具有重特征值的阻尼线性系统振动

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1994.s2.017 第16卷增刊 北京科技大学学报 VoL 16 1994年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Nom.1994 具有重特征值的阻尼线性系统振动 黄汉舟)林鹤2) 1)柳州钢铁厂，柳州2)北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要本文在复模态理论基础上引人系统传递函数矩阵及其留数矩阵的概念，推证了传递函数矩 阵展式，通过展式导出系统振动响应的实数表达式可用于计算具有重特征值的阻尼线性系统振动 响应，从而解决了涉及重特征值的振动求解问题·文中对特征值、特征向量及留数矩阵做了探 讨，并给出了算例· 关键词振动，重特征值，留数矩阵，Laplace变换 中图分类号0321 Study on Vibration of Damped Linear Systems with Multiple Eigenvalues Huang Hanzhou Lin He2) 1)Liu Zhou Iron and steel works 2)Mechanical Engineering College,USTB,Beijing 100083.PRC ABSTRACT In this paper,the transfer function method in complex modal theory has been studied.The transfer function matrix and its residual matrices of a damped linear system are introduced.The expansion formula of the transfer function matrix is derived and proved,with which the real expressions are developed for vibration response of a damped linear system with multiple degrees of freedom.The expressions presented in the paper can be used to compute the vibration response of a damped linear system in which one or more multiple eigenvalues may exist,so the problem dealing with multiple eigenvalues is solved about the solution of the vibration response of a damped linear system.Finally one example is shown. KEY WORDS vibration,multiple eigenvalues,residual matrix,Laplace transform 工程中的许多阻尼线性系统微分方程在实模态空间中不能解耦.在这种情况下，实模态理论不 再适用，为了解决这类系统的振动响应求解问题，近十几年来复模态理论得到迅速的发展，用 复模态理论求解阻尼线性多自由度系统振动响应问题的方法主要有状态空间法[4~1、传递函 数法8)和摄动法)，也有通过建立一种新的正交关系，然后把响应按复特征向量展开求解的)， 本文针对具有重特征值的阻尼线性多自由度系统振动问题进行了研究，导出了可处理重 特征值问题的实用分析方法， 1994-03-01收稿 第一作者男34岁硕士

第 卷 增刊 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 川 沈 心 具有重特征值 的阻尼 线性 系 统振动 黄汉 舟 ‘ 林 鹤 ’ 柳 州 钢 铁厂 ， 柳 州 北 京科技 大 学 机械 工 程 学 院 北 京 摘要 本文在复模态理论基 础 上 引 人 系统传递 函 数矩 阵及其 留数矩 阵 的概念 ， 推证 了传递 函 数矩 阵展式 ， 通过展式 导 出系 统振 动 响应 的实数表达式可 用 于 计算具有 重特征值 的 阻尼 线性系 统振动 响应 ， 从而 解决 了涉及 重 特征值 的振 动求解 问题 文 中对 特 征 值 、 特 征 向量 及 留数 矩 阵做 了 探 讨 ， 并给出了算例 关健词 振 动 ， 重 特征值 ， 留数矩 阵 ， 压 沈 变换 中圈分类号 加 司 助 罗 ， ， 以〕 ， ， ’ 比 璐 巴 加 “ 对 ， 雌 记 雌 氏对 已犯 以 服 吨 ， 巴 顿 万 ， 巴 ， 心 火 ， 恤 工程 中的许多阻尼线性系统微分方程在实模态空 间中不能解祸 在这种情况下 ， 实模态理论不 再适用 为 了解决这类 系 统 的振 动 响应求解 问题 ， 近 十几 年来复模态理论 得 到 迅 速 的发 展 用 复模态理 论求解 阻尼 线性 多 自由度 系 统振 动 响应 问题 的方 法 主 要 有 状 态 空 间 法 礴一 “ 、 传递 函 数法 【民 】 和摄动法 ’ ， 也有 通过建 立 一种新 的正交关系 ， 然后把响应按复特征 向量展开求解的 ’ 本文针 对具有 重特 征值 的阻尼 线性 多 自由度 系 统振 动 问题进行 了研究 ， 导 出了可处理 重 特 征值 问题 的实用分 析方 法 望科 一 一 收稿 第一 作者 男 又 岁 硕 士 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1994．s2．017

