二维非稳态晶体生长的理论分析与拉普拉斯逆变换法

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2001.03.021 第26卷第3期 北京科技大学学报 Vol.26 No.3 2004年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2004 二维非稳态晶体生长的理论分析与 拉普拉斯逆变换法 孙仁济”史英英”陈明文”王自东) 1)北京科技大学应用科学学院数学力学系，北京1000832)北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 摘要对定常速度下二维非稳态晶体生长的数学模型进行了分析，证明了解的唯一性，并 运用Laplace逆变换法对该定解问题进行求解，最后给出了一个具体的例子. 关键词金属凝固：晶体生长：偏微分方程：Laplace逆变换 分类号TG111.4:0781;0175.2 金属凝固过程主要是一个结晶过程，晶体首 1)解的惟一性.假设有两个函数C(x,z,), 先形成晶核，然后再逐渐长大.控制晶体生长的 C(,z,)满足上述定解问题，那么令(x,z,)= 浓度方程是一个较复杂的偏微分方程，多年来， C(x,z,)-C(x,z,),则4(x,z,)应满足定解问题 许多人对此过程进行了分析和计算.例如，王自 D(oiuoiu p股器器-品 东等人对控制单相合金凝固界面非线性动力学 u(x-1,2,1)=u(x+l,z,t) 方程的分析，徐鉴君用界面波方法对晶体生长 lim u(x,z,()=0 (2) 作了分析及探讨仰，最近孟凡梓，王凤英等人 考虑了二维及三维稳态的数学模型，并运用F0- x,0,t）=0 u(x,z,0)=0 iCr级数展开方法得到了精确解的形式.本文在 以下只需证明4(x,z,)=0. 他们的工作的基础上，利用Laplace逆变换这一 用(x,z,)乘以式(2)中第一式的两端，并在 特殊方法对非稳态二维晶体生长浓度控制方程 D-,×[0,z×[0,上积分，并注意到： 进行了分析与计算，得到了精确解的形式，并证 明了定解问题解的惟一性， ∬8idtd咖=w小∫ik= 登d小td=0, 1理论分析 ∬8dd=小小如t= 考虑定常速度下二维非稳态传质方程问题： 之∫dx,zi, a器g8g-% j"kdb=∫ar= C(x-I,z,t)=C(x+l,z,t) limC(x,z,()=0 (1) ∫jz0地， Cx,0,)=gx,） Dr驶2dd C(x,z,0)=f(x,z) DSff[(uu).-vi+(wu).-uijdxdzdr- 其中，C(x,乙，)为溶质的浓度：扩散系数D,速度分 量v,(<0)及周期2l均为常数：fx,z),g(x,t)是 -DJ+-u)dxdzdr+D∫，r(uau,kd 在x方向上以2！为周期的连续函数. -DfT(xrdrdr+是了arxa0a 则得到 收稿日期200307-31孙仁济男.58岁，牧授 +国家重大基础研究项目(No.G2000067206_1) 2(+)dxdzdr+dz.dx-

