贝塞尔方程及其性质md21 dy典型的贝塞尔方程Jv=0dxx dx其解为：y= AJ(x)+ BY (x)2k+m+J. (n)=Z(-1) 第一类贝塞尔函数k!I(k+1+m)2k=0第二类贝塞尔函数cosm元·Jm(x)-J-m(x)Ym(a)= （或Neumann函数）sinm元如令z=jx，贝赛尔函数化为自变量为z的贝塞尔方程，称之为变型（虚宗量）贝塞尔方程，其解为y = CIm(x)+ DKm (xIm(x)和Km(x)为第一、二类变型的贝塞尔函数
➢ 贝塞尔方程及其性质 1 0 1 2 2 2 2 = + + − y x m dx dy dx x 典型的贝塞尔方程 d y 其解为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m J x J x Y x x k k m J x y AJ x BY x m m m k m k k m m m sin cos 1 2 1 ! 1 1 2 0 − + = − = + + = − = + 第一类贝塞尔函数 第二类贝塞尔函数 （或Neumann函数） 如令z=jx, 贝赛尔函数化为自变量为z的贝塞尔方程，称之为变型（虚宗 量）贝塞尔方程，其解为: y CI (x) DK (x) = m + m Im(x)和Km(x)为第一、二类变型的贝塞尔函数
贝塞尔函数1第一类贝塞尔函数Jm(xJO(x)J1(×)0.5J2(×)-0.5515300102025x
➢ 贝塞尔函数1 第一类贝塞尔函数Jm(x) 0 5 10 15 20 25 30 -0.5 0 0.5 1 x J0(x) J1(x) J2(x)
贝塞尔函数2第二类贝塞尔函数Ym(x)NO(x)0N1(x)-1-2-3-4-5-6-7051015202530x
0 5 10 15 20 25 30 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 x N0(x) N1(x) 第二类贝塞尔函数Ym(x) ➢ 贝塞尔函数2
贝塞尔函数3第一类变型贝塞尔函数lm(x)54.543.532.510(x)21.512(×)10.5012300.51.52.5x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 x I0(x) I1(x) I2(x) 第一类变型贝塞尔函数Im(x) ➢ 贝塞尔函数3
贝塞尔函数4第二类变型贝塞尔函数Km(x)1098765K1(X)432KO(x)70200.511.52.53x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x K0(x) K1(x) 第二类变型贝塞尔函数Km(x) ➢ 贝塞尔函数4