·76 北京科技大学学报 1系统特征值问题 设阻尼线性n自由度系统振动微分方程矩阵形式为： [M]{X(t)}+[C]{X(t)}+[K]{X(t)}={g(t)} (I) 初条件：{X(t),=0={X},{X(t)}-o={Xo} 式中[M]、[C】、[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，它们均为对称矩阵； 且[M]正定，[C]、[K]正定或半正定；{X(t)小、{X(t)小、{X(t)}分别为系统对应于个自由度的 广义坐标位移、速度和加速度列向量：{g(t)}为外激励列向量. 方程式(1)对应的齐次方程： [M]{X(t)}+[C]{X(t)}+[K]{X()》={0} (2) 将方程式(2)的解{X(t)}={5}e代入得： [D(s)1{5}={0} (3) 式中，[Ds)月=s[M]+s[C]+[K]. 方程式(3)关于{5}有非零解的充要条件为系数行列式等于零，即： det [D(s)]=0 (4) 方程式(4)称为系统的特征方程，其左边为s的2次实系数多项式.特征方程在复数 域内有2如个根（重根按重数计算）o,这些根称为系统的特征值，根次数大于1的特征值称 为重特征值， 设特征方程有z个相异根5S,·,S,重数分别为k,k。,…,k,则特征方程(4)可 表示为： det[M](s-s,)=0 (5) 其中，k,+k+…+k,=2n. 2传递函数矩阵的建立和展开 对方程(I)两边作Laplace变换，并设[D(s】之逆[D(s)】-存在，得： {X(s)}=[D(s)]-'({Q(s)}+(s[M]+[C])Xo}+[M){X}) (6) 方程(6)反映了∫`义坐标位移响应的Laplace变换与激励函数的Laplace变换的关系. 当外激励和初始条件一定时，系统广义坐标在s域中响应的形态取决于矩阵[D(s】1.称[D(s)】 为系统的传递函数矩阵， 考察D(s)月中的第p行第q列元素D(s).为叙述方便，记adj[D(s】中对应元素为B(S), 根据逆矩阵的定义，有： D品0 (7) 上式右边分子、分母均为s的多项式、次数分别为2(n-l)和2n.根据Heaviside展开定 理，函数D(S)可按它的全部极点展开为简单分式之和.比较式(4)和式(7)知，函数 *从定义上看BS)和DS)中是带参数s的行列式。展开后为s的多项式，为了讨论方便，下文有时称它们为函数， 有时称它们为行列式

· · 北 京 科 技 大 学 学 报 系统特征值 问题 设 阻尼 线性 自由度 系统振 动微分 方程 矩 阵形式 为 」 卜 卜 初 条 件 。 一 。 ， 义 卜 。 一 文 。 式 中 、 〕 、 【 分 别 为系 统 的质量 矩 阵 、 阻 尼矩阵和刚度矩 阵 ， 它们均 为 对称矩 阵 且 正定 ， 、 正定或半正定 王 、 、 分 别 为系 统对应于 个 自由度 的 广义 坐 标 位移 、 速度 和加 速 度 列 向量 为外 激 励列 向量 方 程 式 对应 的 齐次方 程 」 将方 程式 的解 卜 拼 ” 代人得 川 尝 式 中 ， 【 【 【 」 方 程式 关于 套 有 非零 解 的充要 条件 为系数行 列 式等于 零 ， 即 、卜 方 程式 称 为 系 统 的特 征方 程 ， 其左边 为 的 次 实 系数多项 式 特 征 方 程 在 复 数 域 内有 个 根 重根 按 重 数 计算 ’ ， 这 些 根称 为 系统 的特 征值 根 次数大于 的特 征值称 为重特征值 设特征 方程有 个相异根 ， ， … ， ， ， 重数分别 为 ， ， … ， ， 则特 征方 程 可 表示 为 ‘ ，尽 一 」 ’ ’ 一 其 中 ， … 二 传递 函数矩 阵的建立和 展开 对方 程 两边 作 变换 ， 并设 【 」之 逆 【 一 ’ 存 在 ， 得 卜 一 ’ 卜 。 。 方 程 反 映 了厂 ‘ 义 坐 标 位移 响 应 的 变 换 与激 励 函 数 的 肠 变 换 的 关 系 当外 激励 和 初 始条 件 一 定 时 系统广义坐标在 域中响应的形态取决于矩 阵 【 一 ’ 称 【 一 ’ 为系 统 的传递 函 数矩 阵 考察 一 ’ 中的第 行第 列元素 ’ 为叙述方便 ， 记 联 中对应元素为 ， 根 据 逆矩 阵 的定 义 ， 有 ， 【 」 上 式 右边 分 子 、 分母 均 为 的多项 式 、 次数分 别 为 一 和 根 据 份呛 展 开定 理 ， 函 数 可 按 它 的 全 部 极 点 展 开 为 简 单 分 式 之 和 比 较 式 和式 知 ， 函 数 从定 义上 看 、 和 ， 中是 带 参数 的 行 列 式 ， 展 开 后 为 的 多项 式 为 了讨 论方 便 ， 下 文 有 时称它 们为 函 数 ， 有 时称 它们 为行 列 式