第 卷 第 期 年 ‘ 月 北 京 科 技 大 学 学 报 ” 一 ” 。 二维非稳态 晶体生长 的理论分析与 拉普拉斯逆变换法 孙 仁 济 ” 史英 英 ” 陈 明 文 ” 王 自东 ” 北 京科技大学应 用 科学 学 院数 学 力 学系 ， 北 京 北京 科技 大 学 材料科学 与工 程 学 院 ， 北 京 摘 要 对 定 常速度 下 二 维 非 稳 态 晶体 生 长 的 数 学 模型进 行 了分 析 ， 证 明 了解 的唯 一 性 ， 并 运 用 逆 变 换 法 对 该 定 解 问题 进 行求 解 ， 最 后 给 出 了 一 个具 体 的例 子 关键词 金 属 凝 固 晶体 生 长 偏 微 分 方 程 逆 变换 分 类号 金 属凝 固过 程 主 要 是 一 个 结 晶过 程 ， 晶体 首 先 形成 晶核 ， 然 后 再 逐渐 长 大 ‘，， 控 制 晶体 生 长 的 浓 度 方 程 是 一 个 较 复 杂 的偏 微 分 方 程 ， 多年 来 ， 许 多人 对 此 过 程 进 行 了分 析 和 计 算 例 如 ， 王 自 东 等 人 对 控 制 单 相 合 金 凝 固界 面 非 线 性 动 力 学 方 程 的分 析 仪，， 徐 鉴 君 用 界面 波 方 法 对 晶体 生 长 作 了分 析及 探 讨 ‘ ，， 最 近 孟 凡 梓 阵，， 王 凤 英 ‘ 等 人 考 虑 了二 维及 三 维 稳 态 的数 学模 型 ， 并运 用 如 级 数展 开 方法 得 到 了精确解 的形 式 本 文 在 他 们 的工 作 的基 础 上 ， 利 用 逆 变 换 这 一 特 殊 方 法 对 非 稳 态 二 维 晶 体 生 长 浓 度 控 制 方 程 进 行 了分 析 与 计 算 ， 得 到 了精 确 解 的形 式 ， 并证 明 了定解 问题 解 的惟 一 性 解 的惟 一 性 假 设 有 两 个 函 数 ， ， ， ， ， 满 足 上 述 定 解 问 题 ， 那 么 令 ， ， ， ， ， 一 ， ， ， 则 ， ， 应 满 足 定解 问题 己 刁 、 己 刁 刀 万开十百了 一 认币了 认飞万一 下 一 ， ， ， ， ， ， 以 ， ， ， ， 以下 只 需证 明 ， ， 二 用 ， ， 乘 以式 中第 一 式 的两 端 ， 并在 刀 别 【一 ，小【 ， ， 月上 积 分 ， 并注 意 到 理 论 分 析 考 虑 定 常 速 度 下 二 维 非 稳 态 传 质方 程 问题 「 己 、 刁 己 头戒汗杀戒二 一 、 沃二一 丫 ， 爪井 」 头井 “ 刁犷 ’ 才 “ ’ 己 一 一 试 ， ， 不 ， 其 中 ， ， ， 为溶 质 的浓度 扩 散系数 ， 速 度 分 量 铸 ， 姚 执 及 周 期 均 为 常 数 乳厂卜 ， 习 ， 加 ， 是 在 方 向上 以 为 周 期 的连 续 函数 认 攀需 “ 一丈“ 知 仆需 “ 普丈 买 ， ， 。 二户 一 。 ， 认 尽骼 一￡“ 知 知骼 “ 昔卫 矿， ， ， 尽乎 ‘ 一 工“ 丈“ 丈祭 告工 矿， ， ”， ” 。 尽硕器噜 盯〔 一 圣 卜试 一 肛 、 。 ， 、 买 一廖 、 十、 十 瓮￡“ 买 ， ， 犷 · 则 得 到 收稿 日期 一 一 孙仁 济 男 ， 岁 ， 教授 国家重大基础 研 究项 目 ‘ 琪 咖 暗伽分， ， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2004．03．021

·308 北京科技大学学报 2004年第3期 是arxz,0dr-音Cawox.,t 由limx,z,t)=0,知对廿ε>0,3M0,使得当z>M 在上式两端同乘e,然后关于z从0到积分， 时，有lx,z,Ve,则u(x,z,t<e.对上述e,M及 得： 任意给定的T,有： e20旷u+udrd+D∫，rtxz,tdrd= d∫rtxz,t0dr≤'d,ldx,z,de<2lTe. 故 ed∫rx,z0dc limd∫，rx,a,tdr=0. 由洛必达法则，有 im2j∬uc+)dxdzd+DJd∫rc,atd ie2旷(+)drdzdr+bd小，rxz,0d lim =lim(-小d∫rx,5t0d=0. 