基于宏观塑性变形的热轧板带力能模型

D0L:10.13374.issn1001-053x.2013.06.013 第35卷第6期 北京科技大学学报 Vol.35 No.6 2013年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2013 基于宏观塑性变形的热轧板带力能模型 陶桂林)☒，罗辉)，吴忠良2)，胡超2) 1)武钢股份设备维修总厂，武汉4300802)武钢股份条材总厂，武汉430080 ☒通信作者，E-mai让：gtao2000@163.com 摘要从宏观塑性变形的角度，通过对轧制过程中动量变化的分析，提出了板带轧制的力能分析的微分形式和积分形 式，建立了轧制力和轧制力矩的理论公式.该公式摒弃了传统公式中采用过多的经验系数，清晰地揭示了轧制力、轧制 力矩、金属屈服强度、摩擦因数等各变量之间的相互关系，使得咬入角、中性角等有关变量的物理意义进一步明确.最 后通过对一次实际轧制过程的仿真计算初步验证了本文公式的正确性. 关键词热轧：数学模型：屈服条件：轧制力：力矩 分类号TG335.5 Mechanical model based on macro plastic deformation for hot-strip- rolling TAO Gui-lin 1),LUO Hui1),WU Zhong-liang),HU Chao2) 1)Equipment Maintenance Plant,Wuhan Iron and Steel Co.Ltd.,Wuhan 430080,China 2)Strip Product Plant,Wuhan Iron and Steel Co.Ltd.,Wuhan 430080,China Corresponding author,E-mail:gltao2000@163.com ABSTRACT Based on macro plastic deformation,the differential method and integral method were presented in analyzing hot-strip-rolling.Theoretic formulas for calculating the rolling force and rolling torque were concisely educed according to those methods.The theoretic formulas have got rid of excessively experimental parameters adopted in the traditional formulas,rationally expounded the physical meanings of such variables as bite angle and neutral angle,and disclosed the relationship among the rolling variables such as rolling force,rolling torque,yield strength of metal and friction factor.Finally,a detail comparison between the calculated and measured data is made by experimental rolling, which has basically verified the correctness of the proposed formulas for hot-strip-rolling. KEY WORDS hot rolling;mathematical models;yield conditions;rolling force;torque 热轧模型描述了热轧轧制过程中轧制力、轧制[]考虑了残余应变对轧制力的影响，给出了残余 力矩、带钢前后滑动率等力能参数与金属材料特应变工程计算方法：文献☑用Orowar公式计算轧 性、轧辊尺寸、带钢厚度等变量之间的依存关系.件的应力和应变，用有限差分法计算轧件的温度变 高精度预报轧制力和轧制力矩是准确进行轧机负荷 化，建立了温度变化和塑性变形计算相耦合的预报 分配、提高板带头部厚度命中率以及保证板形控制 模型：文献[3]将轧制力功系数和轧制力矩功系数 精度的关键.随着对板形板厚质量要求的不断提高， 的表达式统一为仅含“压下率”和“压扁半径与出口 建立高精度的轧制过程模型一直是板材生产的研究厚度之比”两个影响因子的简洁形式：文献4采 热点. 用有限元模拟结果对轧制力模型参数进行回归分 目前轧制力模型的研究大多建立在传统经验 析，提高预测精度；文献[⑤考虑轧件化学成分的 公式的基础之上，通过优化系数如接触弧长、变形 变化和道次残余应变的影响，改进了变形抗力的计 抗力的计算方法提高轧制力模型的精度.例如文献 算公式.这类方法虽然能够从物理机理出发改进系 收稿日期：2012-02-10

