221-阶谓词逻辑表示的逻辑学基础 论域和谓词(1/2) ●论域;由所讨论对象的全体构成的集合。亦称为个体域 个体:论域中的元素 ●谓词;在谓词逻辑中命题是用形如P(x1,x2,…,x的谓词来表示的 谓词名:是命题的谓语,表示个体的性质、状态或个体之间的关系 个体:是命题的主语,表示独立存在的事物或概念 定义22设D是个体域,P:D→{T,F}是一个映射,其中 D=(ux2,xn)xI,x2,,xnE D) 则称P是一个n元谓词,记为P(x1x2,xn),其中,x1,x2…,x为个体,可 以是个体常量、变元和函数 例如: GREATER(x,6) x大于6 TEACHER(father(( Wang hong)王宏的父亲是一位教师
⚫ 论域：由所讨论对象的全体构成的集合。亦称为个体域 ⚫ 个体：论域中的元素 ⚫ 谓词：在谓词逻辑中命题是用形如P(x1 ,x2 ,…,xn )的谓词来表示的 ⚫ 谓词名：是命题的谓语，表示个体的性质、状态或个体之间的关系 ⚫ 个体：是命题的主语，表示独立存在的事物或概念 ⚫ 定义2.2设D是个体域，P：D n→{T，F｝是一个映射，其中 ⚫ 则称P是一个n元谓词，记为P(x1 ,x2 ,…,xn )，其中，x1 ,x2 ,…,xn为个体，可 以是个体常量、变元和函数。 ⚫ 例如：GREATER(x,6) x大于6 ⚫ TEACHER(father(WangHong)) 王宏的父亲是一位教师 {( , , , ) | , , , } D x1 x2 xn x1 x2 xn D n = 11
22.1一阶谓词逻辑表示的逻辑学基础 论域和谓词(2/2) ●函数: 定义2-3 设D是个体域,f:D"→D是一个映射,其中 D"={( ∈D ●则称f是D上的一个n元函数,记作 f(x1,x2,…,x ●谓词与函数的区别: 谓词是D到{T,F的映射,函数是D到D的映射 谓词的真值是T和F,函数的值(无真值)是D中的元素 谓词可独立存在,函数只能作为谓词的个体
⚫ 函数： ⚫ 定义2-3 ⚫ 设D是个体域，f：D n→D是一个映射，其中 ⚫ 则称f是D上的一个n元函数，记作 ⚫ f(x1,x2,…,xn) ⚫ 谓词与函数的区别： ⚫ 谓词是D到{T，F}的映射，函数是D到D的映射 ⚫ 谓词的真值是T和F，函数的值（无真值）是D中的元素 ⚫ 谓词可独立存在，函数只能作为谓词的个体 {( , , , ) | , , , } D x1 x2 xn x1 x2 xn D n = 12
221—阶谓词逻辑表示的逻辑基础 连词 “非”或者“否定”。表示对其后面的命题的否定 V:“析取”。表示所连结的两个命题之间具有“或”的关系 ∧:“合取”。表示所连结的两个命题之间具有“与”的关系。 →:“条件”或“蕴含”。表示“若…则…”的语义。读作“如果P,则Q” 其中,P称为条件的前件,Q称为条件的后件。 :称为“双条件”。它表示“当且仅当”的语义。即读作“P当且仅当Q”。 例如,对命题P和Q,P4Q表示“P当且仅当Q” PQ P P∨QP∧Q Q P+Q T T F F T T TTTF TFFF F T TFFT F F T T
