2.3应力分析 21 或 0)=6mò+s 2.23) 其中，σm6,为球应力张量，相对应的应力状态通常称为静水应力状态；s动为偏应 力张量，简称应力偏量，表示为 Ox-Om Txy Tn 5s=txoy一0mTg 2.24) tay 0x-om) 也是一种可能单独存在的应力状态，故它也有自己的不变量。可以类似 应力张量那样求得s的不变量，即 J1=5i=51+s2+s3=0 2.25) J3=s=51s253 很显然，由于应力偏量5与应力张量防只差一个静水应力状态，故其主方向与 的主方向重合，且主值为 51=01-0m’52=02-0m’53=03-0m 2.26) 不难发现，I1,J2,J3与11,12，I3是相互确定的，故I1,J2,J3也是一组独立 的应力不变量，弹塑性力学中更为关注的正是这一组不变量。I1表示平均应力 或静水应力，J2反映剪应力的大小，J3表示剪应力的方向。其中J2最为常用， 下面是J2的一些不同表达式 2=6[a,-a,2+,-a,2+a-a,P+66++)] =6[a1-022+2-032+a3-a12] 2.27) 德国学者Lode1928)引入下述参数 ,= 202-01-03 2.28) 01-03 来反映应力状态的特征，例如 〔1单向压缩 0纯剪 2.29) -1单向拉伸
或 σｉｊ＝σｍδｉｊ＋ｓｉｊ （２２３） 其中，σｍδｉｊ为球应力张量，相对应的应力状态通常称为静水应力状态；ｓｉｊ为偏应 力张量，简称应力偏量，表示为 ｓｉｊ＝ σｘ－σｍ τｘｙ τｘｚ τｙｘ σｙ－σｍ τｙｚ τｚｘ τｚｙ σｚ－σ 烄 烆 烌 ｍ烎 （２２４） ｓｉｊ也是一种可能单独存在的应力状态，故它也有自己的不变量。可以类似 应力张量σｉｊ那样求得ｓｉｊ的不变量，即 Ｊ１＝ｓｉｉ＝ｓ１＋ｓ２＋ｓ３＝０ Ｊ２＝－１ ２ （ｓｉｉｓｊｊ－ｓｉｊｓｉｊ）＝１ ２ｓｉｊｓｉｊ＝－ｓ１ｓ２－ｓ２ｓ３－ｓ３ｓ１ Ｊ３＝｜ｓｉｊ｜＝ｓ１ｓ２ｓ 烍 烌 ３ 烎 （２２５） 很显然，由于应力偏量ｓｉｊ与应力张量σｉｊ只差一个静水应力状态，故其主方向与 σｉｊ的主方向重合，且主值为 ｓ１＝σ１－σｍ， ｓ２＝σ２－σｍ， ｓ３＝σ３－σｍ （２２６） 不难发现，Ｉ１，Ｊ２，Ｊ３与Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３是相互确定的，故Ｉ１，Ｊ２，Ｊ３ 也是一组独立 的应力不变量，弹塑性力学中更为关注的正是这一组不变量。Ｉ１表示平均应力 或静水应力，Ｊ２反映剪应力的大小，Ｊ３ 表示剪应力的方向。其中Ｊ２ 最为常用， 下面是Ｊ２的一些不同表达式 Ｊ２＝１ ６ （σｘ－σｙ）２＋（σｙ－σｚ）２＋（σｚ－σｘ）２＋６（τ２ ｘｙ＋τ２ ｙｚ＋τ２ ［ ］ ｚｘ） ＝１ ６［ ］ （σ１－σ２）２＋（σ２－σ３）２＋（σ３－σ１）２ （２２７） 德国学者Ｌｏｄｅ（１９２８）引入下述参数 μσ＝２σ２－σ１－σ３ σ１－σ３ （２２８） 来反映应力状态的特征，例如 μσ＝ １ 单向压缩 ０ 纯剪 －１ 烅 烄 烆 单向拉伸 （２２９） ２３ 应 力 分 析 １２
