xsin-,x≠0 f(x)= X X 在x=0处 连续。因为 lim f(x)=lim xsin-=0=f(O) x→0 x→0 X 说明:1、定义1的等价定义 若记 Ax=x-xo, Ay=f(x)-f(xo) mf(x)=()可等价的叙述为 X→8 lm Ay=0 X→x ,于是函数()在x点 连续的定义又可以叙述为 6
6 在 处 连续。因为 说明：1、定义 1 的等价定义 若记 ： ，则 可等价的叙述为 ，于是函数 在 点 连续的定义又可以叙述为:
定义1设函数()在x0的某 Ay= 0 邻域内有定义,若:xAx 则称(x)在x点连续 另外,由于函数x)在点连续 是用极限形式表述的,若将 lm f(x)=f(xo) X→3 改用8-语言叙述, 则 fx)在x0点连续又可以定义为: 定义1”设函数(x在的某邻域 内有定义,若对 yE>0.彐6>0 使
7 定义 1’ 设函数 在 的某 邻域内有定义，若: 则称 在 点连续。 另外，由于函数 在 点连续 是用极限形式表述的，若将 改用 语言叙述， 则 在 点连续又可以定义为： 定义 1” 设函数 在 的某邻域 内有定义，若对 ，使
得当x-x时,都 有:(x)-(x)< 则称(x)在点连续。 注意:函数(x)在0点连续,不仅 要求(x在0点有定义,而且要求 x→而时,f(x)的极限等于f(x0), 因此这里在极限的“-6”语言叙 述中把0<|x-x|<6 换成了 X一X lm f(x=f(xo) 最后, 式又可表示为 X→ X→ ,可见
8 得当 时，都 有 : 则称 在 点连续。 注意: 函数 在 点连续，不仅 要求 在 点有定义，而且要求 时， 的极限等于 ， 因此这里在极限的“ ” 语言叙 述中把 换成了: 。 最后， 式又可表示为 ,可见
在x=0连续意味着极限运算 x→xa与对应法则的可交换性。 例1证明函数(x)=xD(x)在点 x=0连续其中(为狄利克雷函 数。 证明由=0及(51,对于 任意的 8> 为使 f(x)f(O=xDx< x=x-o<s 所以只要取5=E,即可按E-O定 义推得在连续
9 在 连续意味着极限运算 与对应法则 的可交换性。 例 1 证明函数 在点 连续,其中 为狄利克雷函 数。 证明 由 及 ，对于 任意的 ，为使 f (x) − f (0) = x D(x) x = x − 0 所以只要取 ，即可按 定 义推得在连续