黄汉舟等：具有重特征值的阻尼线性系统振动 ·7· D(S)的分母恰好是特征方程左边表达式.可见，D。,(S)的极点与系统的特征值一一对应· 因此，D(s)按极点展开等价于按系统特征值展开，亦即D(S)可按系统全部相异特征值展 开为简单分式之和， 用式(5)左边代替式(7)右边分母，根据Heaviside展开定理将上式右边展开，得： D国（器+6等+高 (8) 式中，aa,,a均为待定系数，应用高等数学不难推证： a=0;al=0;a2=0;…;a=0;a=- Bpa(sj) (k,-1)det[MΠs,-s,) 因此式(8)可简化为： D-2 台s-, (9) 式中，a9= B(s) (k,-1)!det [M](s,-s:)k. 11 *」 从复变函数论的角度看，的表达式恰好为函数DS)在极点s,处留数表达式，故式 (9)中待定系数a等于D(s)在s,处的留数，即： apq=Res [Dpg(s).s 10) 式(9)和式(10)表明，如果系统有z个相异特征值，则传递函数矩阵任一元素可按这z 个相异特征值展开为z个简单分式之和，每个简单分式的分子由该元素对应特征值处的留数 表示。 既然传递函数矩阵任一元素均可按系统全部相异特征值展开为简单分式之和，传递函数 矩阵本身亦可按系统全部相异特征值展开为简单分式之和，即： D(s川'-2[A1 (11) 台s-s, 式中[A]为D[(s)]在s,处的留数矩阵，其任一元素由式(10)表示.· 3系统响应在时域中的实数表达式 把式(11)代人式(6)，得： Xe-客Qs+2A(MX+qK)会MX+店AM( S-S S-S 从形式上看.由于[A1[M]{X,}的存在，对式(12)两边作Laplac逆变换将会出现5 函数项.这意味着由于系统非零初位移的存在，响应中含有脉冲成分，从物理意义上是难以 想象的.实际上，用复变函数论不难证明召A1为零矩阵.因此.式(12)可表为：

黄汉 舟 等 具 有重 特 征值 的阻 尼 线性 系统振 动 · · 的分母 恰 好是 特 征方 程 左边 表 达 式 可 见 ， 的极 点 与 系 统 的 特 征值一 一对应 · 因此 ， 按极 点展 开等 价于 按 系统特 征值展 开 ， 亦 即 。 可 按系统全部相异特征值展 开 为简单分式之 和 用式 左边代替 式 右 边分母 ， 根 据 展 开定理 将上 式 右边 展 开 ， 得 。 、一 夕八岁王 十 一 卜叫 ‘ 厂 尸 吮 。 ， 。 里孟。 下 、 ‘ 十 … 朴才 聋监。 一、 ， 、 ’ 。 。 气。 。 夕 气 少 ‘ 式 中 ， 决 ， 么 货 ， … ， 占 」 均 为待定 系数 ， 应 用 高等 数 学不难 推证 击 一 ’ 二 去 一 ’ … 偏 嵘 一 ‘ ’ “ ‘ 尽 」一 因此 式 可 简化 为 里圭生 一 · 一 同艺 式 中 ， 占 」一 ‘ ， ‘ 尽 』一 ’ 似 从复变 函数论 的角度看 ， 右 。 的 表 达 式 恰 好 为 函 数 在 极 点 处 留数表 达式 中待定 系数 右 。 等 于 在 」处 的 留数 ， 即 右 。 ， 」 式 和 式 表 明 ， 如果 系统有 个 相 异 特 征 值 ， 则 传 递 函 数 矩 阵 任 一 元 素 可 按 这 个相 异 特征值展 开 为 个 简单分式 之 和 ， 每个 简单分式 的分 子 由该元 素对应 特征值处 的 留数 表示 既然 传递 函数矩 阵任一元 素均 可 按 系统全部相 异 特 征值 展 开 为简单分式之 和 ， 传递 函 数 矩 阵本 身亦 可 按 系 统全部 相 异 特 征值 展 开 为 简单分式 之 和 ， 即 【 一冬兴 式 中 】为 一 ’ 在 处 的 留数矩 阵 ， 其任 一 元 素 由式 表示 系统响应在时域 中的实数表达式 把式 代人 式 ‘ ‘ 一 客兴 》 鲁 风 茂 艺鲁 阿，‘ ，·属 人，阿，‘ ， ‘ ， 从形式 上看 ， 由于 脚柳 ， 。 的存在 ， 对式 ’ ，两边 作 。 逆 变换将会 出现 ‘ 函数项 这意 味着 由于 系统非零初位移 的存 在 ， 响应 中含 有脉 冲成分 ， 从物理 意义上 是 难 以 想 象 的 实 际上 ， 用 复 变 函数论不 难证 明 ” 艺 』 】为零矩 阵 因此 ， 式 可表 为