从而x,z,)=0,原问题的解是惟一的 下面求解A(z),B(z).由(7)得： 2)用Laplace逆变换法求解.设C(x,z,h),x,h) -w4合-俨4. 分别为C(x,z,t),gx,t)的关于t的Laplace原函数， B,=_ (10) nitv 作对定解问题山)的Laplace逆变换，则器的原 1 代入式(8)并整理得： 函数为-hCx,乙，h),其中h20.原定解问题(1)的第 “式至第四式变换为： 42w+28-2匹+2[务-匹+ 4器股-器 +hC=0 {[务匹+}a.=0 (11) C(x-l,z,h)=C(x+l,z,h) 其特征方程为： (3) limC(x,z,h)=0 42w4*28-2俨门P+2(俨r C(x,0,h)=g(x,h) {-俨月-0 视h为常数，由于Cx,a,h)是以2！为周期的函数， 将它化为的一元二次方程得： 可设 Cx.))Acos+B.()sin +2rr*-匹+ 2 (4) 将式(4)代入(3)中的第一式得 +2r格+名-盯2 其判别式为： 2iD4-v4othdo+D4.-vA+h-D. a4r+B俨-4rp*2r2-匹 y俨8，cos"T+pB.-va+h-D俨B.+ 7俨A小sin"T=0. [务匹川四}=-4 (5) 得到与文献[4]类似的结果. =-六，则有： 设山=长， 由式(12)解得： ditvdst d0 (6) 13 2r8la =-- Ai+8-俨A.+"B.=0 π (7) (13) Bw8+8-俨}B-A.0,l.2 (8) 若r为实数，则式(12)为实系数方程，△<0，解y不 由式(6)可求得： 为实数，与=心∈R矛盾，故r为复数，设r= A(z)= a+bi,n=1,2,…代入式(13)得： cne号，-+ce告泳，0≤hKD之 -a8T W= a.t God2e元h-0 a+bi n etio√合8-cm/合侣月9 俨a a+bi (14) p 因为为实数，所以有：

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 备知分 ， ， 一 告买嵘 ， ， 别 在 上 式 两 端 同乘 一 分 ， 然 后 关 于 从 。 到 睿积 分 ， 得 介 一 伞毋 咭伽工 ， ， 山 一 分 工 ， ， ’ ， ， ， ， 山 ， ， 一 ， 知 对 。 ， 日几介 ， 使 得 当 对 时 ， 有 ， ， 在 ， 则 时 ， ， 守 对 上 述 ， 及 任 意给 定 的 ， 有 工 了 ， ， ， ， ，、 、 工 万 ， ， ’ ， ， ， ‘几 故 峡买 工声 之 ， ， 一 。 由洛 必 达 法 则 ， 有 吻 攀 去上由 户 ， ， 叫 卿 价 一 乖肋 告伽工 ， ， 。 旦 一 分 一 吻 一 会丈 ‘了 ， ’ ， 氛‘ 一 从 而 ， ， 三 ， 原 问题 的解 是惟 一 的 用 逆 变换 法 求解 设亡 ， ， ， 加 ， 分 别 为 ， ， ， 以 ， 的关 于 的 原 函数 ， ， 一 ‘ 、 。 。 、 ， 、 上 ， ， ， 、一 一 、 ‘ 、 二 ， 一 作 对 定解 问题 ‘ 的 “ 逆 变 换 ‘， 则 嚣 的原 函数 为 一 硕飞 ， ， ，其 中 之 原 定解 问题 的第 一 式至 第 四式 变 换 为 下 面 求 解 任 ， 及行 由 得 兀 、 一 。 一 刃 。 一 卜几不 一 、 一 。 。 上少 气 万 。 － 梁 代 入 式 并整 理 得 刁亡 日刃、 百 乙 ， 二 专共 头 共 一 杀井 一 认 头生汗 二 “ 分 ’ 刁了 “ “ 己 ’ “ 勺 一 亡 一 ， ， 刃 ， ， 刃 ， ， 二 乙 ， ， 酬 工， 视 为常数 ， 由于亡伙 ， ， 是 以 为周 期 的 函数 ， 可 设 。 ·， ·卜 塑 主卜 · · 一华、 · 。 ‘ ·华 将 式 代 入 中 的第 一 式得 翻 ‘一 咧 。 〕 到 二一 。 一 擎 ， 。 一 “ ’ 产 ‘ ‘ 一 ‘ 二 一 ‘ ” ’ 护 一 月 ” 一 工 、 了鄂斗 华 搜 。 黔叠 一 小 一 华卜 ，黔 刃 「小 粤 一 华丫 ， 研粤 一 华 “ 少 气 」 更少 气 」议 会 一 华 ’ ’· 鹦 ’ 一 ‘，‘， 其特 征 方 程 为 ·‘ 一尸· 诱· 会 一 半 ’ 尸 一 音 一 华 」 会 一 华 」 ’ 华 ’ 一 “ 将 它 化 为 的一 元 二 次 方程 得 尸小 八会 一 川」 。 · 一 、 合 一 华 ’ ’ · 会 一 华 ’ ’ · 鹦 ’ 一 ， ， 其 判 别 式 为 ‘ 一 尸 八合 一 呼丫 一 尸 ’ 尸 合 一 畔争 告 一 华 黔 一 尸 华丁 · 一 、 几 认 认 。 一 仅 “ ， 一万 ， ， 一万 ， 则 月 ’ 声、矛、 ， 诚 ”‘，尹 伽 。 一 “ ， 。 ·月 。 音 一 华 ’」 ， · 华 一 得 到 与文 献 〕类 似 的结 果 由式 解 得 。 兀 、 ， 厅 一 川 厂 孟 一 ‘ 笼二 士 、 △ 气 ’ 兀 一 兀 飞 － 一 一 ， 卜气二 甘士 二二 母二 乙 ， 闷 戈 少 斌 刃 。 「妻 一 华 ’ 。 。 一 嘿 上， ，一。 ， 。 一 ， ， … 气 由式 可 求 得 幼 若 为实数 ， 为 实数 ， 与 则 式 为实 系数 方 程 ， △ ， 一 普 矛盾 ， 工 产 故 为 复数 ， 解 不 设 一 一 争瓣 一 专禹， 日 。 。 ， ， ， … 一 · 万 代 入 式 得 华 ’ … 士” · 鹦 ‘若 。 丢 ，一争 ， ” 一 普 ’ 一 扮 · 。一浩二解 二 。 产 层二阁愁 ， ， 三 三 一 。 十 ， 厂 兀 、 兀 ， 、 里互土互 …主塑二立 一 。 试 民 。 、 答 ， 又 乙 因 为 为实 数 ， 所 以有

Vol.26 No.3 孙仁济等：二维非稳态晶体生长的理论分析与拉普拉斯逆变换法 ·309· 其中， aa= a +bi din=- (15) 孟-a+8-受jk+ (2a.b.+vb)c. 6=0 a+bi dn=- {a-wae+-（俨t 或 a8俨- (2a.b.+vb.)cw a.=Vy +b始 (16) (2dnbxv.b.)ewj. b,=0 a+bi d-{-wat+8-受水 先对式(15)进行讨论，经过仔细分析得： (aab.+vsb.)cm 4=2 √-+8俨 (17) 由具体计算知： a√-+号 (18) h-=0, an-bitvsan+D1) h 记受俨=4，式a5)的解为： 及 dia-bitvsaa+D a.- 而 a-罗--l 2πV, 2 NRV: 2awa器1. 1πV, 6= di=com din =-Cu ds=-Cim,dan=C2n. 2 V B,(z)=(ce-cue)cosb.z+-ce+cze)sinb.z(24) 同样，对式(16)分析可得式(17)，以及 在以上解的过程中将h视为了常数，实际 a.=-0√-+6俨-是 上，上述系数可能与h有关，一般情况下为h的 函数.则定解问题(3)的解可表示为： (19) 式(16)的解为： x )(z/cosB.(.)sin 2 (25) 其中，A(z,h),A.