的不会是能量的量子化；又因为屏上观测到的是带有方向性 的效应，所以与之对应的发生量子化的那个动力学变量显然 同原子的取向有关 除斯特恩-革拉赫实验外，还有好几种说明存在着空间量 子化的不十分直接的实验现象.这里我们只特别指出恒定磁 场对光谱结构的影响，即塞曼效应(1896)；后面我们还要回过 头来讨论这个效应.所有这些现象都有一个共同的起源，即 角动量量子化；后来量子力学的发展把这一点阐述得十分清 楚 IV.对应原理和旧量子论 11.经典徽粒说的不足 某些物理量的量子化（以及人们不得不这样主张）是与物 质的经典微粒说相悖的实验事实。由经典粒子组成的一个系 统的能量实际上是一个连续量；不管我们怎样修改力的定律， 即使引人另外的动力学变量，我们也无法改变这样一种状况： 一个粒子系统的能量只取一系列分立的容许值，这一事实是 经典力学无能为力的一个实验结果。同样的说法也适用于所 有其他的量子化量， 与此相联系，一个量子化量随时间的演变无法用严格的 经典术语来描述。我们来看这样一个例子：一个原子开始时 处于第一激发态E,发射一个光子后回到基态。倘若我们打 算用经典物理学的语言去确定原子能量随时间的演变，那么 我们就不得不认为原子的能量在某个确定时刻发生了一次从 E,到E。的不连续跃变，因为这两个能量值之间的任何连续 演变都已被排除。可是，我们却无法预言这次跃变究竞是在 什么确切时刻发生的。事实上，如果在跃变前的所有时间原 ·25·
子的动力学状态始终保持一模一样，那么就没有理由说，这次 跃变应该是发生在某个给定时刻而不是发生在其他时刻.人 们充其量只能谈论每单位时间发生跃变的几率。实际情况 是，经典物理学无法描述这种情况，用某个时刻发生跃变来描 述的这个图象是不正确的。我们必须放弃能量真的作为时间 的函数而演变的想法.我们唯一能够确定的，只是在开始时处 于激发态的一个原子在后来的某一时刻被发现处于基态的几 率。我们后面将会看到，这种去激发的几率同放射性原子核 的衰变规律一样，遵循的也是一个指数衰减规律，其中的特征 常数是单位时间的去激发几率，换一种说法，亦即激发态平均 寿命的倒数. 由此可见，我们必须放弃某些经典概念，以便把这种量子 化现象并入到一个前后一贯的物质理论中去。根据这个新理 论，人们可以算出量子化量以及同各种可能发生的量子跃迁 有关的量的精确数值，如上面提到的平均寿命即是。直到量 子力学以它现在的形式建立起来以后，这种做法才得以实现 起初，玻尔和他的学派（克拉默，索末菲）系统地提出量子论的 第一个草案，由它可以正确地预言类氢系统的光谱。尽管这 个旧量子论存在有原则性的困难，而且具有很大的局限性，但 为了正确评价量子理论后来的发展，我们还是有必要知道 些它的主要特点。此外，正是这个比较旧的理论，第一次应用 了一种富于启发性的原理，即对应原理，后者在量子力学的发 展中起过非常重要的作用.正因为如此，我们要特别介绍一 下旧量子论的下面一种表述.至于旧量子论的另一部分，那 是关于物质和辐射间相互作用的半经典理论，也是以对应原 理为基础，但在本书中不打算进行讨论. ·26·