第 35 卷 第 6 期 北 京 科 技 大 学 学 报 Vol. 35 No. 6 2013 年 6 月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun. 2013 基于宏观塑性变形的热轧板带力能模型 陶桂林1) ，罗 辉1)，吴忠良2)，胡 超2) 1) 武钢股份设备维修总厂，武汉 430080 2) 武钢股份条材总厂，武汉 430080 通信作者，E-mail: gltao2000@163.com 摘 要 从宏观塑性变形的角度，通过对轧制过程中动量变化的分析，提出了板带轧制的力能分析的微分形式和积分形 式，建立了轧制力和轧制力矩的理论公式. 该公式摒弃了传统公式中采用过多的经验系数，清晰地揭示了轧制力、轧制 力矩、金属屈服强度、摩擦因数等各变量之间的相互关系，使得咬入角、中性角等有关变量的物理意义进一步明确. 最 后通过对一次实际轧制过程的仿真计算初步验证了本文公式的正确性. 关键词 热轧；数学模型；屈服条件；轧制力；力矩 分类号 TG335.5 Mechanical model based on macro plastic deformation for hot-strip￾rolling TAO Gui-lin 1) , LUO Hui 1), WU Zhong-liang 2), HU Chao 2) 1) Equipment Maintenance Plant, Wuhan Iron and Steel Co. Ltd., Wuhan 430080, China 2) Strip Product Plant, Wuhan Iron and Steel Co. Ltd., Wuhan 430080, China Corresponding author, E-mail: gltao2000@163.com ABSTRACT Based on macro plastic deformation, the differential method and integral method were presented in analyzing hot-strip-rolling. Theoretic formulas for calculating the rolling force and rolling torque were concisely educed according to those methods. The theoretic formulas have got rid of excessively experimental parameters adopted in the traditional formulas, rationally expounded the physical meanings of such variables as bite angle and neutral angle, and disclosed the relationship among the rolling variables such as rolling force, rolling torque, yield strength of metal and friction factor. Finally, a detail comparison between the calculated and measured data is made by experimental rolling, which has basically verified the correctness of the proposed formulas for hot-strip-rolling. KEY WORDS hot rolling; mathematical models; yield conditions; rolling force; torque 热轧模型描述了热轧轧制过程中轧制力、轧制 力矩、带钢前后滑动率等力能参数与金属材料特 性、轧辊尺寸、带钢厚度等变量之间的依存关系. 高精度预报轧制力和轧制力矩是准确进行轧机负荷 分配、提高板带头部厚度命中率以及保证板形控制 精度的关键. 随着对板形板厚质量要求的不断提高， 建立高精度的轧制过程模型一直是板材生产的研究 热点. 目前轧制力模型的研究大多建立在传统经验 公式的基础之上，通过优化系数如接触弧长、变形 抗力的计算方法提高轧制力模型的精度. 例如文献 [1] 考虑了残余应变对轧制力的影响，给出了残余 应变工程计算方法；文献 [2] 用 Orowan 公式计算轧 件的应力和应变，用有限差分法计算轧件的温度变 化，建立了温度变化和塑性变形计算相耦合的预报 模型；文献 [3] 将轧制力功系数和轧制力矩功系数 的表达式统一为仅含 “压下率” 和 “压扁半径与出口 厚度之比” 两个影响因子的简洁形式；文献 [4] 采 用有限元模拟结果对轧制力模型参数进行回归分 析，提高预测精度；文献 [5] 考虑轧件化学成分的 变化和道次残余应变的影响，改进了变形抗力的计 算公式. 这类方法虽然能够从物理机理出发改进系 收稿日期：2012–02–10 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2013.06.013