·78· 北京科技大学学报 (X)A (Q+(M++IA1 MIX 台s-5 %8-5 台s-s (13) 对式(13)两边作Laplace逆变换便可得到响应在时间域中的复数表达式. 由于复特征值共轭成对出现，设系统有m对相异复特征值5、S、s2S、…、s。5m和ū个 相异实特征值【【z…、【,并记作s,=-+iw,=-1G=1,2,,m;1=1,2,…,u), 则系统对外激励响应和初条件响应在时间域中的实数表达式分别如式(14)和式(15)所示 (推导过程从略)： .(mA(g(d: +2叫。e-eodr (14) 式中，[A小[B】分别为系统传递函数矩阵在极点sr1处的留数矩阵G=1,2,,m 1=1,2,…,u)· (X(ty.=22ReAl《o-yo》cosm,t-o{yw}sm@,t)et m [A(o()+)im)e +店B,w-aye (15) 式中，{yo}=[M]{X},{yo}=C]{X}+[M]{Xo. 式(14)和式(15)等号右边之代数和即为系统对外激励和初条件的总响应. 当系统无重特征值时，其特征值、特征向量反映了系统本征运动的基本性质【3山，可以 证明[9，对应于任意阶特征值s的留数矩阵[A]的任一列都与对应阶特征向量之一线性相 关，所以，当系统无重特征值时，任意阶留数矩阵的列与对应阶特征向量均描述了系统对应 阶本征振动的振型， 从式(15)可以看到，系统任意阶特征值的负实部和虚部分别反映系统自由振动对应阶 振动成分的衰减率和振动频率，与特征值是否重特征值无关· 由前面系统特征值问题的讨论知道，对应于重数为k的特征值，当k,≥2时，线性无关 特征向量不是唯一的.而对于确定的系统在确定的初条件下任意阶振动响应是唯一的，因 此，在系统具有重特征值的情况下，对应于重特征值的特征向量不能确切描述系统自由振动 对应阶振动成分的振型， 4算例 一个简单的有粘性阻尼的扭振模型如图1所示.物理参数为J,=J3=J,=;J2=2Jk,=k2=k, =k;C1=C3=C4=C,Cn=2C.分别讨论在初速度0=1/J,=1,2,3,4)条件下系统的扭振响应. 系统扭振徽分方程矩阵形式为：

