514-3拉氏反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时,需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由 象函数求原函数的方法有 d利用公式f0)= Fs)est di 公式涉及到以为变量的复变函数的积分,比较 复杂。工程上一般不采用这种方法。 是表14 且 得原函数。 路把F(s)分解为简单项的组合,称部分分式展开法。 F(s)=F1(S)+F2(3)+ f(0)=f()+/2()+ 2021年2月8日星期一 16
2021年2月8日星期一 16 §14-3 拉氏反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由 象函数求原函数的方法有 利用公式 f(t) = 2pj 1 c-j c+j F(s) est dt 若象函数是，或稍加变换后是表14-1中所具有 公式涉及到以s为变量的复变函数的积分，比较 复杂。工程上一般不采用这种方法。 把F(s)分解为简单项的组合，称部分分式展开法。 的形式，可直接查表得原函数。 F(s)=F1 (s)+F2 (s)+ f(t)=f1 (t)+f2 (t)+
例:求s)=n1 s2+3 的原函数 解:F()、13 3 s2+(3)2 查表: 所以:f(t) sin 3 2021年2月8日星期一 17
2021年2月8日星期一 17 例：求 F(s) = s 2 + 3 1 的原函数。 解：F(s) = 查表： 3 1 s 2 + ( 3 ) 2 3 ℒ [sin(wt)] = s 2+w2 w 所以： f(t) = 3 1 sin 3 t
1。部分分式展开 法 在线性电路中,电压和电流的象函数一般形式为 F(s Ns)a0m+a1sn1+…+b D(s)bosn+bs-+…+bn 式中m、n为正整数,且在电路分析中有nm 部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1 所示的简单函数之和,然后逐个求得反变换 当n>m时,F(s)为真分式; 当n=m时,用多项式除法将其化为:F(s)=A+ D(S) 部分分式为真分式时,需对分母多项式作因式分解, 求出D(s)=0的根。分三种情况讨论。 2021年2月8日星期一
2021年2月8日星期一 18 1. 部分分式展开 法 F(s) = D(s) N(s) = a0 s m + a1 s m-1 +··· +bm b0 s n + b1 s n-1+ ··· +bn 在线性电路中，电压和电流的象函数一般形式为 式中m、n为正整数，且在电路分析中有n≥m。 部分分式展开法就是把上式分解为若干个如表14-1 所示的简单函数之和，然后逐个求得反变换。 当n > m时， F(s)为真分式； 当n = m时，用多项式除法将其化为：F(s) = A + D(s) N0 (s) 部分分式为真分式时，需对分母多项式作因式分解， 求出D(s)=0的根。分三种情况讨论
情况」(=0只有单 K K FS) …+ pI S-p S-p p1、P2、…、pn为D(s)=0的n个不同单根,它们可以 实数,也可以是(共轭)复数。 Kn为待定系数。确定方法如下: 方,1=12,3,…,n 用求极限方法确定K,的值。 K=lim (S-PN(S).(S-Pi)N(S+NO s→>p;D(s)s>pD(s) i=1,2,3,…,n 2021年2月8日星期一
2021年2月8日星期一 19 情况1 D(s)=0只有单根 K1、K2、··· 、Kn 为待定系数。确定方法如下： F(s) = s- p1 K1 + s- p2 K2 + ··· + s- pn Kn p1、p2、… 、pn 为D(s)=0的n个不同单根，它们可以 实数，也可以是(共轭)复数。 方法1：按 Ki= lim s→pi (s- pi )F(s) 来确定， i =1,2,3, ···, n 方法2：用求极限方法确定 Ki 的值。 按 Ki= lim s→pi (s- pi )N(s) D(s) = lim s→pi (s- pi )N'(s)+N(s) D'(s) = D'(pi ) N(pi ) i =1,2,3, ···, n
P352例146F(s) 2s+1 的原函数。 s3+7s2+10s 解:s2+72+10=0的根分别为:p1=0,p2=2,P3=5 2s+1 Ki=lm Fs=lim S 3+7s2+10s 0 s->0 K2=lim(s+2)F(s)=lim(s+2) 2s+1 0.5 s→>-2 s(S+2)+5) K3 lim(s+5)F(s)=lim (5/2s+1 0.6 s→)-5 s(S+2)+5 F(s 0.10.5-0.6 S 5+2 5+5 f()=0.1+0.5e-27-0.6e-5 2021年2月8日星期一
2021年2月8日星期一 20 P352 例14-6求 F(s) = 的原函数。 s 3 +7s 2 +10s 2s +1 解：s 3+7s 2 +10s=0的根分别为：p1=0, p2=-2, p3=-5 用Ki = lim (s-pi )F(s) 确定系数。 s→pi K1= lim sF(s) s→0 s→0 s 3 +7s 2 +10s 2s+1 = lim s = 0.1 K2= lim(s+2)F(s) s→-2 s→-2 =lim (s+2) 2s+1 s(s+2)(s+5) = 0.5 K3= lim(s+5)F(s) s→-5 s→-5 =lim (s+5) 2s+1 s(s+2)(s+5) = -0.6 f(t) = 0.1+ 0.5e-2t - 0.6e-5t F(s) = s 0.1 + s+2 0.5 + s+5 -0.6