第6期 陶桂林等：基于宏观塑性变形的热轧板带力能模型 807· 数的计算公式，取得了较好的实验效果，然而计算 钢入口厚度和出口厚度分别为2H和2h.速度分别 公式通常较复杂，针对不同的轧制情形，其通用性 为vH和h:微元体(a~a+da)相对于上辊中 有待实践验证. 心o1的角度为α，其水平运动速度为va,带钢进 以神经网络为代表的智能算法在轧制力模型 入轧机时的咬入角度为0.微元体所受作用力含义 中的应用绕开了热轧物理机理复杂的难题，从大量 及正方向如下：P为轧辊对轧件的单位压力，其方 数据中提炼知识，在一定程度上弥补了目前对轧制 向垂直于轧辊与轧件的接触面，指向轧辊轴心：∫ 过程模拟不完整的缺点6-.然而，由于神经网 为轧辊与轧件的摩擦力，方向与接触面的切线方向 络的泛化能力与拟合精度之间的矛盾，以及遗传算 相同，规定后滑区摩擦力为正值，前滑区摩擦力为 法、支持向量机0-1山等优化算法的计算复杂 负值：σ为带钢横截面的水平方向平均应力，并规 度等因素，其应用于实际生产的有效性还需深入研 定压缩应力为正，拉伸应力为负；TH和分别为 究.随着计算机技术的发展，热轧生产过程的物理 带钢前、后张力，其正方向规定与。一致.对轧件 机理可由模拟软件得到进一步揭示，这为从物理机 而言，TH为压缩应力，为正值：Th为拉伸应力，为 理出发，建立高精度轧制力模型提供了前提2-13) 负值 传统经验公式以Kalman和Orowan模型作为 研究热轧轧制过程的主要模型4-1，通过分析微 元体的受力状态，从静力平衡考虑，忽略金属变形 前后动量的变化，即忽略传统意义上的惯性力，建 立起微分方程，并利用屈服条件，求得应力分布.然 而，在计算变形抗力时又引入了变形程度、变形速 2H 2 率等参数，这实际上是通过引入“时间”变量弥补 静力平衡模型的不足，修正金属动态变形过程对轧 制力和轧制力矩的影响，这些参数的引入抹煞了各 变量之间的联系，导致物理概念比较模糊，如咬入 条件无法从静力模型给予解释，不得不用重新按动 力学条件进行说明18-19，致使传统的静力平衡模 型不够完备.针对这些不足，本文从动量守恒角度 图1热轧带钢受力分析微分方法 出发，通过引入动态受力分析，把变形速率等因素 Fig.1 Differential method for hot-strip-rolling 融入到模型中，推导了轧制力、轧制力矩以及前滑 速率的理论关系式，揭示了轧制各变量的关系，对 1.1.1方程的建立 Kalman轧制模型进行了拓展.最后与实轧过程数据 如图1所示，对于a~a+da的微元体进行受 进行分析比较，验证了理论模型的正确性和有效性. 力分析，根据动量守恒原理，微元体所受外力之和 等于其动量变化率，即微元体的动量相对于时间t 1 热轧Kalman模型的拓展 的微分.考虑上下半平面对称性，即可建立微分方 从本质上讲，轧制模型的关键不在于采用何种 程式： 形式的微元体，而是如何将简单实验条件下的金属 (o+do)×2B(ya+dy)-o×2Bya+2B× 屈服特性应用到热轧过程中，并建立起对应关系 经典的Kalman模型的基本假设为：(1)轧辊的刚 dva △S(f cos a-P sin a)=-m- dt (1) 度足够大，忽略轧钢压扁因素：(2)忽略带钢的宽 式中，m为带钢微元体的质量，△S为微元体与轧 展，认为带钢宽展为零：（③）带钢处于稳定的轧制过 辊的接触面积，B为带钢的宽度，y为上接触面的 程，带钢速度恒定：(4)带钢的水平应力按均匀分布 高度，水平应力σ在轧机出口和入口分别满足边界 考虑. 条件为0=T,0ao=TH. 1.1 Kalman模型的微分形式 1.1.2方程的简化 为便于带钢受力分析时的描述，以轧件出口所 (1)动量增量的化简.在轧制过程中，忽略金属 在截面建立xoy坐标系，坐标原点o为上下轧辊 的体积变化，则金属通过轧辊接触区的“秒流量”是 连线的中点，如图1所示.记轧辊的半径为R,带 恒定的，即

第 6 期 陶桂林等：基于宏观塑性变形的热轧板带力能模型 807 ·· 数的计算公式，取得了较好的实验效果，然而计算 公式通常较复杂，针对不同的轧制情形，其通用性 有待实践验证. 以神经网络为代表的智能算法在轧制力模型 中的应用绕开了热轧物理机理复杂的难题，从大量 数据中提炼知识，在一定程度上弥补了目前对轧制 过程模拟不完整的缺点 [6−8] . 然而，由于神经网 络的泛化能力与拟合精度之间的矛盾，以及遗传算 法 [9]、支持向量机 [10−11] 等优化算法的计算复杂 度等因素，其应用于实际生产的有效性还需深入研 究. 随着计算机技术的发展，热轧生产过程的物理 机理可由模拟软件得到进一步揭示，这为从物理机 理出发，建立高精度轧制力模型提供了前提 [12−13] . 传统经验公式以 Kalman 和 Orowan 模型作为 研究热轧轧制过程的主要模型 [14−17]，通过分析微 元体的受力状态，从静力平衡考虑，忽略金属变形 前后动量的变化，即忽略传统意义上的惯性力，建 立起微分方程，并利用屈服条件，求得应力分布. 