· · 北 京 科 技 大 学 学 报 孙》 万兴 。 。 》 ·冬兴 ‘ ，‘风，· 旧‘凡，，·冬兴 ，，闪 ‘，，， 对式 两边作 优 逆 变换便可得到 响应在 时间域 中的复数表达式 由于复特征值共辘成 对出现 ， 设系 统有 对相 异复特征值 、 瓦 、 、 瓦 、 … 、 、 瓦 和 五 个 相 异 实 特 征 值 、 几 、 … 、 ， 并 记 作 一 又 。 ， ， 一 ， ， … ， ， ， … ， ， 则系统对外激励 响应和初条件 响应在 时间域 中的实数表 达式分别如式 和式 所示 推导过程从略 、 一 喀 一 ， 。 一 、 ，一 喀 一，。 一 。 ， · ·客、 一 式 中 ， ， ， ” ’ ， 【 、 ， 】分别 为 系 统 传递 函 数 矩 阵在极点 、 处 的 留数 矩 阵 ， ， ‘ · ’ ， “ ， 二 一 属 人 “ ， 。 一 ‘ 。 ’ ’ 一 “ 。 田 ” 一 ‘ ” 一 一 ’ ‘ 。 ， 夕 。 一 又， 。 一 ’ 」’ 各 夕 。 一 “ 。 一 “ ‘ ’ 式 中 ， 。 。 ， 夕 。 【 。 文 。 式 和式 等号右边 之代数和 即 为系 统 对外激励 和初 条件的总响应 当系统无重特布玉值时 ， 其特征值 、 特征 向量反 映 了系统本征 运 动的基本性质 氏民” 可 以 证 明 ， ’ 】 ， 对 应 于 任意 阶特 征 值 的 留 数矩 阵 【 的任一 列都与对应阶特征 向量 之一 线性相 关 所 以 ， 当系 统无重 特征值 时 ， 任意 阶 留数矩 阵的列 与对应 阶特征 向 均描述 了系 统对应 阶本征振动 的振 型 从式 可 以看到 ， 系 统任意 阶特征值 的负实部和虚部分别反 映系 统 自由振动对应 阶 振 动成分 的衰减率 和振动频率 ， 与特征值是 否 重 特征值无 关 由前 面系 统特征值问题 的讨论知道 ， 对应于 重数为 的特征值 ， 当 妻 时 ， 线性 无 关 特征 向量不是 唯一 的 而 对于 确定 的系 统 在 确 定 的 初 条 件 下 任 意 阶振 动 响 应 是 唯 一 的 因 此 ， 在 系统具有 重特征值的情 况 下 ， 对应于 重 特 征值的特征 向量 不能确切 描述 系 统 自由振动 对应 阶振 动成分 的振 型 算例 一个简单的有粘性阻尼 的扭振模型如图 所示 物理参数为 ， ， ， ， 姗州陀在初速度 户 ， 一 ， ， ， 条件下系统的扭振响应 系统扭振微分方程矩 阵形 式 为

黄汉舟等：具有重特征值的阻尼线性系统振动 ·79· C 分 图】扭摄系统横型田 Fig.I Model of torsional vibration system J 000 C 000 k-k 0 0 0 2J 0 0 0 2C00 3k-k -k 00J 0 0c 0 0 -k k 0 日8日 0000 000 0 00C -k0 k 用本文叙述的方法求解如下： 1)系统特征值问题 记ω，=√k小，w,=√2.5k/厅，n=C/2J,1=√-n2,3=√a-n2;按式(4)计算得 实特征值=0和2=-2n,具有正虚部的复特征值为s1=-n+i,(重数为2)和s2=一n+iw; (重数为1)；按式(3)计算得对应于r,和r2的特征向量均为{5}={1111}T,对应于2 的特征向量为{5，}={1-1.511”，对应于重数为2的s,线性无关特征向量有2个，如 {5}={-1010T和{52}=00-11 2)系统各阶留数矩阵 记对应于s,和s,的留数矩阵分别为[A】和A小，对应于I,和的留数矩阵分别为B]和B,按 式(10)计算得： 20-1-1 2-322 [A=- i 0000 -34.5-3-3 6Jw -10 2-1 A=- 30Jw2 2-32 -10-12 2-322 1111 1111 1 1 1111 [B= 1 11 1 10Jn 11 1 1 [B=- 10Jn 1111 1111 1111

黄汉舟等 具有 重特征值的 阻尼线性系统振动 圈 扭报系统棋型圈 瑰 侧目 成 加目 目 ，七 伪扣 叮浦 、 ︵︸ 、 一 、 、 氏 ， ‘ ︺︸ 一 一 一 一 一 ︹ 一 · 尸阵吐 氏 · 氏 · …氏 ， … 、、 尸阵 ， ”氏 ︸”“ ，吸 ︸ “ 」︸百 用本文叙述 的方法求解如下 系 统特征值 问题 记 。 二 了又万 ， ， 涯雨丁 ， 一 脚 ， ， 护环牙 ， 诚二 了忑葬石三 按式 计算得 实特征值 ， 和 众 一 ， 具有正 虚部 的复特征值为 一 十 。 重数为 和 一 城 重数为 按式 计算得 对应于 、 和 几 的 特 征 向量 均 为 氛 ， 对应 于 气 的特 征 向量 为 亡 二 一 ， 对应于 重数为 的 线性 无 关特征 向童有 个 ， 如 七 ，， 一 和 心 一 尸 · 系统各 阶 留数矩 阵 记对应于 ，和 的留数矩 阵分别为 和闪 ， 对应于 ，和 几的留数矩阵分别 为 和 刁 ， 按 式 计算得 ，‘ ︸ 一 尸几眨‘ · 【 】 一 一 ， 】 一 二共， 叭 目，砚月二 ， 尸 ‘ 【 」 ， 一 ，井