22 第2章应力理论 4,称为Lode参数。不难验证，在原有应力状态上叠加一静水应力om,,不变。 可见以，是反映应力偏量特征的参数。 2.3.8等效应力 在塑性理论中将用到等效应力或应力强度G的概念。G定义如下 -方√受 =方/，-02+0，-2+，-0,2+6+装+百 2.30) 在单向拉伸条件下，o1=G,2=G3=0,代入上式得G=。可见，在某种意 义上，采用等效应力就将原来的复杂应力状态化为具有相同“效应”的单向拉伸 应力状态。不过，等效应力只是为了应用方便而引入的一个量，并不表示作用在 某个面上的应力。 等效剪应力或剪应力强度T定义如下 T=万.=6/G-g2+a+,-2=√5.30 在纯剪条件下，o1=x,o2=0,o3=-t,于是得T=t。可见，在某种意义上，采 用等效剪应力就将原来的复杂应力状态化为具有相同“效应”的纯剪应力状态。 2.3.9应力张量的坐标变换 现考虑旧坐标系ox1x2x3与新坐标系Qx1x2x3下应力分量间的关系。新 轴x的单位基矢量用e,来表示，它在旧坐标系中的分解式为 em=Bm'iei,B'i=cos (m,i)=em"ei 2.32) 注意到应力张量是不变量，故 Gmnemen-Gieej 上式左边点积e、右边点积e,得 omn-Giem"eej"en 将式2.32)代入上式，可得新坐标系下的应力分量 Omn-Bm'iBnOu 2.33) 这就是应力张量的坐标变换公式。若用L;,m,:表示新坐标轴x在旧坐标系
μσ称为Ｌｏｄｅ参数。不难验证，在原有应力状态上叠加一静水应力σｍ，μσ不变。 可见μσ是反映应力偏量特征的参数。 ２３８ 等效应力 在塑性理论中将用到等效应力或应力强度珋σ的概念。σ珔定义如下 珋σ＝ ３槡Ｊ２＝３ 槡２ τ８＝ ３ ２槡ｓｉｊｓｉｊ ＝１ 槡２ （σｘ－σｙ）２＋（σｙ－σｚ）２＋（σｚ－σｘ）２＋６（τ２ ｘｙ＋τ２ ｙｚ＋τ２ 槡 ｚｘ） ＝１ 槡２槡（σ１－σ２）２＋（σ２－σ３）２＋（σ３－σ１）２ （２３０） 在单向拉伸条件下，σ１＝σ，σ２＝σ３＝０，代入上式得珋σ＝σ。可见，在某种意 义上，采用等效应力就将原来的复杂应力状态化为具有相同“效应”的单向拉伸 应力状态。不过，等效应力只是为了应用方便而引入的一个量，并不表示作用在 某个面上的应力。 等效剪应力或剪应力强度Ｔ 定义如下 Ｔ＝槡Ｊ２＝１ 槡６槡（σ１－σ２）２＋（σ２－σ３）２＋（σ３－σ１）２＝ １ ２槡ｓｉｊｓｉｊ （２３１） 在纯剪条件下，σ１＝τ，σ２＝０，σ３＝－τ，于是得 Ｔ＝τ。可见，在某种意义上，采 用等效剪应力就将原来的复杂应力状态化为具有相同“效应”的纯剪应力状态。 ２３９ 应力张量的坐标变换 现考虑旧坐标系ｏｘ１ｘ２ｘ３与新坐标系ｏｘ′１ｘ′２ｘ′３下应力分量间的关系。新 轴ｘ′ｍ的单位基矢量用ｅ′ｍ来表示，它在旧坐标系中的分解式为 ｅ′ｍ＝βｍ′ｉｅｉ， βｍ′ｉ＝ｃｏｓ（ｘ′ｍ，ｘｉ）＝ｅ′ｍ·ｅｉ （２３２） 注意到应力张量是不变量，故 σ′ｍｎｅ′ｍｅ′ｎ＝σｉｊｅｉｅｊ 上式左边点积ｅ′ｍ、右边点积ｅ′ｎ，得 σ′ｍｎ＝σｉｊｅ′ｍ·ｅｉｅｊ ·ｅ′ｎ 将式（２３２）代入上式，可得新坐标系下的应力分量σ′ｍｎ σ′ｍｎ＝βｍ′ｉβｎ′ｊσｉｊ （２３３） 这就是应力张量的坐标变换公式。若用ｌｉ，ｍｉ，ｎｉ表示新坐标轴ｘ′ｉ在旧坐标系 ２２ 第２章 应 力 理 论
2.3应力分析 23 中的方向余弦，并组成方向余弦矩阵 [BuBu Bns fl m n B=B21B22B23 =l2m22 2.34) L931B2P33 Ll3 m3 n3 则式2.33)可写成如下矩阵形式 G'=BaB 2.35) 容易证明方向余弦矩阵与其转置矩阵之积为单位矩阵，即 BBT=I 从而 B-1=BT 2.36) 例如，新坐标系为柱坐标系，它是一种常用 的曲线坐标系。曲线坐标系与直角坐标系的根 本区别在于曲线坐标系中单位基矢量的方向随 着考虑的点不同而变化。