3.2应变分析 31 可见，的元素为转角，故称为转动张量。 3.2应变分析 3.2.1主应变和应变不变量 对于任何一点总可以找到三个互相垂直的微分线段，物体变形后这些线段 只有伸缩而相互间的夹角保持直角不变，即微分线段组成的平面内没有剪应变。 与讨论应力状态时相似，剪应变为零的面称为主平 面，微分线段的相对伸长称为主应变，其方向即主平 面的法线方向称为主应变方向。 设图3.5中的平面ABC是主平面。过坐标原点 作ABC的垂线，交主平面于D点，OD为线元dr,它 沿x,y,之轴的投影分别为dx,dy,de。变形后D点 相对于原点的位移增量可表示为式(3.2)，其中的第 一式可改写为 图3.5线元 dr -d++）)dy+是+)d +-器)+0-) 上式中后两项与刚体转动有关，在小变形情况下分析应变时可忽略不计。这样， 上式及在另外两个方向上的位移增量可写为 du=e,dx +exrdy+eardz dv=exdx+eydy+esydz (a) dw=erdx +exdy+edz) 另一方面，由于线元dx的方向为主方向，故变形后线元只增加一个长度 du,而方向不变，因此主应变为 =出 且dr和du,在x,y,之轴上的投影成比例，从而有 6)
可见，ωｉｊ的元素为转角，故称为转动张量。 ３２ 应 变 分 析 ３２１ 主应变和应变不变量 对于任何一点总可以找到三个互相垂直的微分线段，物体变形后这些线段 只有伸缩而相互间的夹角保持直角不变，即微分线段组成的平面内没有剪应变。 图３５ 线元 与讨论应力状态时相似，剪应变为零的面称为主平 面，微分线段的相对伸长称为主应变，其方向即主平 面的法线方向称为主应变方向。 设图３５中的平面ＡＢＣ 是主平面。过坐标原点 作ＡＢＣ 的垂线，交主平面于Ｄ 点，ＯＤ 为线元ｄｒ，它 沿ｘ，ｙ，ｚ轴的投影分别为ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ。变形后 Ｄ 点 相对于原点的位移增量可表示为式（３２），其中的第 一式可改写为 ｄｕ＝ｕ ｘｄｘ＋ｕ ｙ ｄｙ＋ｕ ｚｄｚ ＝ｕ ｘｄｘ＋１ ２ ｕ ｙ ＋ｖ （ ） ｘ ｄｙ＋１ ２ ｕ ｚ＋ｗ （ ） ｘ ｄｚ ＋１ ２ ｕ ｙ－ｖ （ ） ｘ ｄｙ＋１ ２ ｕ ｚ－ｗ （ ） ｘ ｄｚ 上式中后两项与刚体转动有关，在小变形情况下分析应变时可忽略不计。这样， 上式及在另外两个方向上的位移增量可写为 ｄｕ＝εｘｄｘ＋εｙｘｄｙ＋εｚｘｄｚ ｄｖ＝εｘｙｄｘ＋εｙｄｙ＋εｚｙｄｚ ｄｗ＝εｘｚｄｘ＋εｙｚｄｙ＋εｚｄ 烍 烌 ｚ烎 （ａ） 另一方面，由于线元ｄｒ的方向为主方向，故变形后线元只增加一个长度 ｄｕｒ而方向不变，因此主应变为 ε＝ｄｕｒ ｄｒ 且ｄｒ和ｄｕｒ在ｘ，ｙ，ｚ轴上的投影成比例，从而有 ｄｕｒ ｄｒ＝ｄｕ ｄｘ＝ｄｖ ｄｙ＝ｄｗ ｄｚ＝ε （ｂ） ３２ 应 变 分 析 １３