(z,h),B(z,h)分别由式(9)，(23)及(24) nπV, 确定， 6,② m 将x,h,f八x,z)展开成为关于x的傅里叶级 数： 以上四组解为方程(11)的四个特征值，设 gh小+cos"+g（hsin"座， a-2 (20) 2 )coin +2 2 d-2 A+,A+ (21) 代入式(3)中第四式及第五式有： nvi go(h)=Au(0,h) (22) g(h)=A.(0,h) g(h)=B.(0,h) 根据(l)中的第三式条件知，a:及ae须小于0.由 If (z)=S"Az,h)dh 式20及2)知，a<0恒成立：当0俨川+) i(2)=A.(z,h)dh 时，ae<0也成立.那么，A(z)的解可表示为 (2)=S"B.(z,h)dh A(z)=(cue+Cze)cosbz+ce+ce)sinbz (23) 再将函数x,z),gx,)的表达式代入可解出相应 其中cm为任意常数，i=【,2,3,4.将其代入式(10)， 的系数，这样得到C(x,,h)的具体形式.最后对 得到B(z)的解的表达式： 其作关于h的Laplace变换就可以得到原定解问 B.(z)=(de+de)cosbz+(die+de)sinbz. 题的解

心 孙 仁 济 等 二 维 非稳 态 晶体生 长 的理 论 分 析 与拉 普 拉 斯 逆 变换法 一 一 口月 兀 、 ， ， 兀 ， 、 万 一 丁 十口· 犷了 ‘ 试 己 一 口。 ， 「 兀 、 了 兀 ，飞 全匡三垃卫卫三丝三卫 。 口丈十 优 「 兀 丫 二 几 、 、 一 · 万 一 了 一 口· 刃 试 三 口， ， 兀 、 飞 兀 、 · 万 一 万一 一 · 一万 试 拭 。 、口‘‘ 、，吸 先 对 式 进 行 讨 论 ， 经 过 仔 细 分 析 得 · 一 丫箫 一 ” “哈 一 图 ’ ‘ ， 珊 一 骊〔 丽噜兀平卜黔 一 晋 ‘’ ‘， 记 晋 刹 ’ 一 音 一 “ ， 式 “ ” 的解 为 。 一 争咨丫不不骊 兀 、 厄 万一 口。 土 七厂 厂一 一一 六兰 钾丝 里七牛抢 ‘ 丫 、 梁 ‘ 同样 ， 对 式 分 析 可 得 式 ， 以及 月 一 鄂几雁密又德可平下一鄂 式 的解 为 。 一兮 不 乎户 十户千平 刀兀 一 ‘乎户 十 厂谕 其 中 ， 、 ，， 一揣 ‘ 一 ，·。 一啥 一 例 ’ 一 ， 。 ， · 。 ， 一 ， 、 。 一揣 · 一 。 一谙 一 华 ’ 一 ” · 。 ” ·，。 · ， 比 ， 一孟 、 一 ·。 一啥 一 华丁一 一 ” 汁一“ ·，。 · ， 一孟 、 一 浩 一 二。 ， · 。 ， 一 。 · 刹下 由具 体 计 算 知 。 一 。 · ·， ， 音 一 半 ’ 一 ， 及 ‘ 一 。 、 浩 一 刹 ’ 一 · 而 斋 ·。 一 斋 一 器 一 兮 。 〕 一 ‘ ， 斋 一 斋 鄂 一 兮二扫 · 故 ，。 。 ， 跳 ， 二 一 自 。 ， 跳 ， 一 ， ， 峨 。 。 。 。 “ · ’ 一 。 氏杯 尹 一 、。 几 ，’ 。 鳅 君 在 以 上 解 的过 程 中 将 视 为 了 常 数 ， 实 际 上 ， 上 述 系 数 可 能 与 有 关 ， 一 般 情 况 下 为 的 函 数 则 定解 问题 的解 可 表 示 为 。 ， 。 卜搜掣 叠卜 · 。 ， 、 。 。 华 · ， ” ‘·华 其 中 ， 。份 ， 月 伪 ， ，凡份 ， 分 别 由式 ， 及 确 定 将 酬沐 ， 飞不习 展 开 成 为 关 于 的 傅 里 叶 级 数 以上 四组 解 为方 程 的 四个 特 征值 ， 设 巧 沙 山“ 一 了一 为 澳婴 丛笋 畏 ， ， 、 狱 一 ， ， 、 · ” 几沈 么 ，· 、 下厂十 、 ， 万一 ， · 一 华 十关 。 课 · 阵冲 ﹄ 田同艺 口。 