Beta分布是区间(0,1)内的双参数、非均匀分布,记作B(a,B)。 2.2.2常用的离散型概率分布 (i)离散均匀分布 (ii) Bernoulli分布(两点分布) Bernoulli分布是x=10处取值的概率分别是p和1-p的两点分布,记作 Bern(p)。用于基本的离散模型 (ii)泊松( Poisson)分布 泊松分布与指数分布有密切的关系。当顾客平均到达率为常数A的到达间隔服从 指数分布时,单位时间内到达的顾客数K服从泊松分布,即单位时间内到达k位顾客 的概率为 e P k=0,1,2 k 记作 Poisson(λ)。泊松分布在排队服务、产品检验、生物与医学统计、天文、物理等 领域都有广泛应用。 (iv)二项分布 在独立进行的每次试验中,某事件发生的概率为P,则n次试验中该事件发生的 次数K服从二项分布,即发生k次的概率为 P (1-p),k=0,1 记作B(n,P)。二项分布是n个独立的 Bernoulli分布之和。它在产品检验、保险、生 物和医学统计等领域有着广泛的应用 当n,k很大时,B(n,p)近似于正态分布N(p,np(1-p);当n很大、P很小, 且Pp约为常数λ时,B(n,p)近似于 Poisson()。 §3生灭过程 一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的 随机过程,在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中,如果N(1)表示 时刻t系统中的顾客数,则{N(1),t≥0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达,“灭”表示顾客的离去,则对许多排队过程来说,{N(1),t≥0}就是一类特 殊的随机过程一生灭过程。下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义 定义1设{N(1),t≥0}为一个随机过程。若N()的概率分布具有以下性质 (1)假设N(1)=n,则从时刻t起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为n 的负指数分布,n=0,1,2,…。 (2)假设N(t)=n,则从时刻t起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为n 的负指数分别,n=0,1,2,……。 (3)同一时刻只有一个顾客到达或离去。 则称{N(),t≥0}为一个生灭过程 一般来说,得到N()的分布Pn()=P{N(1)=n}(n=0,1,2,…)是比较困难的, 因此通常是求当系统到达平衡后的状态分布,记为pn,n=0.1,2, 为求平稳分布,考虑系统可能处的任一状态n。假设记录了一段时间内系统进入状 态n和离开状态n的次数,则因为“进入”和“离开”是交替发生的,所以这两个数要
-123- Beta 分布是区间(0,1) 内的双参数、非均匀分布，记作 B(α, β ) 。 2.2.2 常用的离散型概率分布 （i）离散均匀分布 （ii）Bernoulli 分布（两点分布） Bernoulli 分布是 x = 1,0 处取值的概率分别是 p 和1− p 的两点分布，记作 Bern( p) 。用于基本的离散模型。 （iii）泊松（Poisson）分布 泊松分布与指数分布有密切的关系。当顾客平均到达率为常数 λ 的到达间隔服从 指数分布时，单位时间内到达的顾客数 K 服从泊松分布，即单位时间内到达 k 位顾客 的概率为 , 0,1,2,L ! = = − k k e P k k λ λ 记作 Poisson(λ) 。泊松分布在排队服务、产品检验、生物与医学统计、天文、物理等 领域都有广泛应用。 （iv）二项分布 在独立进行的每次试验中，某事件发生的概率为 p ，则 n 次试验中该事件发生的 次数 K 服从二项分布，即发生k 次的概率为 P C p p k n k k n k k n = (1− ) , = 0,1,L, − . 记作 B(n, p) 。二项分布是n 个独立的 Bernoulli 分布之和。它在产品检验、保险、生 物和医学统计等领域有着广泛的应用。 当n,k 很大时， B(n, p) 近似于正态分布 N(np,np(1− p)) ；当n 很大、 p 很小， 且np 约为常数λ 时， B(n, p) 近似于 Poisson(λ)。 §3 生灭过程 一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的 随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特 殊的随机过程－生灭过程。下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。 定义 1 设{N(t),t ≥ 0}为一个随机过程。若 N(t) 的概率分布具有以下性质： （1）假设 N(t) = n，则从时刻t 起到下一个顾客到达时刻止的时间服从参数为λn 的负指数分布，n = 0,1,2,L。 （2）假设 N(t) = n，则从时刻t 起到下一个顾客离去时刻止的时间服从参数为 μn 的负指数分别，n = 0,1,2,L。 （3）同一时刻只有一个顾客到达或离去。 则称{N(t),t ≥ 0}为一个生灭过程。 一般来说，得到 N(t) 的分布 p (t) P{N(t) n} n = = （ n = 0,1,2,L）是比较困难的， 因此通常是求当系统到达平衡后的状态分布，记为 pn , n = 0,1,2,L。 为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要