12.对应原理 .对应原理是1923年才由玻尔清楚地表述出来”，但它对 那以前的所有工作都起过促进作用。对应原理的实质在于， 它能精确地指明在何种意义下经典力学的观念和结果可以作 为制订和阐明正确理论的指南. 我们曾联系到光量子讨论过经典辐射理论的适用范围。 那里所作的讨论对于经典理论总体也都成立，经典理论能正 确地预言范围广泛的众多现象，从宏观尺度往下直到把微观 领域的某些现象也包括在内.这后一类现象有电子在恒定电 场或磁场中的运动，气体中原子或分子的热运动，等等。经典 理论在解释微观尺度上的现象时遇到的困难，主要是因为在 这个尺度上出现了不连续性 所以我们可以断言，经典理论“在宏观上是正确的”，这就 是说，经典理论说明的是当量子不连续性可视为无穷小时的 那些现象；只要是属于这种极限情况，精确理论的预言则必须 同经典理论的预言相一致。·这样我们就给囊子理论加上了一 个限制性很强的条件.这个限制性条件可以概括为一句话： 在大量子数极限情况下，量子理论必须逐渐逼近经典理论。 为了让这个条件得到满足，人们在原则上建立起这样一 种信念，即量子理论与经典理论之间存在着一种形式上的相 似，而且两种理论之间的这种“对应性”能保持到最小的细节， 所以必然能用作阐明新理论的结果时的指南。 13.对应原理在里德伯常数计算中的应用 我们来验证一下，表达式(1.7)同对应原理一致.(1.7)式 1)N.Boh,Z,Pyik13(1923)17. 27·
给出的是作为量子数”的函数的氢原子的能级。现在我们来 证明，应用对应原理可以明确地确定出现在这个表达式中的 带数R的数值 按照卢瑟福经典理论，氢原子由相互有库仑作用（势为 一月的一个质子和一个电子组成。根据开普数定律（我们假 定读者已经知道这个定律)，电子应当绕质子作椭圆轨道运 动，质子（设为无穷重）则位于这个椭圆的一个焦点上。每 个轨道对应一定的能量值E(<0),而且电子沿轨道运动有一 定的频率"c。这两个量实际上只取决于椭圆主轴的长度， 并由下式联系起来： a()-÷(2” (1.8) 式是m是电子的质量. 电子在这种运动过程中会发生某种辐射，这种辐射由频 率等于.或它的谐波频率的单色波叠加而成.椭圆轨道 越偏心，辐射中的高次谐波就越丰富。这种辐射以连续方式 发射出来，而且伴随有能量E的稳定减小。 我们需要把能量的这种减小同玻尔理论中由分立的跃变 所引起的能量减小加以比较，当n很大时，由能级E。到它 的每一个最近邻能级之间的距离是某一个整数乘上 dE/dn-2Rh 为3 对于量子数相对变化△/n非常小的所有光学跃迁，同经典 理论一样，发射频率是某个基本频率 *2号-2(” (1.9) 的(n一1级)谐波。在n非常大的极限情况下，能量E.的减 28
小平均说来是由次第发生的大量非常小的量子跃变引起的， 而按照对应原理，这时的发射频谱严格说来只是频谱中与最 低能量的量子相联系的低频部分，它必须同经典频谱完全相 同。换句话说，我们必须有 yau.vcl.(). (1.10) 考察表达式(1.8)和(1.9)可以看出，若取 R2xme (1.11) 3 上述条件就可以满足。R的实验值已经以非常高的精度（≈ 106)测知，而由(1.11)式求出的理论值同实验值则在10的 精度内符合得很好”。这是玻尔理论最突出的成就之一. 不难把玻尔理论推广到由一个电子和一个电荷为Z:的 原子实所组成的类氢原子，例如一次电离的氨原子(2一2) 这时我们只需在公式中用Ze2代替e2.这样得到的Hc+的 光谱项也同样在非常高的精度(10-)内同实验观测符合得很 好。 14.经典力学方程的拉格朗日形式和哈密顺形式 为了便于在后面讨论量子理论同经典理论之间在形式上 的对应性，我们有必要回顾一下经典分析力学的一些要点 一般说来，一个经典系统的动力学状态是由它的位置和 速度确定的。这其中位置用它的坐标91,9，··，9R表示， 1)为了肯定R确定到这样的精度，必须注意到质于的质量M实际上是有限 的.为此，只需在公式(1.11)中把电于质量m用约化质量 群 来代替、在作过这种修正(5×10)以后，R的理论值略低于实验值.这 个差别实质上来自相对论效应，它使质量m'有一点增加 29