然 而，在计算变形抗力时又引入了变形程度、变形速 率等参数，这实际上是通过引入 “时间” 变量弥补 静力平衡模型的不足，修正金属动态变形过程对轧 制力和轧制力矩的影响，这些参数的引入抹煞了各 变量之间的联系，导致物理概念比较模糊，如咬入 条件无法从静力模型给予解释，不得不用重新按动 力学条件进行说明 [18−19]，致使传统的静力平衡模 型不够完备. 针对这些不足，本文从动量守恒角度 出发，通过引入动态受力分析，把变形速率等因素 融入到模型中，推导了轧制力、轧制力矩以及前滑 速率的理论关系式，揭示了轧制各变量的关系，对 Kalman 轧制模型进行了拓展. 最后与实轧过程数据 进行分析比较，验证了理论模型的正确性和有效性. 1 热轧 Kalman 模型的拓展 从本质上讲，轧制模型的关键不在于采用何种 形式的微元体，而是如何将简单实验条件下的金属 屈服特性应用到热轧过程中，并建立起对应关系. 经典的 Kalman 模型的基本假设为：(1) 轧辊的刚 度足够大，忽略轧钢压扁因素；(2) 忽略带钢的宽 展，认为带钢宽展为零；(3) 带钢处于稳定的轧制过 程，带钢速度恒定；(4) 带钢的水平应力按均匀分布 考虑. 1.1 Kalman 模型的微分形式 为便于带钢受力分析时的描述，以轧件出口所 在截面建立 xoy 坐标系，坐标原点 o 为上下轧辊 连线的中点，如图 1 所示. 记轧辊的半径为 R，带 钢入口厚度和出口厚度分别为 2H 和 2h, 速度分别 为 vH 和 vh；微元体 (α ∼ α + dα) 相对于上辊中 心 o1 的角度为 α，其水平运动速度为 vα，带钢进 入轧机时的咬入角度为 α0. 微元体所受作用力含义 及正方向如下：P 为轧辊对轧件的单位压力，其方 向垂直于轧辊与轧件的接触面，指向轧辊轴心；f 为轧辊与轧件的摩擦力，方向与接触面的切线方向 相同，规定后滑区摩擦力为正值，前滑区摩擦力为 负值；σ 为带钢横截面的水平方向平均应力，并规 定压缩应力为正，拉伸应力为负；τH 和 τh 分别为 带钢前、后张力，其正方向规定与 σ 一致. 对轧件 而言，τH 为压缩应力，为正值；τh 为拉伸应力，为 负值. 图 1 热轧带钢受力分析微分方法 Fig.1 Differential method for hot-strip-rolling 1.1.1 方程的建立 如图 1 所示，对于 α ∼ α+ dα 的微元体进行受 力分析，根据动量守恒原理，微元体所受外力之和 等于其动量变化率，即微元体的动量相对于时间 t 的微分. 考虑上下半平面对称性，即可建立微分方 程式： (σ + dσ) × 2B(yα + dy) − σ × 2Byα + 2B× ∆S(f cos α − P sin α) = −m dvα dt . (1) 式中，m 为带钢微元体的质量，∆S 为微元体与轧 辊的接触面积，B 为带钢的宽度，yα 为上接触面的 高度，水平应力 σ 在轧机出口和入口分别满足边界 条件为 σ0 = τh, σα0 = τH. 1.1.2 方程的简化 (1) 动量增量的化简. 在轧制过程中，忽略金属 的体积变化，则金属通过轧辊接触区的 “秒流量” 是 恒定的，即

808 北京科技大学学报 第35卷 yu=yava≡C,a∈(0，ao) (2) 记带钢的密度为P,根据物理学原理回，微元体的 动量变化即式(1)右边为： dv =(2 Bpydx)× Ox Ot (2 Bpyd.x)× +0 OU =(2Bpydz) 2 :2h (2Bpyvdz) 0a Ox =(2BpCdr) da o y Ox C dy do (2BpCdr) y2 da Ox 2BC d du e 2BpC2 2 da Ox (3) 将式(2)~(3)带入方程(1)，并忽略高次微分项，整 理得： 图2热轧带钢受力分析积分方法 (ady)++s(f cosa-Psin a)C2 2d.(④ Fig.2 Integral method for hot-strip-rolling (2)接触弧曲线的化简.式(1)和式(4)都没有 1.2.2方程的化简 考虑接触面的具体形状，因此是普遍适用的.根据 对式（⑧）两边进行整理得 轧辊绝对刚性的假设，上接触面即为上工作辊的辊 -a 面，其描述成α的形式，其方程为 yao +Thh+ △S(f cosa-P sin a)dy= x =-Rsin a, y=R+h-Rcosa. (5) c(-) (9) 从而高度微元dy和接触面面积微元.△S为 将接触弧方程（⑤）~（⑥各式带入式(9），并整理得 dy =Rsin a da, △S=Rda. (6) %=cn(-R+h-Rsa） 1 -Thh- 将式(6)带入式(4)，并整理得 a d(yo)+(f-Ptana)Rcosada= R(f-Ptana)cosa da. (10) 0 pC2Rsina (R+h-Rcosa)2da. (7) 不难发现，对式(10)进行微分处理，即为式(7)，这 l.2 Kalman模型的积分方法 说明积分方程和微分方程本质上是一致. 在微分方法中，对a~a+da的微元体进行受 2应力分解与屈服条件 力分析，建立了带钢轧制的微分方程；若将0~α的 连续体作整体考虑，可建立本文所述的积分方程. 