2,微分性质 若C[f(=F(s),则C[f'()=sF(s)-f0 证:C[f'(O) dft) dt d() Fs f()des=-0)+ 推论:CDfm)=yF(s)y-(0)-y2=f(0)-…fm(0) 特别,当f(0)=f(0)=…=f(m-(0)=0时 则有C[f'()]=sF(s)…,C[(O=sf(s) 该性质可将f(.微分方程化为F(s)的代数方程, 是分析线性电路(系统)的得力工具。 2021年2月8日星期一
2021年2月8日星期一 11 2. 微分性质 若 ℒ [ f(t)]=F(s)，则 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)-f(0- ) 证：ℒ [ f '(t)] = 0- ∞df(t) dt e -st dt = 0- ∞ e -st df(t) = e -st f(t) 0- ∞ - 0- ∞ f(t) de-st = -f(0- )+ s 0- ∞ f(t) e -st dt F(s) 推论：ℒ [ f (n) (t)]=s nF(s)-s n-1 f(0- )-s n-2 f '(0- )- -f (n-1)(0- ) 特别，当 f(0- ) = f '(0- ) = =f (n-1)(0- )= 0 时 则有 ℒ [ f ' (t)] = sF(s)，，ℒ [f (n) (t)] = s nF(s) 该性质可将f (t)的微分方程化为F(s)的代数方程， 是分析线性电路(系统)的得力工具
P347例143用微分性质求cos(oa和8(的象 函数。 dsin(ot da(t) 0 cos( a dt dt at 利用微分性质和已知结果: CE()=1/s LIcos(at)=L dsin(ot) ②/0 sin(O d() Lo0=L 2021年2月8日星期一 12
2021年2月8日星期一 12 P347 例14-3 用微分性质求cos(wt)和d(t)的象 函数。 解： dt dsin(wt) =w cos(wt) 利用微分性质和已知结果： = d(t) dt de(t) ℒ [sin(wt)] = ℒ [e(t)] = 1/s， s 2+w2 w ℒ [cos(wt)]=ℒ w 1 dt dsin(wt) = w 1 s s 2+w2 w - sin(0- ) ℒ [cos(wt)] = s 2+w2 s ℒ [d(t)] =ℒ dt de(t) = s ( s 1 - 0) = 1
3,积分性质 则有g(t=f(),且g(0)=0 若C[f()=F(s) 由微分性质 C区g(D)]=C[g()}-8(0) Jc f(o da sLIg(t)l 证:设g(0)卡f(0dr 推论:设Fs) 「重复应用积分性质可得n重积分的象函数 2021年2月8日星期一 13
2021年2月8日星期一 13 3. 积分性质 若 ℒ [ f(t)]=F(s) 则ℒ 0- t f (t) dt = s 1 F(s) 证：设 g(t) = 0- t f (t) dt 则有g'(t)= f (t)，且g(0)=0 由微分性质 ℒ [g'(t) ] = sℒ [g(t)]-g(0) = sℒ [g(t)] ℒ [g(t) ] = s 1 ℒ [g'(t) ] 推论：设 ℒ [ f(t)]=F(s) 则重复应用积分性质可得n重积分的象函数 ℒ 0- t dt 0- t dt ··· t 0- f (t) dt = s n 1 F(s)
P348例14-4,求4=t的象函数。 解:A0=d 利用积分性质 LatI 4.延迟性质 若C[()]=F(s),又长0时f()=0。 则对任一实数有:C[(t1)=eF(s) 5卷积性质 若f(O)、f2(1)在<0时为0,则f()和2(4)的卷积定义为 (+(O0(=5(9d5取拉氏变换有 2021年2月8日星期一 14
2021年2月8日星期一 14 解：f(t)= t = 0- t e(x) dx ℒ [t] = s 1 P348 例14-4，求 f(t)= t 的象函数。 利用积分性质 = s 2 1 ℒ [t n ] = s n+1 n! ℒ [e(x)] 4. 延迟性质 若 ℒ [f(t)]=F(s)，又t<0时 f(t)=0。 则 对任一实数t0有：ℒ [f(t-t0 )] = e -st0 F(s) 5. 卷积性质 若f1 (t)、f2 (t)在t<0时为0，则f1 (t)和f2 (t)的卷积定义为 [f1 (t)*f2 (t)= ℒ [f1 (t)*f2 (t)]=F1 (s)F2 (s) 0 t f1 (t-x )f2 (x)dx 取拉氏变换有
P349例145求矩形脉冲的象函数。 解:f()=A[(t)-8(t C[E() LLE(t-r) s er O L- A A e (1-e 5位移性质:C[ef(}=F(s *6.初值定理:(0)=[sF(s) 7终值定理:f(∞)sF(S)0 常用的拉氏变换表见教材P350之表14-1 2021年2月8日星期一 15
2021年2月8日星期一 15 P349例14-5 求矩形脉冲的象函数。 解：f(t) = A [e(t)-e(t-t)] *5.位移性质： ℒ [e at f(t)]=F(s-a) *6.初值定理： f(0)=[s F(s)]s →∞ *7.终值定理：f(∞)=[s F(s)]s→0 常用的拉氏变换表见教材P350之表14-1。 o t f (t) A t ℒ [e(t)] = s 1 ℒ [e(t-t)] = s 1 e -st ℒ [f(t)] = s A - s A e -st = s A (1- e -st )