26 第3章应变理论 dn dr+dyd 3.2) dw=肥dr+器4y+架d 可见，变形状态由位移的偏导数所决定，即取决于 Ou Ou ax dy d 血 3.3) 在上述表达式中，下标中的逗号表示求导。“，称为相对位移张量，它是一 个二阶张量，一般是非对称的。任何张量都可以唯一地分解成一个对称张量和 一个反对称张量之和，从而，可以分解为 4=2u+4）+24j-4.）=+时 3.4) 可以证明（见本节刚体位移部分），上式中的反对称张量表示微元的刚体转 动，称为转动张量，在小变形情况下的应变分析中可以不考虑。上式中的对称张 量则为纯变形部分，称为应变张量，即 Er Ery Er eg=(ui+u.= 3.5) Ear Esy Ex 此式称为几何方程，它表明了应变和位移之间的关系，其展开式为 =迦+u 2tn-Yn-dr 3.6) 2a=-0+ 下面的分析将表明，ez为x轴方向的正应变（图3.2a):y为y面内的剪应变 (图3.2b),其余类推
ｄｕ＝ｕ ｘｄｘ＋ｕ ｙ ｄｙ＋ｕ ｚｄｚ ｄｖ＝ｖ ｘｄｘ＋ｖ ｙ ｄｙ＋ｖ ｚｄｚ ｄｗ＝ｗ ｘｄｘ＋ｗ ｙ ｄｙ＋ｗ ｚｄ 烍 烌 ｚ烎 （３２） 可见，变形状态由位移的偏导数所决定，即取决于 ｕｉ，ｊ＝ ｕ ｘ ｕ ｙ ｕ ｚ ｖ ｘ ｖ ｙ ｖ ｚ ｗ ｘ ｗ ｙ ｗ 烄 烆 烌 ｚ烎 （３３） 在上述表达式中，下标中的逗号表示求导。ｕｉ，ｊ称为相对位移张量，它是一 个二阶张量，一般是非对称的。任何张量都可以唯一地分解成一个对称张量和 一个反对称张量之和，从而ｕｉ，ｊ可以分解为 ｕｉ，ｊ＝１ ２ （ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）＋１ ２ （ｕｉ，ｊ－ｕｊ，ｉ）＝εｉｊ＋ωｉｊ （３４） 可以证明（见本节刚体位移部分），上式中的反对称张量ωｉｊ表示微元的刚体转 动，称为转动张量，在小变形情况下的应变分析中可以不考虑。上式中的对称张 量εｉｊ则为纯变形部分，称为应变张量，即 εｉｊ＝１ ２ （ｕｉ，ｊ＋ｕｊ，ｉ）＝ εｘ εｘｙ εｘｚ εｙｘ εｙ εｙｚ εｚｘ εｚｙ ε 烄 烆 烌 ｚ烎 （３５） 此式称为几何方程，它表明了应变和位移之间的关系，其展开式为 εｘ＝ｕ ｘ， ２εｘｙ＝γｘｙ＝ｖ ｘ＋ｕ ｙ εｙ＝ｖ ｙ， ２εｙｚ＝γｙｚ＝ｗ ｙ ＋ｖ ｚ εｚ＝ｗ ｚ， ２εｚｘ＝γｚｘ＝ｕ ｚ＋ｗ 烍 烌 ｘ烎 （３６） 下面的分析将表明，εｘ 为ｘ轴方向的正应变（图３２ａ）；γｘｙ为ｘｙ面内的剪应变 （图３２ｂ），其余类推。 ６２ 第３章 应 变 理 论
3.1位移与应变 27 a)正应变 剪应变 图3.2应变图 3.1.2应变概念 物体的变形场可能很复杂，但是就其中微元体来讲，形状要素就是长度和角 度，纯变形无非是长度和角度的改变（图3.2）。 为了研究微分六面体的变形，最简单的分析方法是将六面体的各面投影到 直角坐标系的各个坐标平面上，研究这些平面的投影的变形，并根据这些投影的 变形规律来判断整个平行六面体的变形。由于变形很微小，故可以认为两个平 行面在坐标面上的投影只相差高阶的微量，因 43 而两个平行面的投影可以合并为一个投影面。 现在我们来考察微元体在y坐标面上的 投影面，图3.3所示为其两个线元及变形情况。 点P(x,y)及其附近的两个点A(x+dx,y) 和B(x,y+dy)变形后分别成为点P,A和B, 其坐标变化如下 图3.3位移图 P(x,y)-→p(x+u,y+) A+dr,一l+d+u+d,y+o+ 3.7) By+dw)-一B(+u+影dy,y+dw+o+器4w) 考虑线元PA的相对变化，即 pi-p4√ar+厂+ar-d PA dx √++密-1器- 3.8) 从式3.8)可知，e,的几何意义为x方向上线元的相对伸长，称为x方向的正应