在图1中，压力P和摩擦力f相互正交，但 1.2.1方程的建立 方向随接触点的变化而变化，为此必须将其等效到 如图2所示，记单位时间内流经0~α连续体 xoy坐标系中.如图3所示，记x轴方向的等效作 控制截面的带钢为M,则流出与流入控制截面的动 用力为P红，y轴方向的等效作用力为Py根据等 量变化有如下方程： 效前后作用力合力相等原则，于是有 o×2Bya+Thn×2Bh+2B. =. P.△S)osa+f:△S)sima=P+ftano, AS(f cosa-Psina)dy M(vo-va),(8) AS&ap8品e-j-Pama △Scos a △Scos a M≡2Bpyu=2BpC. (11)

· 808 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 yv ≡ yαvα ≡ C, α ∈ (0, α0). (2) 记带钢的密度为 ρ，根据物理学原理 [1]，微元体的 动量变化即式 (1) 右边为： m dv dt = (2Bρydx) × µ ∂v ∂x · ∂x ∂t + ∂v ∂t ¶ = (2Bρydx) × µ ∂v ∂x · ∂x ∂t + 0¶ = (2Bρydx)v ∂v ∂x = (2Bρyvdx) ∂v ∂α · ∂α ∂x = (2BρCdx) ∂ ∂α µ C y ¶ · ∂α ∂x = (2BρCdx) µ − C y 2 dy dα ¶ ∂α ∂x = − 2BρC2 y 2 dx dy dα ∂α ∂x = − 2BρC2 y 2 dy (3) 将式 (2)∼(3) 带入方程 (1)，并忽略高次微分项，整 理得： (σdy) + ydσ + ∆S(f cos α − P sin α) = ρC2 y 2 dy. (4) (2) 接触弧曲线的化简. 式 (1) 和式 (4) 都没有 考虑接触面的具体形状，因此是普遍适用的. 根据 轧辊绝对刚性的假设，上接触面即为上工作辊的辊 面，其描述成 α 的形式，其方程为 ( x = −R sin α, y = R + h − R cos α. (5) 从而高度微元 dy 和接触面面积微元.∆S 为 ( dy = R sin α dα, ∆S = R dα. (6) 将式 (6) 带入式 (4)，并整理得 d(yσ) + (f − P tan α)R cos αdα = ρC2R sin α (R + h − R cos α) 2 dα. (7) 1.2 Kalman 模型的积分方法 在微分方法中，对 α ∼ α+ dα 的微元体进行受 力分析，建立了带钢轧制的微分方程；若将 0∼ α 的 连续体作整体考虑，可建立本文所述的积分方程. 1.2.1 方程的建立 如图 2 所示，记单位时间内流经 0∼ α 连续体 控制截面的带钢为 M，则流出与流入控制截面的动 量变化有如下方程：    σ × 2Byα + τh × 2Bh + 2B· Z α 0 ∆S(f cos α − P sin α) dy = M(v0 − vα), M ≡ 2Bρyv = 2BρC. (8) 图 2 热轧带钢受力分析积分方法 Fig.2 Integral method for hot-strip-rolling 1.2.2 方程的化简 对式 (8) 两边进行整理得 yασ + τhh + Z α 0 ∆S(f cos α − P sin α)dy = ρC2 µ 1 y0 − 1 yα ¶ . (9) 将接触弧方程 (5)∼(6) 各式带入式 (9)，并整理得 yασ = C 2 ρ µ 1 h − 1 R + h − R cos α ¶ − τhh− R Z α 0 (f − P tan α) cos α dα. (10) 不难发现，对式 (10) 进行微分处理，即为式 (7)，这 说明积分方程和微分方程本质上是一致. 2 应力分解与屈服条件 在图 1 中，压力 P 和摩擦力 f 相互正交，但 方向随接触点的变化而变化，为此必须将其等效到 xoy 坐标系中. 如图 3 所示，记 x 轴方向的等效作 用力为 Pyx，y 轴方向的等效作用力为 Pyy. 根据等 效前后作用力合力相等原则，于是有    Pyy = (P · ∆S) cos α ∆S cos α + (f · ∆S) sin α ∆S cos α =P +f tan α, Pyx = (f · ∆S) cos α ∆S cos α − (P · ∆S) sin α ∆S cos α =f −P tan α. (11)