32 第3章应变理论 于是 du=edx,dv=edy, dw=edz (c) 结合式a)和(c),可得 (Er-E)dz+Eyrdy+erdz=0 Endx+(Ey-E)dy+Esydz=0 3.17a) endr+esdy+e:-e)dz=0 上式中的各项同除以r,注意到主方向的方向余弦为1=当 则该式变为 (er-E)1+Exm+esn=0) el+ey-e）m+en=0 3.17b) Exl+Eym+(E:-E)n=0) 为使式3.17)中的方向余弦有非零解，其系数行列式必须为零，即 er-e Eyr Exy Ey-E Ezy =0 Ey E:-E 将此行列式展开后，可得 e3-Ie2-I2e-I3=0 3.18) 上述各式表明，主应变满足的方程与主应力的相似，其中，2,3分别称 为应变第一、第二、第三不变量，其表达式为 I1=Eii=Er+Ey+Ex I互=-7ee0-e球》=--：-Ex+e+e民+e品 3.19) I'3=l6gl-EEE+2EmExEr-ee3-exetr-6 求解方程3.18)得到三个主应变，记为e1,2,e3。以主应变表示的应变不变量为 I1=e1+e2+e3 I2=-e1e2+e2e3+e3e1） 3.20) I3=E1E263 3.2.2体积应变 现在考察微元体的体积变形，微元体的体积为dV=drdydz。可以证明
于是 ｄｕ＝εｄｘ， ｄｖ＝εｄｙ， ｄｗ＝εｄｚ （ｃ） 结合式（ａ）和（ｃ），可得 （εｘ－ε）ｄｘ＋εｙｘｄｙ＋εｚｘｄｚ＝０ εｘｙｄｘ＋（εｙ－ε）ｄｙ＋εｚｙｄｚ＝０ εｘｚｄｘ＋εｙｚｄｙ＋（εｚ－ε）ｄｚ 烍 烌 ＝０烎 （３１７ａ） 上式中的各项同除以ｄｒ，注意到主方向的方向余弦为ｌ＝ｄｘ ｄｒ，ｍ＝ｄｙ ｄｒ和ｎ＝ｄｚ ｄｒ， 则该式变为 （εｘ－ε）ｌ＋εｙｘｍ＋εｚｘｎ＝０ εｘｙｌ＋（εｙ－ε）ｍ＋εｚｙｎ＝０ εｘｚｌ＋εｙｚｍ＋（εｚ－ε）ｎ 烍 烌 ＝０烎 （３１７ｂ） 为使式（３１７）中的方向余弦有非零解，其系数行列式必须为零，即 εｘ－ε εｙｘ εｚｘ εｘｙ εｙ－ε εｚｙ εｘｚ εｙｚ εｚ－ε ＝０ 将此行列式展开后，可得 ε３－Ｉ′１ε２－Ｉ′２ε－Ｉ′３＝０ （３１８） 上述各式表明，主应变满足的方程与主应力的相似，其中Ｉ′１，Ｉ′２，Ｉ′３分别称 为应变第一、第二、第三不变量，其表达式为 Ｉ′１＝εｉｉ＝εｘ＋εｙ＋εｚ Ｉ′２＝－１ ２ （εｉｉεｊｊ－εｉｊεｉｊ）＝－εｘεｙ－εｙεｚ－εｚεｘ＋ε２ ｘｙ＋ε２ ｙｚ＋ε２ ｚｘ Ｉ′３＝｜εｉｊ｜＝εｘεｙεｚ＋２εｘｙεｙｚεｚｘ－εｘε２ ｙｚ－εｙε２ ｚｘ－εｚε２ ｘ 烍 烌 ｙ 烎 （３１９） 求解方程（３１８）得到三个主应变，记为ε１，ε２，ε３。以主应变表示的应变不变量为 Ｉ′１＝ε１＋ε２＋ε３ Ｉ′２＝－（ε１ε２＋ε２ε３＋ε３ε１） Ｉ′３＝ε１ε２ε 烍 烌 ３ 烎 （３２０） ３２２ 体积应变 现在考察微元体的体积变形，微元体的体积为ｄＶ＝ｄｘｄｙｄｚ。可以证明， ２３ 第３章 应 变 理 论