二 一 叮兀 冬 刀兀 代 入 式 中第 四 式 及 第 五 式有 ， 、声 、 内，，‘ 九“乙 ，户 月兀 瓦一 卑 一又二一节 ‘ 丫 “ 十 尹 呼 ‘ 。 二 。 岛 二 。 根据 中 的第三 式 条件 知 ， 氏 及氏 须 小 于 由 式 ，及 ‘” 口 ， 一 ” 恒 成 立 当” 刹 ’ ‘借 时 ， 也 成 立 那 么 ， 禹 的解 可 表 示 为 仕 ·’ 。 氏声 尹 。 几 ，斗。 。 “ ·杯 房 其 中 。 为任 意 常 数 ， ， ， ， 将 其 代入 式 ， 得 到 的解 的表 达 式 。 ， 几 ·‘ ， 勺 声 眺 ， 风 ’艺 “ 必 声 。 一 的 ， 。 ， 。 一 犷“ 众 ， 一 犷 ， ” 再 将 函 数厂丈戈， ， 蜘 ， 的 表 达 式代 入 可 解 出相 应 的系 数 ， 这 样 得 到 刃仕 ， ， 的具 体 形 式 最 后 对 其 作 关于 的 变 换 就 可 以得 到 原 定解 问 题 的解

·310 北京科技大学学报 2004年第3期 2算例 由前面惟一性的证明知，这就是我们要求的 惟一解. +89-8器-8% Cx-元，z,)=Cx+r,z,) 3结束语 limc(x,z,()=0 本文认真地分析和研究了定常速度下二维 C(x,0,t)=e-cosx 非稳态晶体生长的数学模型，证明了其解的惟 C(x,z,0)=e"cos(bz+x) 性，并运用Laplace逆变换方法对定解问题进行 其中， 求解.对于Laplace逆变换方法加以初步的分析 q=- 与探讨，从最后给出的具体例子可以看出该方法 的应用是成功的 受+1-+1-+ 致谢本文的部分内容与北京师范人学周美珂教授及 易知l=元，Fl,g(h)=h-1),f,(z)=e"cosbz,f(z= 原地质刊矿产部北京计算中心蔡宗熹教授进行了有益的 -esinbz,,其余各项均为0.所以只需确定c,i= 讨论，在此表示衷心的感谢， 1,2,3,4,方程如下： 参考文献 C+cz1=h-1) C1一C4-0 1胡汉起.金属凝固原理[M.北京：机械工业出版社， 2000 [(cne+ce)cosbz+(cec)sinb zh= 2王自东，周永利，常国威，等.控制单相合金凝固界 e"cosbz 面形态非线性动力学方程..中国科学(E),1999 f[(cne-cae)cosb z+(-cne+ce)sinbzldh= E291):1 -esinbz 3 Xu J J.Interface Wave Theory of Pattern Formation [M]. 解得c1=h-1),c2=0,c1=0,c4=0. Berlin:Springer,,1997 C(x,z,h)=6(h-1)e(cosbz cosx-sinbz sinx)= 4孟凡梓.品体生长模式中摄动方法的应用[D北京 科技大学，2002 o(h-1)ecos(bz+x). 5王凤英，陈明文，孙仁济，等.三维稳态晶体生长的 从而得到原定解问题的解 物理本质[J].北京科技大学学报，2003,25(3)：230 C(x,z,)=f"eM(h-1)e"cos(bz+x)dh= 6拉甫伦捷夫MA,沙巴特BA,复变函数论方法（下 e "cos(bz+x) 册)[M.