在柱坐标系中（图 2.7),物体内任一点P的位置用坐标r,0,z来 表示，它们与直角坐标的关系为 x=rcos0, y=rsine, 2=2.37) 柱坐标系的方向余弦矩阵为 图2.7柱坐标系 [lim11]「cos0sin007 B=12 m2 n2= sin0 cos 0 2.38) Ll3 m3 n3 01■ 代入式2.35)，经运算得 0o=orsin20+aycos20-2trysinecos0 2.39) o=(ay-a,)sindcos+try (cos 0-sin20) Tos=Ty cos0-Tarsine Tsr=Tsrcos0+Ty sind
中的方向余弦，并组成方向余弦矩阵 β＝ β１１ β１２ β１３ β２１ β２２ β２３ β３１ β３２ β 熿 燀 燄 ３３燅 ＝ ｌ１ ｍ１ ｎ１ ｌ２ ｍ２ ｎ２ ｌ３ ｍ３ ｎ 熿 燀 燄 ３燅 （２３４） 则式（２３３）可写成如下矩阵形式 σ′＝βσβＴ （２３５） 容易证明方向余弦矩阵与其转置矩阵之积为单位矩阵，即 ββＴ＝Ｉ 从而 β－１＝βＴ （２３６） 图２７ 柱坐标系 例如，新坐标系为柱坐标系，它是一种常用 的曲线坐标系。曲线坐标系与直角坐标系的根 本区别在于曲线坐标系中单位基矢量的方向随 着考虑的点不同而 变 化。在 柱 坐 标 系 中（图 ２７），物体内任一点Ｐ 的位置用坐标ｒ，θ，ｚ来 表示，它们与直角坐标的关系为 ｘ＝ｒｃｏｓθ， ｙ＝ｒｓｉｎθ， ｚ＝ｚ （２３７） 柱坐标系的方向余弦矩阵为 β＝ ｌ１ ｍ１ ｎ１ ｌ２ ｍ２ ｎ２ ｌ３ ｍ３ ｎ 熿 燀 燄 ３燅 ＝ ｃｏｓθ ｓｉｎθ ０ －ｓｉｎθ ｃｏｓθ ０ 熿 燀 燄 ０ ０ １燅 （２３８） 代入式（２３５），经运算得 σｒ＝σｘｃｏｓ２θ＋σｙｓｉｎ２θ＋２τｘｙｓｉｎθｃｏｓθ σθ＝σｘｓｉｎ２θ＋σｙｃｏｓ２θ－２τｘｙｓｉｎθｃｏｓθ σｚ＝σｚ τｒθ＝（σｙ－σｘ）ｓｉｎθｃｏｓθ＋τｘｙ （ｃｏｓ２θ－ｓｉｎ２θ） τθｚ＝τｙｚｃｏｓθ－τｚｘｓｉｎθ τｚｒ＝τｚｘｃｏｓθ＋τｙｚｓｉｎ 烍 烌 θ 烎 （２３９） ２３ 应 力 分 析 ３２
24 第2章应力理论 少 题 2.1何谓体力？何谓面力？它们的正负号是如何规定的？应力正负号是如何 规定的？为什么说防能代表一点的应力状态？ 2.2在本章讨论过程中，哪里用到了小变形假设？ 2.3物体中某点处于纯剪应力状态，即2=G,=G:=t=tr=0,t=t。试 求该点的主应力。 答案：01=x,02=0,03=-t0 2.4物体中某点的应力状态如下。试求八面体正应力和剪应力。 538) -303×105pa (8311 答案：os=5.333×105Pa,t8=8.653×10Pa。 2.5试推导式2.27)。（提示：用a,-0m0,-m0:-0m代替式么.16）中的 0x,0y,02）。 2.6试证明2 =5防 2.7物体中某点柱坐标应力分量为，00,0，r0,t,tr。试求直角坐标系中 的应力分量表达式。 2.8试写出下列情况的边界条件（方向取单位厚度）。 题2.8图
习 题 ２１ 何谓体力？何谓面力？它们的正负号是如何规定的？应力正负号是如何 规定的？为什么说σｉｊ能代表一点的应力状态？ ２２ 在本章讨论过程中，哪里用到了小变形假设？ ２３ 物体中某点处于纯剪应力状态，即σｘ＝σｙ＝σｚ＝τｙｚ＝τｚｘ＝０，τｘｙ＝τ。试 求该点的主应力。 答案：σ１＝τ，σ２＝０，σ３＝－τ。 ２４ 物体中某点的应力状态如下。试求八面体正应力和剪应力。 σｉｊ＝ ５ ３ ８ ３ ０ ３ 烄 烆 烌 ８ ３ １１烎 ×１０５Ｐａ 答案：σ８＝５３３３×１０５Ｐａ，τ８＝８６５３×１０５Ｐａ。 ２５ 试推导式（２２７）。（提示：用σｘ－σｍ，σｙ－σｍ，σｚ－σｍ 代替式（２１６）中的 σｘ，σｙ，σｚ）。 ２６ 试证明Ｊ２ σｉｊ ＝ｓｉｊ。 ２７ 物体中某点柱坐标应力分量为σｒ，σθ，σｚ，τｒθ，τθｚ，τｚｒ。试求直角坐标系中 的应力分量表达式。 ２８ 试写出下列情况的边界条件（ｚ方向取单位厚度）。 题２８图 ４２ 第２章 应 力 理 论