3.2应变分析 33 由剪切变形引起的体积改变是高阶微量，可以忽略不计。这样，微元体变形后的 体积将是dx1+e,)dy(+e,)·dx1+e,),体积应变即单位体积的改变为 9=4+e2dw4+ed:4+)-drdyds=6,+e,+e.6.2D dxdydz 其中略去了高阶微量e:E华，等。 3.2.3八面体应变 完全类似八面体应力分析，可得八面体剪应变Ys·也可以用：，公等代替 八面体剪应力公式中的，x等，得到⅓的计算公式，例如 =,-62+6-,2+6:-62+22+g+f石 =子Ve1-22+e2-e32+(e,-e1 3.22) 3.2.4应变张量的分解 与应力张量类似，应变张量也可以分解为球形应变张量em6,和应变偏量e 之和，即 Er Ery Er Em 0 0 Eyr Ey Ey= 0 Em y-Em Eys (00 Exy Ex-Em 或 Eg=Emoi+eu 3.23) 其中，Em=了(e1+e2+e3)=号为平均应变：应变偏量e写表示为 ex Em Ery Ers eg= Eyr Ey-Em Eys 3.24) Esy Es-Em 应变偏量也是一种可能单独存在的应变状态，故它也有自己的不变量。仿照式 3.19)可得 J1=ea=e1+e2+e3=0 J2=7ef%=-e1e2-e2e3-e3e1》 3.25) J3=leil=eieze3
由剪切变形引起的体积改变是高阶微量，可以忽略不计。这样，微元体变形后的 体积将是ｄｘ（１＋εｘ）·ｄｙ（１＋εｙ）·ｄｚ（１＋εｚ），体积应变即单位体积的改变为 θ＝ｄｘ（１＋εｘ）·ｄｙ（１＋εｙ）·ｄｚ（１＋εｚ）－ｄｘｄｙｄｚ ｄｘｄｙｄｚ ＝εｘ＋εｙ＋εｚ （３２１） 其中略去了高阶微量εｘεｙεｚ，εｘεｙ等。 ３２３ 八面体应变 完全类似八面体应力分析，可得八面体剪应变γ８。也可以用εｘ，γｘｙ ２ 等代替 八面体剪应力公式中的σｘ，τｘｙ等，得到γ８的计算公式，例如 γ８ ＝２ ３ （εｘ－εｙ）２＋（εｙ－εｚ）２＋（εｚ－εｘ）２＋３ ２ （γ２ ｘｙ＋γ２ ｙｚ＋γ２ 槡 ｚｘ） ＝２ ３槡（ε１－ε２）２＋（ε２－ε３）２＋（ε３－ε１）２ （３２２） ３２４ 应变张量的分解 与应力张量类似，应变张量也可以分解为球形应变张量εｍδｉｊ和应变偏量ｅｉｊ 之和，即 εｘ εｘｙ εｘｚ εｙｘ εｙ εｙｚ εｚｘ εｚｙ ε 烄 烆 烌 ｚ烎 ＝ εｍ ０ ０ ０ εｍ ０ ０ ０ ε 烄 烆 烌 ｍ烎 ＋ εｘ－εｍ εｘｙ εｘｚ εｙｘ εｙ－εｍ εｙｚ εｚｘ εｚｙ εｚ－ε 烄 烆 烌 ｍ烎 或 εｉｊ＝εｍδｉｊ＋ｅｉｊ （３２３） 其中，εｍ＝１ ３（ ） ε１＋ε２＋ε３ ＝θ ３为平均应变；应变偏量ｅｉｊ表示为 ｅｉｊ＝ εｘ－εｍ εｘｙ εｘｚ εｙｘ εｙ－εｍ εｙｚ εｚｘ εｚｙ εｚ－ε 烄 烆 烌 ｍ烎 （３２４） 应变偏量也是一种可能单独存在的应变状态，故它也有自己的不变量。仿照式 （３１９）可得 Ｊ′１＝ｅｉｉ＝ｅ１＋ｅ２＋ｅ３＝０ Ｊ′２＝１ ２ｅｉｊｅｉｊ＝－ｅ１ｅ２－ｅ２ｅ３－ｅ３ｅ１ Ｊ′３＝｜ｅｉｊ｜＝ｅ１ｅ２ｅ 烍 烌 ３ 烎 （３２５） ３２ 应 变 分 析 ３３