北京：高等教育出版社，I957 Crystal Growth Analysis in Two-dimensional Instable State Problem and Laplace Inverse Transformation Method SUN Renji",SHI Yingying",CHEN Mingwen",WANG Zidong 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 00083.China 2)Materials Science and Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT By using Laplace inverse transformation method,a two-dimensional time-dependent partial differ- ential equation for crystal growth is analyzed and the solution is obtained.The uniqueness of the solution is proved. An example is presented. KEY WORDS metal solidification;crystal growth;partial differential equation;Laplace inverse transformation

一 · 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 算例 由前 面 惟 一 性 的证 明知 ， 这 就 是我 们 要 求 的 惟 一 解 己 日 、 刁 刁 刀 子答干 头于 一 叭头兰一 ， 杀井二共子 几 口 犷 ’ 分 一 大一 兀， ， 工饥 ， ， ， ， ， ， 二 一七 ， ， ‘ 石艺十戈 其 中 ， 。 一晋 。 一 旗乙 、 、 ， 、 ， 、 ， 。 了 十 ‘ 一 万 十 丫 创 十 ‘ 一 万 十巧 易 知 ， ， ，， 占 一 ，厂 ， “ 加抓 ， 一 “ ， 其 余各 项 均 为 所 以只 需确 定 ， ， ， ， ， 方 程 如 下 ，，长、 ，二 咨 一 一 “ ‘ 〔 ， 一 一 ·… 。 一 、 丈 ‘ 一 一 一 · 汗 一 ‘ 解 得 一 ，，二 占 一 ， ， ， 、 二 ， 故 刃 ， ， 二 占 一 “ 一 武 一 ‘ 从 而 得 到 原 定解 问题 的解 ， ， 一 ‘ 一 ‘ 咨 一 。 一 ’‘ 结 束语 本 文 认 真 地 分 析 和 研 究 了定 常 速 度 下 二 维 非稳 态 晶体生长 的数 学模 型 ， 证 明 了其解 的惟 一 性 ， 并运 用 逆 变 换 方 法 对 定解 问题 进 行 求解 对 于 逆 变 换 方 法 加 以初 步 的分析 与探 讨 ， 从 最后 给 出的具体例 子 可 以看 出该方法 的应 用 是 成 功 的 致 谢 本文 的 部 分 内容 与北 京 师 范 大学 周 美坷 教授及 原地 质 矿 产 部 北 京计 算 中心 蔡宗熹教授 进 行 了有 益 的 讨 论 ， 在 此 表 示 衷 心 的感 谢 参 考 文 献 胡汉 起 金 属 凝 固原理 北 京 机械 工 业 出版 社 ， 王 自东 ， 周 永利 ， 常 国威 ， 等 控 制单 相 合 金 凝 固界 面 形 态 非 线 性 动 力 学 方 程 中 国科 学 ， ， 白 ， ， 孟 凡 梓 晶体 生 长 模式 中摄 动 方法 的应 用 北 京 科 技 大 学 ， 王 凤 英 ， 陈 明文 ， 孙 仁 济 ， 等 三 维稳 态 晶体 生 长 的 物 理 本质 北 京科 技大 学学报 ， ， 拉 甫伦 捷 夫 ， 沙 巴 特 复变 函 数论 方 法 卜 册 〔 」北 京 高等 教育 出版 社 ， 沈 一 竹 ，〕 凡“ 了万” 邵 声 。 ， 刀 万 ’ ， 洲刀 罗 ， ， ， 沁 ， 罗 ， 嗯 ， 阶 ， 一 一