⚫ ¬ ： “非”或者“否定” 。表示对其后面的命题的否定 ⚫ ∨ ： “析取” 。表示所连结的两个命题之间具有“或”的关系 ⚫ ∧： “合取” 。 表示所连结的两个命题之间具有“与”的关系。 ⚫ → ： “条件”或“蕴含” 。表示“若…则…”的语义。读作“如果P，则Q” ⚫ 其中，P称为条件的前件，Q称为条件的后件。 ⚫ ↔ ：称为“双条件” 。它表示“当且仅当”的语义。即读作“P当且仅当Q”。 ⚫ 例如，对命题P和Q，P↔Q表示“P当且仅当Q”， P Q ¬P P∨Q P∧Q P→Q P↔Q T T F T T T T T F F T F F F F T T T F T F F F T F F T T 13
221一阶谓词逻辑表示的逻辑基础 量词 量词: y:全称量词,意思是“所有的”、“任一个” 命题(xP(x)为真,当且仅当对论域中的所有x,都有P(x)为真 命题(yx)P(x)为假,当且仅当至少存在一个x∈D,使得P(x)为假 彐:存在量词,意思是“至少有一个”、“存在有” 命题(P(x)为真,当且仅当至少存在一个x∈D,使得P(x)为真 命题(xP(x)为假,当且仅当对论域中的所有x,都有P(x)为假
⚫ 量词： ⚫ ：全称量词，意思是“所有的” 、 “任一个” ⚫ 命题( x)P(x)为真，当且仅当对论域中的所有x，都有P(x)为真 ⚫ 命题( x)P(x)为假，当且仅当至少存在一个xi D，使得P(xi )为假 ⚫ ：存在量词，意思是“至少有一个” 、 “存在有” ⚫ 命题( x)P(x)为真，当且仅当至少存在一个xi D，使得P(xi )为真 ⚫ 命题( x)P(x)为假，当且仅当对论域中的所有x，都有P(x)为假 14
221—阶谓词逻辑表示的逻辑基础 项与合式公式 项定义2-4项满足如下规则: (1)单独一个个体词是项; (2)若t1,2,…t是项,堤n元函数,则f(t1,t2…,t是项; (3)由(1)、(2)生成的表达式是项。 项是把个体常量、个体变量和函数统一起来的一念。 ●原子谓词公式 定义2-5原子谓词公式的含义为: 若t1,t2…,t是项,P是谓词,则称P(t1,t2,,tn为原子谓词公式。 合式公式 定义2-6满足如下规则的谓词演算可得到合式公式: 1)单个原子谓词公式是合式公式; 2)若A是合式公式,则一A也是合式公式; (3)若A,B是合式公式,则AVB,A∧B,A→B,A←B也都是合式公式; (4)若A是合式公式,x是项,则()A(x)和(3)A(x)都是合式公式。 例如,P(xy)VQ(y),()(A(x)→B(x),都是合式公式。 连词的优先级 ∧,V,→
⚫ 项 定义2-4项满足如下规则： ⚫ (1) 单独一个个体词是项； ⚫ (2) 若t1 ,t2 ,…,tn是项，f是n元函数，则f(t1 ,t2 ,…,tn )是项； ⚫ (3) 由(1)、(2)生成的表达式是项。 ⚫ 项是把个体常量、个体变量和函数统一起来的一念。 ⚫ 原子谓词公式 ⚫ 定义2-5 原子谓词公式的含义为： ⚫ 若t1 ,t2 ,…,tn是项，P是谓词，则称P(t1 ,t2 ,…,tn )为原子谓词公式。 ⚫ 合式公式 ⚫ 定义2-6 满足如下规则的谓词演算可得到合式公式： ⚫ (1) 单个原子谓词公式是合式公式； ⚫ (2) 若A是合式公式，则¬A也是合式公式； ⚫ (3) 若A,B是合式公式，则A∨B，A∧B，A→B，A↔B也都是合式公式； ⚫ (4) 若A是合式公式，x是项，则( x)A(x)和( x)A(x)都是合式公式。 ⚫ 例如，¬P(x,y)∨Q(y)，( x)(A(x)→B(x))，都是合式公式。 ⚫ 连词的优先级 ⚫ ¬,∧,∨,→,↔ 15