34 第3章应变理论 其中 e1=E1-Em e2=62-Em (3.26) e3=E3-Em 下面是J2的一些不同表达式 J=[e-6,2+,-e2+e-,2+2+及+2)] =右[e1-e2+e2-eg2+e3-12] 3.27) 3.2.5等效应变 等效应变或应变强度用E表示，定义如下 后-得/1g*g-+,可-√5 3.28) 在单向拉伸情况下，如果假定材料不可压缩，则e1=e,e2=e3=-号：代入上式 可得e=€。可见，在某种意义上，采用等效应变就将原来的复杂应变状态化为 具有相同“效应”的单向拉伸时的应变状态。 3.3应变率概念 设物体中P点处的运动速度在x,y,之轴的投影分别为a,,,则应变对 时间的变化率为 ,疆 2=w票+0 2=7-+器 3.29) 其中字母上的圆点“”表示该量关于时间t的变化率，例如对于，有 .-品鼎）器 对于金属等固体材料，在温度不高和变形缓慢时，其力学性质实际上与应变 率关系不大，可以忽略时间因素对塑性变形的影响。此时，人们主要关心的不是
其中 ｅ１＝ε１－εｍ ｅ２＝ε２－εｍ ｅ３＝ε３－ε 烍 烌 ｍ烎 （３２６） 下面是Ｊ′２的一些不同表达式 Ｊ′２＝１ ６ （εｘ－εｙ）２＋（εｙ－εｚ）２＋（εｚ－εｘ）２＋３ ２ （γ２ ｘｙ＋γ２ ｙｚ＋γ２ ［ ］ ｚｘ） ＝１ ６［ ］ （ε１－ε２）２＋（ε２－ε３）２＋（ε３－ε１）２ （３２７） ３２５ 等效应变 等效应变或应变强度用珋ε表示，定义如下 珋ε＝２ 槡３槡Ｊ′２＝槡２ ３槡（ε１－ε２）２＋（ε２－ε３）２＋（ε３－ε１）２＝ ２ ３槡ｅｉｊｅｉｊ （３２８） 在单向拉伸情况下，如果假定材料不可压缩，则ε１＝ε，ε２＝ε３＝－ε ２；代入上式 可得珋ε＝ε。可见，在某种意义上，采用等效应变就将原来的复杂应变状态化为 具有相同“效应”的单向拉伸时的应变状态。 ３３ 应变率概念 设物体中Ｐ 点处的运动速度在ｘ，ｙ，ｚ轴的投影分别为ｕ，ｖ，ｗ，则应变对 时间的变化率为 εｘ＝ｕ ｘ， ２εｘｙ＝γｘｙ＝ｖ ｘ＋ｕ ｙ εｙ＝ｖ ｙ， ２εｙｚ＝γｙｚ＝ｗ ｙ ＋ｖ ｚ εｚ＝ｗ ｚ， ２εｚｘ＝γｚｘ＝ｕ ｚ＋ｗ 烍 烌 ｘ烎 （３２９） 其中字母上的圆点“·”表示该量关于时间ｔ的变化率，例如对于εｘ 有 εｘ＝εｘ ｔ＝ ｔ ｕ（ ） ｘ ＝ｕ ｘ 对于金属等固体材料，在温度不高和变形缓慢时，其力学性质实际上与应变 率关系不大，可以忽略时间因素对塑性变形的影响。此时，人们主要关心的不是 ４３ 第３章 应 变 理 论
习题 35 应变率，而是应变增量edt,记作de,(注意：这里的de,不是应变分量的微分， 因为其中的，是按瞬时位置计算的，而微分则是按初始位置计算的)。在分析 塑性变形的过程时，时间度量的绝对值没有影响，可任意取一个单调变化的量作 为时间参数，以代表荷载或变形的先后次序。因此，在塑性力学中，应变增量和 应变率常混合使用而不加区别。 应变增量张量也可以分解为球张量和偏张量，并可定义等效应变增量 (或应变增量强度)如下 dc-号/[de1-dc2+de2-de32+de,-deT可-√号dc,de,3.30） 习题 3.1正应变和剪应变是如何定义的？它们的正负号是如何规定的？应变分析 与应力分析有哪些异同？ 