么相等,要么相差为1。但就这两种事件的平均发生率来说,可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后,对任一状态n来说,单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等,这就是系统在统计平衡下的“流 入=流出”原理。根据这一原理,可得到任一状态下的平衡方程如下: up,=Aopo 10P0+12P2=(41+1)P P1+H3P3=(2+2)P2 (3) An-P_+umpn1=(n,+uu)p 由上述平衡方程,可求得 P1==P0 p3 (A1P1-100)=一P1 122 12121 P3=n2+(2P2-小 12x120 p2 Po 133421 P u,P p-d) Pn Po Ans ,n=1,2, (4) Hn4n-1…1 则平稳状态的分布为 P=CaPo, n=1, 2 (5) 由概率分布的要求 Pn 有 1+∑Cn|P=1 于是 Po (6) 注意:(6)只有当级数∑C收敛时才有意义,即当∑Cn<∞时,才能由上
-124- 么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下： M M M M n pn n pn n n pn p p p p p p p p n ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 0 0 2 2 1 1 1 1 1 0 0 λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ μ λ + = + + = + + = + = − − + + （3） 由上述平衡方程，可求得 0： 0 1 0 1 p p μ λ= 1： 0 2 1 1 0 1 2 1 1 1 0 0 2 1 2 1 2 ( ) 1 p p p p p p μ μ λ λ μ λ μ λ μ μ λ = + − = = 2： 0 3 2 1 2 1 0 2 3 2 2 2 1 1 3 2 3 2 3 ( ) 1 p p p p p p μ μ μ λ λ λ μ λ μ λ μ μ λ= + − = = M M n ： 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 p p p p p p n n n n n n n n n n n n n n n n μ μ μ λ λ λ μ λ μ λ μ μ λ L L + − + − − + + + = + − = = M M 记 1 1 1 2 0 μ μ μ λ λ λ L L − − − = n n n n Cn ， n =1,2,L （4） 则平稳状态的分布为 pn = Cn p0 ， n = 1,2,L （5） 由概率分布的要求 1 0 ∑ = ∞ n= pn 有 1 0 1 1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +∑ ∞ = C p n n 于是 ∑ ∞ = + = 1 0 1 1 n Cn p （6） 注意：（6）只有当级数∑∞ n=1 Cn 收敛时才有意义，即当∑ < ∞ ∞ n=1 Cn 时，才能由上
述公式得到平稳状态的概率分布。 §4M/M/s等待制排队模型 4.1单服务台模型 单服务台等待制模型M/M//∞是指:顾客的相继到达时间服从参数为A的负指 数分布,服务台个数为1,服务时间V服从参数为的负指数分布,系统空间无限, 允许无限排队,这是一类最简单的排队系统。 4.1.1队长的分布 记Pn=P{N=n}(n=01,2…)为系统达到平衡状态后队长N的概率分布,则 由式(4)~(6),并注意到An=A,n=0,2,…和n=1,n=0,1,2,…。记 并设p<1(否则队列将排至无限远),则 P,=p"po, n=1,2 其中 Po P (7) 因此 Pn=(1-p)p”,n=1,2 公式(7)和(8)给出了在平衡条件下系统中顾客数为n的概率。由式(7)不难看出, P是系统中至少有一个顾客的概率,也就是服务台处于忙的状态的概率,因而也称P为 服务强度,它反映了系统繁忙的程度。此外,(8)式只有在p=-<1的条件下才能得 到,即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率,才能使系统达到统计平衡 4.1.2几个主要数量指标 对单服务台等待制排队系统,由已得到的平稳状态下队长的分布,可以得到平均队 长 n(1-p) =(p+2p2+3p3+…)-(p2+2p3+3p4+…) (9) =p+p+p+……= 平均排队长L为
