时刻的位置xo,又知道了这一一时刻粒子 具有的速度o(亦即知道其动量mvo),则 zo=f(to,C1,02) w=品f,ec)。 解这联立方程，就可得到c1及c2的值，并用这个轨道函数x= ,·25· 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要
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f(t,c1,c2)来预测粒子确切的未来运动，推算未来状态的各种力 学量，如动量、能量.等。 对于在原子或分子中运动的电子来说，情况就不一样了。因 为它具有波粒二象性，受到不确定关系的限制，使微观粒子不能同 时具有确定的位置和速度，只能按照玻恩提出的统计解释，用空间 某处波的强度确定它以微粒形式出现在该处的几率，而不能确定 它在什么时刻究竞到达什么地方。为此，实物微粒的运动状态应 该考虑按波的概念来描述，另谋途径设法求取能描述其波性的运 动方程。 在经典物理学中，一般通过一个函数形式来描述波的运动状 态。例如弦上的驻波就用弦上各点的位移随时间和位置而变的函 数来表示，电磁波可以用t时刻在(x,y,)点的电场或磁场强度U (x,y,2,t)来描述，而U川2就代表t时刻在该点波的强度。由于光 的波粒二象性，U2也可表示光子在t时刻，在(x,)位置上出 现的几率密度。实物微粒的波虽然和经典的波有所不同，但凭其 所代表的几率意义，可以决定微观粒子在空间不同地点出现的儿 率。当然这种波也应该是时间·和空间位置干的函数。我们不妨 把它也记作Ψ(x,t)或（矿，t),称作波函数，用波函数平来描 述任何微观体系的运动状态，以此作为对物质波的定量数学表示。 例如，对于一个自由运动的电子的平面波，量子力学假定其波函数 可写成下列复函校形式 平=Aexp话7-B 式中卫为电子的动量矢量，？为坐标矢量，E为能量。类比于1U2, 体系在时间t出现于空间某点(3，头，)附近的几率也与波 函数的绝对值平方平成正比（当波函数为复数时，即为复数模 的平方)。对于化学上常见的稳定态原子、分子体系，其能量具有 ·26· 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要
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确定的值，其粒子出现的几率也不随时间而变化，于是可用不包含 时间的波函数中(x,z)代表体系的运动状态，|(x,2)川2正比 于粒子出现在空间(x,2)这一点的几率，故在该点附近dx微体 积内粒子出现的几率dw为： 0=k|(x,z)|2dx 由于在全空间内找到一个粒子的几率恒等于1，即 d如=kl(.2)Pr=-l 于是 1 (x,头)dr 如果使 |(x,头2)12dx-1 (1-3.1) 则k=1,于是 dw=|p(x,z）12dx (1-3.2) 我们称满足(1-3.1)式的中为归一化了的波函数，而引(x,z)12 则为几率密度。 由此看来，用波函数平（行，t)来描述实物微粒的运动状态不仅 是必要的也是可能的。在一般书中常常把这个思想作为量子力学 的第一个基本假定。以后我们将会看到，波函数还隐含着它所描 述的体系的很多重要性质。 2、波函数的性质 基于用波函数(”)可以完满地来描述具有统计规律性的物 质波的状态，又通过它的平方来代表体系几率密度分布的性质，所 以我们不难想到波函数应该具有下列性质： (1)合格波函数的条件：①中必须是连续的。因为粒子在空 间各处出现的几率是连续变化的，且在某一点上儿率的值应为一 个确定值，故中本身以及随坐标的变化都应是坐标的连续函数。 。27· 仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要
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②中必须是单值的。因为|1？表示几率密度，实物微粒在dπ内 出现的几率妙x应该只有一个值，而不能同时取几个值。③中 必须是有限的。指在全空间中，任一点波函数中(r)的值必须是有 限的，否则就会得出，由|所代表的某点附近dx内，粒子出现的 几率为无限大的不可思议的结果。这个限制条件实际上就是指9 必须是平方可积的。在实际问题的讨论中，常使它满足(1-3.1)式 的归一化条件。 (2)c中(r)和中(r)描写同一个状态(c为常数)，既然{中|所代 表的是粒子在空间某点附近出现的几率密度，所以起决定作用的 是中2在空间不同点的比值，而不是各点中的绝对值大小。粒子 在空间各点出现的儿率密度之比等于波函数中在这些点的模的平 方比，故中乘上一个常数￠后，粒子在空间各点出现的几率密度之 此不变，于是粒子所处的物理状态也不会改变。这和经典波中、波 函数乘上常数c后，振幅将改变c|倍，能量将改变c2倍就完全不 同了。 3、原子中电子运动的定态是驻波性质的反映 既然电子的波粒二象性，使它不能同时有确定的位置和动量， 所以不能用经典的轨道，而要用波函数这个概念来描称它们的运 动状态。这种观点的合理性首先在于用它可说明一个非常普遍而 重要的实验事实：受到一定力场束缚的电子运动的定态（能量确定 的状态)具有量子化的特征。我们都很熟知，根据波动的普遍理论： 任何波动被束缚在空间的一定范围内发生时，则恒表现为驻波。最 简单的例子是提琴弦上的驻波。驻波的特征为：第一，在波场中每 一点的振幅都只是该点的坐标的函数，而与时间无关；第二，所允 许出现的频率都是不连续的数值，这些数值由该驻波的本性及限 制性条件所决定，我们常称这些数值为，发生该驻波的物体的本征 值。1926年薛定谔就首先用这种观点联系德布罗意关系式说明 28 ··”·仅限读者PB18030910本人使用，阅毕请删除，不要
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原子内电子运动表现有量子化特性的原因。 下面我们先借两端束缚的弦的振动来说明驻波的概念。 当两个振幅和波长都相同的相千波在同一直线上沿相反方向 进行时，就会迭加而成一个驻波（如图1-3.1）。弦上某些点如A, 波指 图1-3.1驻波 A,A,.始终静止不动。而另一些点如B,B2.的振幅有最大值 (等于每个波振幅的两倍)，其它各点的振幅则在零与最大值之间， 好象弦是在分段振动着。每一段内各点都作振幅不同、周相相同 的振动，振幅成为位置的函数而和时间无关。图1-3.2中，用低压 Fo00ooo 自w 图1-3.2演示驻波的简易装置 电源使音叉T发生电振动，当改变重物M的大小或移动尖劈B的 ·29· 仅限读者PB18030910本人使用；阅华请删除，不要
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