3.2证明对于平面问题（应变与：坐标无关），如果选取函数er=0,y=0和 Yx=Cxy(显然它们不能满足协调方程)，那么由下述几何方程中的任何 两个求出的位移分量，将与第三个几何方程不能协调即出现矛盾 Er=Or' 3.3判断下述命题是否正确，并简短说明理由： ①)若物体内一点的位移，0,0均为零，则该点必有应变e,=6,=E,=0。 ②)在x为常数的直线上，若u=0,则沿该线必有cx=0。 3)在y为常数的直线上，若u=0,则沿该线必有ex=0。 答案：(1)错，2)错，3)对。 3.4已知某物体的位移场为 u=(6x2+15)×10-2, 0=82)×10-2，=32-2.y)×10-2 试求点P(1,3,4)的应变分量。 「120-3 答案：e)=03211×10-2。 -31124J 3.5已知下列应变分量是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系。 ez=A0+A1(x2+y2)+x4+y) ey=B0+B1x2+y2)+x4+y4 Ye=Co+Cizy(2++C2 e:=Yer=Yx=0
应变率，而是应变增量εｉｊｄｔ，记作ｄεｉｊ （注意：这里的ｄεｉｊ不是应变分量的微分， 因为其中的εｉｊ是按瞬时位置计算的，而微分则是按初始位置计算的）。在分析 塑性变形的过程时，时间度量的绝对值没有影响，可任意取一个单调变化的量作 为时间参数，以代表荷载或变形的先后次序。因此，在塑性力学中，应变增量和 应变率常混合使用而不加区别。 应变增量张量也可以分解为球张量和偏张量，并可定义等效应变增量ｄ珋ε （或应变增量强度）如下 ｄ珋ε＝槡２ ３槡［（ｄε１－ｄε２）２＋（ｄε２－ｄε３）２＋（ｄε３－ｄε１）２］＝ ２ ３槡ｄｅｉｊｄｅｉｊ （３３０） 习 题 ３１ 正应变和剪应变是如何定义的？它们的正负号是如何规定的？应变分析 与应力分析有哪些异同？ ３２ 证明对于平面问题（应变与ｚ坐标无关），如果选取函数εｘ＝０，εｙ＝０和 γｘｙ＝Ｃｘｙ（显然它们不能满足协调方程），那么由下述几何方程中的任何 两个求出的位移分量，将与第三个几何方程不能协调即出现矛盾 εｘ＝ｕ ｘ， εｙ＝ｖ ｙ， γｘｙ＝ｕ ｙ ＋ｖ ｘ ３３ 判断下述命题是否正确，并简短说明理由： （１）若物体内一点的位移ｕ，ｖ，ｗ 均为零，则该点必有应变εｘ＝εｙ＝εｚ＝０。 （２）在ｘ为常数的直线上，若ｕ＝０，则沿该线必有εｘ＝０。 （３）在ｙ为常数的直线上，若ｕ＝０，则沿该线必有εｘ＝０。 答案：（１）错，（２）错，（３）对。 ３４ 已知某物体的位移场为 ｕ＝（６ｘ２＋１５）×１０－２， ｖ＝（８ｙｚ）×１０－２， ｗ＝（３ｚ２－２ｘｙ）×１０－２ 试求点Ｐ（１，３，４）的应变分量。 答案：εｉｊ＝ １２ ０ －３ ０ ３２ １１ 烄 烆 烌 －３ １１ ２４烎 ×１０－２。 ３５ 已知下列应变分量是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系。 εｘ＝Ａ０＋Ａ１ （ｘ２＋ｙ２）＋ｘ４＋ｙ４ εｙ＝Ｂ０＋Ｂ１ （ｘ２＋ｙ２）＋ｘ４＋ｙ４ γｘｙ＝Ｃ０＋Ｃ１ｘｙ（ｘ２＋ｙ２＋Ｃ２） εｚ＝γｚｘ＝γｙｚ 烍 烌 ＝０ 烎 习 题 ５３