-125- 述公式得到平稳状态的概率分布。 §4 M / M /s 等待制排队模型 4.1 单服务台模型 单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。 4.1.1 队长的分布 记 p P{N n} n = = （ n = 0,1,2,L）为系统达到平衡状态后队长 N 的概率分布，则 由式（4）～（6），并注意到λn = λ, n = 0,1,2,L和 μn = μ, n = 0,1,2,L。记 μ λ ρ = 并设 ρ < 1（否则队列将排至无限远），则 n Cn ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = μ λ ， n =1,2,L 故 p p0 n n = ρ ， n = 1,2,L 其中 ρ ρ ρ ρ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + = − − ∞ = ∞ = ∑ ∑ 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 n n n n p （7） 因此 n pn = (1− ρ)ρ ， n =1,2,L （8） 公式（7）和（8）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率。由式（7）不难看出， ρ 是系统中至少有一个顾客的概率，也就是服务台处于忙的状态的概率，因而也称 ρ 为 服务强度，它反映了系统繁忙的程度。此外，（8）式只有在 = < 1 μ λ ρ 的条件下才能得 到，即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。 4.1.2 几个主要数量指标 对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长 μ λ λ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − = − = + + + = = + + + − + + + = ∑ = ∑ − ∞ = ∞ = 1 ( 2 3 ) ( 2 3 ) (1 ) 2 3 2 3 2 3 4 0 1 L L L n n n s n L np n （9） 平均排队长 Lq 为
L=∑(m-1)pn=L-(1-P)=L 1( 关于顾客在系统中的逗留时间T,可说明它服从参数为-的复指数分布,即 P{T>l}=e-,t≥0 因此,平均逗留时间 因为,顾客在系统中的逗留时间为等待时间T和接受服务时间V之和,即 7+1 故由 W,=E(7)=E(T)+E(1)=W+ (12) 可得平均等待时间W为 Wa=ws 4(-1) 从式(9)和式(11),可发现平均队长L,与平均逗留时间W,具有关系 L=aw (14) 同样,从式(10)和式(13),可发现平均排队长L与平均等待时间W具有关系 L =an (15) 式(14)和式(15)通常称为 Little公式,是排队论中一个非常重要的公式 4.1.3忙期和闲期 在平衡状态下,忙期B和闲期Ⅰ一般均为随机变量,求它们的分布是比较麻烦的。 因此,我们来求一下平均忙期B和平均闲期I。由于忙期和闲期出现的概率分别为P和 1-p,所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为p:(1-p)。又因为忙 期和闲期是交替出现的,所以在充分长的时间里,它们出现的平均次数应是相同的。于 是,忙期的平均长度B和闲期的平均长度I之比也应是p:(1-p),即 B (16) 又因为在到达为 Poisson流时,根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假 设,容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止(即闲期)的时间间隔仍服从 参数为A的负指数分布,且与到达时间间隔相互独立。因此,平均闲期应为一,这样, 便求得平均忙期为 B (17) 1-p2-2 与式(11)比较,发现平均逗留时间(W,)=平均忙期(B)。这一结果直观看上去 是显然的,顾客在系统中逗留的时间越长,服务员连续繁忙的时间也就越长。因此
-126- ( ) ( 1) (1 ) 2 0 1 μ μ λ λ ρ − = ∑ − = − − = − = ∞ = L n p L p L n q n （10） 关于顾客在系统中的逗留时间T ，可说明它服从参数为 μ − λ 的复指数分布，即 t P T t e ( ) { } − μ−λ > = ，t ≥ 0 因此，平均逗留时间 μ − λ = 1 Ws （11） 因为，顾客在系统中的逗留时间为等待时间Tq 和接受服务时间V 之和，即 T = Tq +V 故由 μ 1 Ws = E(T) = E(Tq ) + E(V ) = Wq + （12） 可得平均等待时间Wq 为 ( ) 1 μ μ λ λ μ − Wq =Ws − = （13） 从式（9）和式（11），可发现平均队长 Ls 与平均逗留时间Ws 具有关系 Ls = λWs （14） 同样，从式（10）和式（13），可发现平均排队长 Lq 与平均等待时间Wq 具有关系 Lq = λWq （15） 式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。 