图３２ 应变图 ３１２ 应变概念 物体的变形场可能很复杂，但是就其中微元体来讲，形状要素就是长度和角 度，纯变形无非是长度和角度的改变（图３２）。 为了研究微分六面体的变形，最简单的分析方法是将六面体的各面投影到 直角坐标系的各个坐标平面上，研究这些平面的投影的变形，并根据这些投影的 变形规律来判断整个平行六面体的变形。由于变形很微小，故可以认为两个平 图３３ 位移图 行面在坐标面上的投影只相差高阶的微量，因 而两个平行面的投影可以合并为一个投影面。 现在我们来考察微元体在ｘｙ坐标面上的 投影面，图３３所示为其两个线元及变形情况。 点Ｐ（ｘ，ｙ）及其附近的两个点 Ａ（ｘ＋ｄｘ，ｙ） 和Ｂ（ｘ，ｙ＋ｄｙ）变形后分别成为点珚Ｐ，珚Ａ 和珚Ｂ， 其坐标变化如下 Ｐ（ｘ，ｙ） →珚Ｐ（ｘ＋ｕ，ｙ＋ｖ） Ａ（ｘ＋ｄｘ，ｙ） →珚Ａ ｘ＋ｄｘ＋ｕ＋ｕ ｘｄｘ，ｙ＋ｖ＋ｖ ｘ （ ） ｄｘ Ｂ（ｘ，ｙ＋ｄｙ） →珚Ｂ ｘ＋ｕ＋ｕ ｙ ｄｙ，ｙ＋ｄｙ＋ｖ＋ｖ ｙ （ ） ｄ 烍 烌 ｙ 烎 （３７） 考虑线元ＰＡ 的相对变化，即 珚Ｐ珚Ａ－ＰＡ ＰＡ ＝ ｄｘ＋ｕ ｘ （ ） ｄｘ ２ ＋ ｖ ｘ 槡 （ ） ｄｘ ２ －ｄｘ ｄｘ ＝ １＋ｕ （ ） ｘ ２ ＋ ｖ 槡 （ ） ｘ ２ －１≈ｕ ｘ＝εｘ （３８） 从式（３８）可知，εｘ 的几何意义为ｘ方向上线元的相对伸长，称为ｘ方向的正应 ３１ 位移与应变 ７２
28 第3章应变理论 变。同理，e,和e,分别为y方向和：方向上线元的相对伸长，即y方向和：方 向的正应变。正应变以伸长时为正，缩短时为负，从而与正应力的正负号规定相 适应。 再来考虑∠APB的变化。对于图3.3中所示的角a和B,有 A tanB=- 3.9) d+u山r 当变形微小时，a和B也很小，因而有 a+ama+mp=2+器=Xa (3.10) 可见，Y的几何意义是y面内直角的改变，称为剪应变。类似地，Y:和Yx分 别是？和x面内直角的改变。规定剪应变以直角变小时为正，变大时为负，从 而与剪应力的正负号规定相适应。 可以证明，对于物体内任意一点，如果已知eye,a,X,Y。这6个应 变分量，就可以求得经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经过该点的任意 两相互垂直线段之间的角度改变。因此，这6个应变分量可以完全确定该点的 形变状态。 3.1.3协调方程 根据连续性假设，物体变形后仍保持其连续性。在数学上，要求位移函数是 空间坐标的单值连续函数，否则变形后就会出现裂缝或重叠。当对6个独立的 应变分量任意给定6个函数时，就有可能出现这种变形不协调的现象。因此，各 应变分量之间必须满足一定的关系。从数学上看，如果给出应变分量求位移，则 需积分几何方程。这样的方程有6个，但只有3个位移分量：如果没有附加条件 的话，一般地说是不可积的，即应变不能与一组连续的位移相适应，变形将不协 调。 首先研究同一平面内应变分量之间的关系。将几何方程中x对y的二阶 导数与e,对x的二阶导数相加，可得 此式即式3.11a)中的第一式。类似地，可得出3.11a)中的其他两式