第6期 陶桂林等：基于宏观塑性变形的热轧板带力能模型 809· (P cosa+f sin a)BRda. (16) 0 轧制力矩等于轧制力和摩擦力各自作用力矩 在接触弧内的积分和.但是，由于单位压力P的方 向始终（理论上）指向轴心，因此力矩始终为零，于 是只有摩擦力∫对轧制力矩产生贡献.于是轧制力 矩Trg为 Tra= fBR2da (17) Jo 上述轧制力和力矩的计算方程与摩擦性状等 图3微元体应力分析 无关，适用所有模型.若采用Tresca屈服条件，并 Fig.3 Force analysis of the element for hot-strip-rolling 假设具有干摩擦形式，将式(15)带入式(17)，则轧 制力计算可进一步简化，即 2.1 von Mises屈服条件 根据平面应变的von Mises屈服条件屈服条 Fre BR P(1+utan a)cosada Jo 件以，有(C-oP+4%=,y为金属的屈 服应力，将式(11)代入，得 BR(K+)cosada. (18) (P+fa+(-Ptana)2 4 同理，将式(15)带入式(18)，得 (12) 假设轧辊与带钢为干摩擦形式∫=μP(关于4 Tia=BRK+1+utana do. (19) 的形式见后续的说明)，将其代入式(11)，并整理得 由于von Mises屈服条件是二次方程，不能化 [(1+μtana)2+4(μ-tana)3]P2- 简成σ的线性函数，很难给出轧制力与轧制力矩的 显式计算公式. 2c(1+μtana)P+(σ2-K2)=0. 3.2咬入条件分析 根据求根公式，可求得： 如图1所示，在带钢即将进入轧机的瞬间，微 P= o(1+utana)+ 元体a0~a0+da,仍满足式(7)，由于水平应力 (1+utana)2+4(u-tana)2 0=0,于是方程(7)简化为 V1+μtan a)2K2+4(μ-tana)2(K2-o2可 (13) (1+μtana)2+4(μ-tana)2 pC2Rsin ao fR cos oo-PRsin oo=(RhRcos0o)0. 2.2 Tresca屈服条件 (20) 应力分解P为主应力，P为切应力，根据 即使带钢以极慢的速度（即v→0，C→0）进入轧机 2 Tresca屈服条件7，有Pg-o= Y=K,将式 时，式(20)仍然成立，于是有 3 (11)带入，得 fR cos ao PRsin ao. (21) P+ftana-o=K. (14) 令 仍假设轧辊与带钢为干摩擦形式f=μP,则式(14) u全f=tanB, 进一步简化为 p K+0 则式(21)进一步简化如下： P= 1+μtana (15) u=tan B>tan oo. (22) 3轧制力能参数分析 式(22)说明只有当摩擦角B大于咬入角a0, 3.1轧制力与轧制力矩计算公式 带钢才能顺利进入轧机，这与其他轧制模型对咬钢 根据前面的分析，轧制力等于单位压力P与摩 条件的分析18-19相同.因此咬入条件(22)式已隐 擦力∫在垂直方向投影的积分，于是轧制力Fc为 含在本文所描述的轧制模型中.从式(20)来看，速

第 6 期 陶桂林等：基于宏观塑性变形的热轧板带力能模型 809 ·· 图 3 微元体应力分析 Fig.3 Force analysis of the element for hot-strip-rolling 2.1 von Mises 屈服条件 根据平面应变的 von Mises 屈服条件屈服条 件 [17]，有 (Pyy − σ) 2 + 4P 2 yx = 4 3 Y 2，Y 为金属的屈 服应力，将式 (11) 代入，得 (P + f tan α − σ) 2 + 4(f − P tan α) 2 = 4 3 Y 2 ∆= K2 . (12) 假设轧辊与带钢为干摩擦形式 f = µP(关于 µ 的形式见后续的说明)，将其代入式 (11)，并整理得 [(1 + µ tan α) 2 + 4(µ − tan α) 2 ]P 2− 2σ(1 + µ tan α)P + (σ 2 − K2 ) = 0. 根据求根公式，可求得： P = σ(1 + µ tan α)+ (1 + µ tan α) 2 + 4(µ − tan α) 2 p (1 + µ tan α) 2K2 + 4(µ − tan α) 2(K2 − σ 2) (1 + µ tan α) 2 + 4(µ − tan α) 2 . (13) 2.2 Tresca 屈服条件 应力分解 Pyy 为主应力，Pyx 为切应力，根据 Tresca 屈服条件 [17]，有 Pyy − σ = 2 √ 3 Y = K，将式 (11) 带入，得 P + f tan α − σ = K. (14) 仍假设轧辊与带钢为干摩擦形式 f = µP，则式 (14) 进一步简化为 P = K + σ 1 + µ tan α . (15) 3 轧制力能参数分析 3.1 轧制力与轧制力矩计算公式 根据前面的分析，轧制力等于单位压力 P 与摩 擦力 f 在垂直方向投影的积分，于是轧制力 Frc 为 Frc = Z α0 0 (P cos α + f sin α)BRdα. (16) 轧制力矩等于轧制力和摩擦力各自作用力矩 在接触弧内的积分和. 但是，由于单位压力 P 的方 向始终 (理论上) 指向轴心，因此力矩始终为零，于 是只有摩擦力 f 对轧制力矩产生贡献. 于是轧制力 矩 Trq 为 Trq = Z α0 0 fBR2dα. (17) 上述轧制力和力矩的计算方程与摩擦性状等 无关，适用所有模型. 若采用 Tresca 屈服条件，并 假设具有干摩擦形式，将式 (15) 带入式 (17)，则轧 制力计算可进一步简化，即 Frc = BR Z α0 0 P(1 + µ tan α) cos αdα = BR Z α0 0 (K + σ) cos αdα. (18) 同理，将式 (15) 带入式 (18)，得 Trq = BR2 Z α0 0 (K + σ) µ 1 + µ tan α dα. (19) 由于 von Mises 屈服条件是二次方程，不能化 简成 σ 的线性函数，很难给出轧制力与轧制力矩的 显式计算公式. 3.2 咬入条件分析 如图 1 所示，在带钢即将进入轧机的瞬间，微 元体 α0 ∼ α0 + dα，仍满足式 (7)，由于水平应力 σ = 0，于是方程 (7) 简化为 fR cos α0 − P R sin α0 = ρC2R sin α0 (R + h − R cos α0) 2 > 0. (20) 即使带钢以极慢的速度 (即 v →0，C →0) 进入轧机 时，式 (20) 仍然成立，于是有 fR cos α0 > P R sin α0. (21) 令 µ ∆= f p = tan β, 则式 (21) 进一步简化如下： µ = tan β > tan α0. (22) 式 (22) 说明只有当摩擦角 β 大于咬入角 α0， 带钢才能顺利进入轧机，这与其他轧制模型对咬钢 条件的分析 [18−19] 相同. 因此咬入条件 (22) 式已隐 含在本文所描述的轧制模型中. 从式 (20) 来看，速

810 北京科技大学学报 第35卷 度越高，常数C越大，咬入越困难，这与实际轧制 pC2Rsin ak 经验完全相符 纵ok=h-1ok-1+R+h-Rcosk△a- 3.3轧制中性角0及前滑系数分析 P(k-tan ok)COsakR△a. (26) 在带钢的微分方程中，只有给出压力与摩擦力 Q0 的关联形式，才能求出应力分布.关于摩擦机理有 00=Th:ON =TH,Aa=N:ak=Nao. 很多理论进行了阐述分析8剑，本质上都是假说.本 (2)积分方程的离散化处理： 文仍假设轧辊与带钢具有干摩擦性质，根据中性角 kOk pC2 1 1 -Thh- 的定义，在中性角%所处的截面，带钢的速度与 (万-R+h-R cos a 轧辊的线速度相同，不存在相对滑动：根据物理学 k-1 △aRT(-tan oi)Picosai. (27) 原理，两接触面没有相对运动趋势，就不产生摩擦 i=1 因此，在中性角0所处截面的摩擦力∫为零，从 X0 而摩擦因数μ=0，双曲正切函数正好能描述这种 0=h,0N=T,△a=米，ak=Na0 摩擦特性，即 显然当N足够大时，上述离散化方程完全能 够达到工程需要的精度.根据采用屈服条件的不同， μ=o tanh a-20 入 (23) 下面对两种屈服条件进行离散处理 式中，0为摩擦常数，0为中性角，T为角度常量， 4.2屈服条件的离散化处理 可以根据计算精度需要选取.根据轧辊的线速度水 屈服条件本身是简单的代数方程，可直接进行 平分量与带钢水平速度相等，得轧辊的线速度wr 离散化处理，根据不同的屈服条件，离散处理如下 满足方程 (1)von Mises屈服条件离散化： C Pk= Ok(1+uk tan ak)+ Uwr-R+h-Rcos 7o)cos70 (24) (1+uk tan ak)2+4(uk tan ak)2 从而带钢的前滑率（为 V(1+pk tan ak)2K2+4(uk tan ak)2(K2-) 一1 (1+uk tanak)2 +4(uk tan ag)2 wr ×100%= (28) R+h-R cos 70 (2)Tresca屈服条件离散化. c0s0- ×100%. (25) K+k (29) 根据上面的分析可知：如果已经掌握金属屈服 P=1+Htanak 强度和摩擦特性信息，则根据式(7)或式(10)及前 4.3轧制模型的数值计算 后张力条件，就确定了带钢的前滑率，同时也确定 根据前面的讨论，利用了轧机二级系统中给定 了应力分布情况，而根据式(18)和式(19)，就可计 的金属屈服强度和摩擦因数对某次轧制过程进行计 算出轧制设定的重要参数一轧制力和力矩，且 算分析，结果如表1所示. 这种关系是确定的.反之，如果测知某带钢实际轧 从计算结果来看：微分方法和积分方法给出的 制过程中的前后张力、轧制力和轧制力矩变量，则 计算结果与实轧数据基本一致，误差在10%左右： 根据上述式(7)、(18)和(19)的三个约束关系，能 轧机二级系统给出F2轧制力数据与实轧数据不知 够对此条件下带钢轧制的前滑率、金属屈服强度和 何种原因偏差达20%.本文给出的轧制力和轧制力 摩擦因数三个变量进行估计，进而对下一轧制设定 矩以及前滑等变量与实际轧制过程基本符合.另外， 的优化提供依据则具有非常重要的意义.限于篇幅， 由于带钢的前滑率无法测量，本文以轧辊的实际转 将另文进行分析研究 速作为参考变量.从轧辊的转速来看，本文给出的 结果更接近于轧辊实际转速，略优于轧机二级系统 4 轧制模型的数值分析 给出的计算值 无论微分方程还是积分方程，都很难给出解析 F1机架按微分方法和积分方法给出的应力分 解，这也许是采用大量经验公式的原因.随着计算 布曲线如图4和图5所示.两种计算方法给出的曲 机技术的发展，数值计算提供另一种分析问题的 线相似.其中Tresca条件给出的曲线比较平稳：而 方法. 采用von Mises条件时，无论积分方法还是微分方 4.1轧制模型的离散化处理 法给出的曲线在中性角附近均有突变现象.F2机架 (1)微分方程的离散化处理： 相关曲线略

· 810 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 35 卷 度越高，常数 C 越大，咬入越困难，这与实际轧制 经验完全相符. 3.3 轧制中性角 γ0 及前滑系数分析 在带钢的微分方程中，只有给出压力与摩擦力 的关联形式，才能求出应力分布. 关于摩擦机理有 很多理论进行了阐述分析 [18]，本质上都是假说. 本 文仍假设轧辊与带钢具有干摩擦性质，根据中性角 的定义，在中性角 γ0 所处的截面，带钢的速度与 轧辊的线速度相同，不存在相对滑动；根据物理学 原理，两接触面没有相对运动趋势，就不产生摩擦. 因此，在中性角 γ0 所处截面的摩擦力 f 为零，从 而摩擦因数 µ = 0，双曲正切函数正好能描述这种 摩擦特性，即 µ = µ0 tanh µ α − γ0 τ ¶ . (23) 式中，µ0 为摩擦常数，γ0 为中性角，τ 为角度常量， 可以根据计算精度需要选取. 根据轧辊的线速度水 平分量与带钢水平速度相等，得轧辊的线速度 vwr 满足方程 vwr = C (R + h − R cos γ0) cos γ0 , (24) 从而带钢的前滑率 ζ 为 ζ = µ vh vwr − 1 ¶ × 100% = µ R + h − R cos γ0 h cos γ0 − 1 ¶ × 100%. (25) 根据上面的分析可知：如果已经掌握金属屈服 强度和摩擦特性信息，则根据式 (7) 或式 (10) 及前 后张力条件，就确定了带钢的前滑率，同时也确定 了应力分布情况，而根据式 (18) 和式 (19)，就可计 算出轧制设定的重要参数 —— 轧制力和力矩，且 这种关系是确定的. 反之，如果测知某带钢实际轧 制过程中的前后张力、轧制力和轧制力矩变量，则 根据上述式 (7)、(18) 和 (19) 的三个约束关系，能 够对此条件下带钢轧制的前滑率、金属屈服强度和 摩擦因数三个变量进行估计，进而对下一轧制设定 的优化提供依据则具有非常重要的意义. 限于篇幅， 将另文进行分析研究. 4 轧制模型的数值分析 无论微分方程还是积分方程，都很难给出解析 解，这也许是采用大量经验公式的原因. 随着计算 机技术的发展，数值计算提供另一种分析问题的 方法. 4.1 轧制模型的离散化处理 (1) 微分方程的离散化处理： ykσk = yk−1σk−1 + ρC2R sin αk (R + h − R cos αk) 2 ∆α− Pk(µk − tan αk) cos αkR∆α. (26) σ0 = τh, σN = τH, ∆α = α0 N , αk = k N α0. (2) 积分方程的离散化处理： ykσk = ρC2 µ 1 h − 1 R + h − R cos αk ¶ − τhh− ∆αR k X−1 i=1 (µi− tan αi)Pi cos αi . (27) σ0 = τh, σN = τH, ∆α = α0 N , αk = k N α0. 显然当 N 足够大时，上述离散化方程完全能 够达到工程需要的精度. 根据采用屈服条件的不同， 下面对两种屈服条件进行离散处理. 4.2 屈服条件的离散化处理 屈服条件本身是简单的代数方程，可直接进行 离散化处理，根据不同的屈服条件，离散处理如下. (1) von Mises 屈服条件离散化： Pk = σk(1 + µk tan αk)+ (1 + µk tan αk) 2 + 4(µk − tan αk) 2 p (1 + µk tan αk) 2K2 + 4(µk − tan αk) 2(K2 − σ 2 k ) (1 + µk tan αk) 2 + 4(µk − tan αk) 2 . (28) (2) Tresca 屈服条件离散化. Pk = K + σk 1 + µk tan αk . (29) 4.3 轧制模型的数值计算 根据前面的讨论，利用了轧机二级系统中给定 的金属屈服强度和摩擦因数对某次轧制过程进行计 算分析，结果如表 1 所示. 从计算结果来看：微分方法和积分方法给出的 计算结果与实轧数据基本一致，误差在 10%左右； 轧机二级系统给出 F2 轧制力数据与实轧数据不知 何种原因偏差达 20%. 本文给出的轧制力和轧制力 矩以及前滑等变量与实际轧制过程基本符合. 另外， 由于带钢的前滑率无法测量，本文以轧辊的实际转 速作为参考变量. 从轧辊的转速来看，本文给出的 结果更接近于轧辊实际转速，略优于轧机二级系统 给出的计算值. F1 机架按微分方法和积分方法给出的应力分 布曲线如图 4 和图 5 所示. 两种计算方法给出的曲 线相似. 其中 Tresca 条件给出的曲线比较平稳；而 采用 von Mises 条件时，无论积分方法还是微分方 法给出的曲线在中性角附近均有突变现象. F2 机架 相关曲线略