4.1.3 忙期和闲期 在平衡状态下，忙期 B 和闲期 I 一般均为随机变量，求它们的分布是比较麻烦的。 因此，我们来求一下平均忙期 B 和平均闲期 I 。由于忙期和闲期出现的概率分别为 ρ 和 1− ρ ，所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为 ρ :(1− ρ) 。又因为忙 期和闲期是交替出现的，所以在充分长的时间里，它们出现的平均次数应是相同的。于 是，忙期的平均长度 B 和闲期的平均长度 I 之比也应是 ρ :(1− ρ)，即 ρ ρ − = I 1 B （16） 又因为在到达为 Poisson 流时，根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假 设，容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止（即闲期）的时间间隔仍服从 参数为λ 的负指数分布，且与到达时间间隔相互独立。因此，平均闲期应为 λ 1 ，这样， 便求得平均忙期为 ρ λ μ λ ρ − ⋅ = − = 1 1 1 B （17） 与式（11）比较，发现平均逗留时间（Ws ）＝平均忙期（ B ）。这一结果直观看上去 是显然的，顾客在系统中逗留的时间越长，服务员连续繁忙的时间也就越长。因此，一
个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间 4.2与排队论模型有关的 LINGO函数 (1)@peb(load, S) 该函数的返回值是当到达负荷为1oad,服务系统中有S个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率,也就是顾客等待的概率。 (2)Opel(load, S) 该函数的返回值是当到达负荷为load,服务系统中有S个服务台且不允许排队时 系统损失概率,也就是顾客得不到服务离开的概率 (3)Opfs(load, S, K) 该函数的返回值是当到达负荷为load,顾客数为K,平行服务台数量为S时,有限 源的 Poisson服务系统等待或返修顾客数的期望值 例1某修理店只有一个修理工,来修理的顾客到达过程为 Poisson流,平均4人 /h;修理时间服从负指数分布,平均需要6min。试求:(1)修理店空闲的概率;(2) 店内恰有3个顾客的概率;(3)店内至少有1个顾客的概率;(4)在店内的平均顾客数 (5)每位顾客在店内的平均逗留时间;(6)等待服务的平均顾客数;(7)每位顾客平 均等待服务时间;(8)顾客在店内等待时间超过10min的概率。 解本例可看成一个M/M/1/∞排队问题,其中 (1)修理店空闲的概率 P (2)店内恰有3个顾客的概率 P3=p3(1-p)=04×(1-04)=0.38 (3)店内至少有1个顾客的概率 P{N≥l=1-p0=p=04 (4)在店内的平均顾客数 L 0.67(人) (5)每位顾客在店内的平均逗留时间 W L,0.67 (h)=10( (6)等待服务的平均顾客数 L=L-o- p 0.4 0.267(人) 1-p1-0.4 (7)每位顾客平均等待服务时间 L0.267 求-(b)=4min) (8)顾客在店内逗留时间超过10min的概率 P{T>10}=e6is'=e-=03679 编写 LINGO程序如下: model
-127- 个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。 4.2 与排队论模型有关的 LINGO 函数 （1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。 （2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。 （3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。 例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。 解 本例可看成一个 M / M /1/ ∞ 排队问题，其中 λ = 4， 10 0.1 1 μ = = ， = = 0.4 μ λ ρ （1）修理店空闲的概率 p0 = 1− ρ = 1− 0.4 = 0.6 （2）店内恰有 3 个顾客的概率 (1 ) 0.4 (1 0.4) 0.38 3 3 p3 = ρ − ρ = × − = （3）店内至少有 1 个顾客的概率 P{N ≥1} = 1− p0 = ρ = 0.4 （4）在店内的平均顾客数 0.67 1 = − = ρ ρ Ls （人） （5）每位顾客在店内的平均逗留时间 (h) 10(min) 4 0.67 = = = λ s s L W （6）等待服务的平均顾客数 0.267 1 0.4 0.4 1 2 2 = − = − = − = ρ ρ Lq Ls ρ （人） （7）每位顾客平均等待服务时间 (h) 4(min) 4 0.267 = = = λ q q L W （8）顾客在店内逗留时间超过 10min 的概率 { 10} 0.3679 1 ) 15 1 6 1 10( > = = = − − − P T e e 编写 LINGO 程序如下： model: