《理论力学》课程教学资源（PPT电子讲义）哈密顿力学

由哈密顿原理推导哈密顿正则方程 由哈密顿原理出发,将p,q都看成是独立变 量,变分之后能得到哈密顿正则方程。 B δS=6Ldt=6 Σ ∑∫p+pd(a) OH OH dg, dt !(6p9-q-OH B aH B og δn)t+pq ∑∫(2-0)0+(4-001M=0 Pr//

由哈密顿原理推导哈密顿正则方程 • 由哈密顿原理出发，将p，q都看成是独立变 量，变分之后能得到哈密顿正则方程。 1 1 1 1 ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] [( ) ( ) ] 0 s B B i i A A i s B i i i i i i A i i i s B B A i i i i i i i i A i i i s B i i i i A i i i S Ldt p dq Hdt H H p dq p d q q dt p dt q p H H p q p q q p dt p q q p H H p q q p dt q p               = = = = = = −   = + − −     = − − − +     = − − + − =         

正则变换 通过对拉格朗日函数做勒让德变换,以广义 动量为自变量替换了广义速度,得到哈密顿 正则方程。进一步,考虑用一组新的自变量 Q(qp,,Pq,p,t)和新的系统函数K(Q,Pt) 和方程来描述力学体系的演化,有可能使得 方程求解更加简便。 如果新的变量和函数之间仍然满足正则方程, 则从q,p,H到Q,P,K的变换为正则变换。 Q ok(@, P, t) oK(e,P,t) aP

正则变换 • 通过对拉格朗日函数做勒让德变换，以广义 动量为自变量替换了广义速度，得到哈密顿 正则方程。进一步，考虑用一组新的自变量 Qi (q,p,t)，Pi (q,p,t) 和新的系统函数 K(Q,P,t) 和方程来描述力学体系的演化，有可能使得 方程求解更加简便。 • 如果新的变量和函数之间仍然满足正则方程， 则从q，p，H到Q，P，K的变换为正则变换。 ( , , ) ( , , ) , i i i i K Q P t K Q P t Q P P Q   = = −  

正则变换的等价条件 ·如果到Q,P,K的变换为正则变换,则有 ΣP2-km)=∑(--)8+(已一5P=0 aP 反之,将Q,P视为独立变量,也可以得到正则方程, 因而是正则变换 进一步,如果有 ∑P4-k=∑pd-Ft-d (其中f是任意函数),则显然也能满足积分的变分为 0的条件,也即能判断是正则变换。这是因为真实运 动过程的作用量最小,无论用新旧变量描述,只相差 个全微分

正则变换的等价条件 • 如果到Q，P，K的变换为正则变换，则有 反之，将Q，P视为独立变量，也可以得到正则方程， 因而是正则变换。 • 进一步，如果有 （其中 f 是任意函数），则显然也能满足积分的变分为 0的条件，也即能判断是正则变换。这是因为真实运 动过程的作用量最小，无论用新旧变量描述，只相差 一个全微分。 1 1 ( ) [( ) ( ) ] 0 s s B B i i i i i i A A i i i i K K PdQ Kdt P Q Q P dt Q P    = =   − = − − + − =       1 1 s s i i i i i i PdQ Kdt p dq Hdt df = =   − = − −

正则变换的生成函数 虽然f任意,按照其全微分应该写为各个变 量微分的线性组合的原则,这里f称为生成 函数,它的自变量应该是f1=f(q,Q,t。因此 d(qQ,1)=∑p-∑P2+(K-H)t ∑ d1+如d)+t i=1 Oe 0O 对应各项系数,有 P Of、P1=0Q K=ht at

正则变换的生成函数 • 虽然 f 任意，按照其全微分应该写为各个变 量微分的线性组合的原则，这里 f 称为生成 函数，它的自变量应该是 f1 = f(q,Q,t)。因此 • 对应各项系数，有 1 1 1 , , i i i i f f f p P K H q Q t    = = − = +    1 1 1 1 1 1 1 ( , , ) ( ) ( ) s s i i i i i i s i i i i i df q Q t p dq PdQ K H dt f f f dq dQ dt q Q t = = = = − + −    = + +      

正则变换的第2种类型 还可以通过勒让德变换,用p或P作为f的 自变量,能得到其他3种类型的正则变换 d2(q,P,1)=f(qQ,1)+∑P ∑pln+∑QdP+(K-H)ht ∑ i Ca dq+32 d p)+ aP 对应各项系数有n=9,Q=91,K=H+%2 aP

正则变换的第2种类型 • 还可以通过勒让德变换，用 p 或 P 作为 f 的 自变量，能得到其他3种类型的正则变换。 • 对应各项系数有 2 2 2 , , i i i i f f f p Q K H q P t    = = = +    2 1 1 1 1 2 2 2 1 ( , , ) [ ( , , ) ] ( ) ( ) s i i i s s i i i i i i s i i i i i df q P t d f q Q t PQ p dq Q dP K H dt f f f dq dP dt q P t = = = = = + = + + −    = + +       