变。同理，εｙ和εｚ分别为ｙ方向和ｚ方向上线元的相对伸长，即ｙ方向和ｚ方 向的正应变。正应变以伸长时为正，缩短时为负，从而与正应力的正负号规定相 适应。 再来考虑∠ＡＰＢ 的变化。对于图３３中所示的角α和β，有 ｔａｎα＝ ｖ ｘｄｘ ｄｘ＋ｕ ｘｄｘ ≈ｖ ｘ， ｔａｎβ＝ ｕ ｙ ｄｙ ｄｙ＋ｖ ｙ ｄｙ ≈ｕ ｙ （３９） 当变形微小时，α和β也很小，因而有 α＋β≈ｔａｎα＋ｔａｎβ＝ｖ ｘ＋ｕ ｙ＝γｘｙ （３１０） 可见，γｘｙ的几何意义是ｘｙ面内直角的改变，称为剪应变。类似地，γｙｚ和γｚｘ分 别是ｙｚ和ｚｘ面内直角的改变。规定剪应变以直角变小时为正，变大时为负，从 而与剪应力的正负号规定相适应。 可以证明，对于物体内任意一点，如果已知εｘ，εｙ，εｚ，γｘｙ，γｙｚ，γｚｘ这６个应 变分量，就可以求得经过该点的任一线段的正应变，也可以求得经过该点的任意 两相互垂直线段之间的角度改变。因此，这６个应变分量可以完全确定该点的 形变状态。 ３１３ 协调方程 根据连续性假设，物体变形后仍保持其连续性。在数学上，要求位移函数是 空间坐标的单值连续函数，否则变形后就会出现裂缝或重叠。当对６个独立的 应变分量任意给定６个函数时，就有可能出现这种变形不协调的现象。因此，各 应变分量之间必须满足一定的关系。从数学上看，如果给出应变分量求位移，则 需积分几何方程。这样的方程有６个，但只有３个位移分量；如果没有附加条件 的话，一般地说是不可积的，即应变不能与一组连续的位移相适应，变形将不协 调。 首先研究同一平面内应变分量之间的关系。将几何方程中εｘ 对ｙ的二阶 导数与εｙ对ｘ的二阶导数相加，可得 ２εｘ ｙ２ ＋ ２εｙ ｘ２ ＝ ３ｕ ｘｙ２＋ ３ｖ ｙｘ２＝ ２ ｘｙ ｕ ｙ ＋ｖ （ ） ｘ ＝２γｘｙ ｘｙ 此式即式（３１１ａ）中的第一式。类似地，可得出（３１１ａ）中的其他两式。 ８２ 第３章 应 变 理 论
3.1位移与应变 29 ardy 3.11a) 股+-品 为了弄清不同平面内应变分量之间的关系，对几何方程中的剪应变公式作 如下求导运算 a2u.∂2u ro (8 品.器器 (b) 副器+器 (c) 为消去u,o,做运算)+(c-(a)得 警+--器 (d) dr 为消去，式(d)对z求导 是竖+-0)-2品）-器 此即式3.11b)的第三式，同理可得其他两式。 是（歌++）》 2 02e. ay 20-y 3.11b) 式3.11)称为变形协调方程。事实上，这6个协调方程并不独立，它们之间还存 在高阶的微分关系，最后独立的方程只有3个。 可以证明，满足协调方程就能保证位移可积，即保证位移分量存在。如果物 体是单连体（即在物体所占据的区域中任何闭合曲线都可以借助不断变形而收 缩到一点)，则满足协调方程还能保证位移单值：而对于多连体（即在物体所占区 域中能够找到某个不能够收缩到一点的封闭曲线)，要保证变形后的物体仍然连
２εｘ ｙ２ ＋ ２εｙ ｘ２ ＝２γｘｙ ｘｙ ２εｙ ｚ２ ＋ ２εｚ ｙ２ ＝２γｙｚ ｙｚ ２εｚ ｘ２ ＋ ２εｘ ｚ２ ＝２γｚｘ ｚ 烍 烌 ｘ烎 （３１１ａ） 为了弄清不同平面内应变分量之间的关系，对几何方程中的剪应变公式作 如下求导运算 ｚ γｘｙ＝２ｖ ｘｚ＋２ｕ ｙｚ （ａ） ｚ γｙｚ＝２ｗ ｘｙ ＋２ｖ ｘｚ （ｂ） ｙ γｚｘ＝２ｕ ｙｚ＋２ｗ ｘｙ （ｃ） 为消去ｕ，ｖ，做运算（ｂ）＋（ｃ）－（ａ）得 γｙｚ ｘ ＋γｚｘ ｙ －γｘｙ ｚ ＝２２ｗ ｘｙ （ｄ） 为消去 ｗ，式（ｄ）对ｚ求导 ｚ γｙｚ ｘ ＋γｚｘ ｙ －γｘｙ （ ） ｚ ＝２ ２ ｘｙ ｗ（ ） ｚ ＝２２εｚ ｘｙ 此即式（３１１ｂ）的第三式，同理可得其他两式。 ２２εｘ ｙｚ＝ ｘ －γｙｚ ｘ ＋γｚｘ ｙ ＋γｘｙ （ ） ｚ ２２εｙ ｚｘ＝ ｙ －γｚｘ ｙ ＋γｘｙ ｚ ＋γｙｚ （ ） ｘ ２２εｚ ｘｙ＝ ｚ －γｘｙ ｚ ＋γｙｚ ｘ ＋γｚｘ （ ） 烍 烌 ｙ 烎 （３１１ｂ） 式（３１１）称为变形协调方程。事实上，这６个协调方程并不独立，它们之间还存 在高阶的微分关系，最后独立的方程只有３个。 可以证明，满足协调方程就能保证位移可积，即保证位移分量存在。如果物 体是单连体（即在物体所占据的区域中任何闭合曲线都可以借助不断变形而收 缩到一点），则满足协调方程还能保证位移单值；而对于多连体（即在物体所占区 域中能够找到某个不能够收缩到一点的封闭曲线），要保证变形后的物体仍然连 ３１ 位移与应变 ９２
30 第3章应变理论 续，还要求满足位移单值条件（文献28）。 3.1.4刚体位移 物体内应变分量均为零时的位移为刚体位移。令全部应变分量等于零，不 难推得 u=wy-wy+uo V=wx-w2+00 3.12) w=wry-wyt wo 其中，w,v,w,u0,0,0为常数。可见，为了完全确定位移场，必须有6个适 当的约束条件来确定上式中的6个待定常数。 当r,仙，@，均为零时，各点的位移分量均为40,0,00，故它们表示物体 的刚体平移：而，一仙：表示刚体转角。为说明这一点，可考虑刚体平移以及 wx,ω，均为零的情况。此时，位移发生在xy坐标平面内。根据式3.12)，位移 分量为 u=-@y, V=ωx 3.13) 该位移之和的大小为 s=√u2+元2=√w2(x2+y2)=w (3.14) p(z.y) 这显然是物体绕？轴逆时针转动形成的，转角为 仙.（图3.4）。同理可知，r,仙，分别为物体绕 x,y轴转动的转角。由式6.4)可知，反对称张量 w,为 图3.4刚体转动 0 兴-〉能-架)儿 1 ou Ou 0 3.15) 0 将式3.12)所代表的刚体位移场代入上式，得 0 0 (3.16) 、一y 0
续，还要求满足位移单值条件（文献２８）。 ３１４ 刚体位移 物体内应变分量均为零时的位移为刚体位移。令全部应变分量等于零，不 难推得 ｕ＝ωｙｚ－ωｚｙ＋ｕ０ ｖ＝ωｚｘ－ωｘｚ＋ｖ０ ｗ＝ωｘｙ－ωｙｘ＋ｗ 烍 烌 ０烎 （３１２） 其中，ωｘ，ωｙ，ωｚ，ｕ０，ｖ０，ｗ０为常数。可见，为了完全确定位移场，必须有６个适 当的约束条件来确定上式中的６个待定常数。 当ωｘ，ωｙ，ωｚ，均为零时，各点的位移分量均为ｕ０，ｖ０，ｗ０，故它们表示物体 的刚体平移；而ωｘ，ωｙ，ωｚ表示刚体转角。为说明这一点，可考虑刚体平移以及 ωｘ，ωｙ均为零的情况。此时，位移发生在ｘｙ坐标平面内。根据式（３１２），位移 分量为 ｕ＝－ωｚｙ， ｖ＝ωｚｘ （３１３） 该位移之和的大小为 图３４ 刚体转动 ｓ＝槡ｕ２＋ｖ２＝ ω２ ｚ （ｘ２＋ｙ 槡 ２）＝ωｚｒ （３１４） 这显然是物体绕ｚ轴逆时针转动形成的，转角为 ωｚ （图３４）。同理可知，ωｘ，ωｙ 分别为物体绕 ｘ，ｙ轴转动的转角。由式（３４）可知，反对称张量 ωｉｊ为 ωｉｊ＝ ０ １ ２ ｕ ｙ－ｖ （ ） ｘ １ ２ ｕ ｚ－ｗ （ ） ｘ １ ２ ｖ ｘ－ｕ （ ） ｙ ０ １ ２ ｖ ｚ－ｗ （ ） ｙ １ ２ ｗ ｘ－ｕ （ ） ｚ １ ２ ｗ ｙ－ｖ （ ） ｚ 烄 烆 烌 ０ 烎 （３１５） 将式（３１２）所代表的刚体位移场代入上式，得 ωｉｊ＝ ０ －ωｚ ωｙ ωｚ ０ －ωｘ －ωｙ ωｘ 烄 烆 烌 ０ 烎 （３１６） ０３ 第３章 应 变 理 论