第3章 应变理论 在荷载作用下，物体各点的位置将发生变化即位移。如果位移后各点间相 对位置不变，则物体实际上只产生了刚体移动或转动，即刚体位移。如果位移改 变了各点间初始状态的相对位置，则物体就同时产生了形状变化即形变。 本章从几何角度分析物体的变形。首先推导几何方程，它所表达的是物体 内部应变分量与位移分量之间的关系：然后进行应变分析，推导主应变、八面体 剪应变、应变张量和应变偏量不变量的计算公式。 3.1位移与应变 物体内各点的位移矢量u可以用其沿x,y,之方向的分量u,,地来表示。 规定位移分量指向坐标轴正向时为正，反之为负。很显然，只要确定了物体内各 点的位移即位移场，物体的变形状态也就确定了。 P'(rldz.yldy,zdz) 首先让我们来推导几何方程。 3.1.1几何方程 P(ry,z) 任取一点P(x,y,:)及其相邻点P'(x+dx,: y+dy,之+dz)(图3.1)。如果P点的位移分量为 u,o,,则点P'的位移分量可按Taylor展开为 图3.1相邻两点 dedy+ddd o6c+dy+d,+dk)=)+器r+dw+架d: 3.1) w+dry+dys+d)dy+d 其中因假设小变形而略去了高阶微量。由此，两点之间的相对位移为
第 ３章 应变理论 在荷载作用下，物体各点的位置将发生变化即位移。如果位移后各点间相 对位置不变，则物体实际上只产生了刚体移动或转动，即刚体位移。如果位移改 变了各点间初始状态的相对位置，则物体就同时产生了形状变化即形变。 本章从几何角度分析物体的变形。首先推导几何方程，它所表达的是物体 内部应变分量与位移分量之间的关系；然后进行应变分析，推导主应变、八面体 剪应变、应变张量和应变偏量不变量的计算公式。 ３１ 位移与应变 物体内各点的位移矢量ｕ 可以用其沿ｘ，ｙ，ｚ方向的分量ｕ，ｖ，ｗ 来表示。 规定位移分量指向坐标轴正向时为正，反之为负。很显然，只要确定了物体内各 图３１ 相邻两点 点的位移即位移场，物体的变形状态也就确定了。 首先让我们来推导几何方程。 ３１１ 几何方程 任取一点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）及其相邻点Ｐ′（ｘ＋ｄｘ， ｙ＋ｄｙ，ｚ＋ｄｚ）（图３１）。如果Ｐ 点的位移分量为 ｕ，ｖ，ｗ，则点Ｐ′的位移分量可按Ｔａｙｌｏｒ展开为 ｕ（ｘ＋ｄｘ，ｙ＋ｄｙ，ｚ＋ｄｚ）＝ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｕ ｘｄｘ＋ｕ ｙ ｄｙ＋ｕ ｚｄｚ ｖ（ｘ＋ｄｘ，ｙ＋ｄｙ，ｚ＋ｄｚ）＝ｖ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｖ ｘｄｘ＋ｖ ｙ ｄｙ＋ｖ ｚｄｚ ｗ（ｘ＋ｄｘ，ｙ＋ｄｙ，ｚ＋ｄｚ）＝ｗ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｗ ｘｄｘ＋ｗ ｙ ｄｙ＋ｗ ｚｄ 烍 烌 ｚ烎 （３１） 其中因假设小变形而略去了高阶微量。由此，两点之间的相对位移为