16 第2章应力理论 力方向称为主方向或主轴。以n表示主平面的外法线方向单位矢量，。表示主 应力，则该面上的应力矢量为t)=m。此外，主平面（作为斜截面）上的应力矢 量与应力张量之间服从斜截面应力公式2.8a),即1m)=n·σ。于是，有 nG=Gn或n=o 2.13a) 8 n;（0分-σò)=0 2.13b) 其展开式为 lGx-o）+mrg+nrx=0] l红w+ma,-o)+nrg=0 2.13c) lt+miy+n (a:-a)=0) 其中，8，为克氏符号(Kronecker delta),定义为 1 i=j 前=0≠j δ，能起换标作用，即如果©，的两个指标中有一个和同项中其他因子的指标相 重，则可以把该因子的那个重指标替换成6，的另一个指标，而6：自动消失。 由于 n;=1或12+m2+n2=1 2.14) 故1，m,n不可能同时为零，于是齐次方程组2.13c)的系数行列式应为零 0:-0 Tyr Ta ay-a tey=0 展开为 o3-I1g2-I2o-13=0 2.15) 该式称为应力张量的特征方程，主应力。称为应力张量的特征值，各系数为 I1=0i=6x+0y+0.=⊙ 2=-2o0功-00）=-ay-0,a:-a0x+r++: 2.16) 1=j=6,9.+2 Eayfytar-drt-0,r品-：r 其中，日=G,+G,+a:称为体积应力
力方向称为主方向或主轴。以ｎ表示主平面的外法线方向单位矢量，σ表示主 应力，则该面上的应力矢量为ｔ （ｎ） ＝σｎ。此外，主平面（作为斜截面）上的应力矢 量与应力张量之间服从斜截面应力公式（２８ａ），即ｔ （ｎ） ＝ｎ·σ。于是，有 ｎ·σ＝σｎ 或 ｎｉσｉｊ＝σｎｊ （２１３ａ） 即 ｎｉ （σｉｊ－σδｉｊ）＝０ （２１３ｂ） 其展开式为 ｌ（σｘ－σ）＋ｍτｙｘ＋ｎτｚｘ＝０ ｌτｘｙ＋ｍ（σｙ－σ）＋ｎτｚｙ＝０ ｌτｘｚ＋ｍτｙｚ＋ｎ（σｚ－σ） 烍 烌 ＝０烎 （２１３ｃ） 其中，δｉｊ为克氏符号（Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒｄｅｌｔａ），定义为 δｉｊ＝ １ ｉ＝ｊ ｛０ ｉ≠ｊ δｉｊ能起换标作用，即如果δｉｊ的两个指标中有一个和同项中其他因子的指标相 重，则可以把该因子的那个重指标替换成δｉｊ的另一个指标，而δｉｊ自动消失。 由于 ｎｉｎｉ＝１ 或 ｌ２＋ｍ２＋ｎ２＝１ （２１４） 故ｌ，ｍ，ｎ不可能同时为零，于是齐次方程组（２１３ｃ）的系数行列式应为零 σｘ－σ τｙｘ τｚｘ τｘｙ σｙ－σ τｚｙ τｘｚ τｙｚ σｚ－σ ＝０ 展开为 σ３－Ｉ１σ２－Ｉ２σ－Ｉ３＝０ （２１５） 该式称为应力张量的特征方程，主应力σ称为应力张量的特征值，各系数为 Ｉ１＝σｉｉ＝σｘ＋σｙ＋σｚ＝Θ Ｉ２＝－１ ２ （σｉｉσｊｊ－σｉｊσｉｊ）＝－σｘσｙ－σｙσｚ－σｚσｘ＋τ２ ｘｙ＋τ２ ｙｚ＋τ２ ｚｘ Ｉ３＝｜σｉｊ｜＝σｘσｙσｚ＋２τｘｙτｙｚτｚｘ－σｘτ２ ｙｚ－σｙτ２ ｚｘ－σｚτ２ ｘ 烍 烌 ｙ 烎 （２１６） 其中，Θ＝σｘ＋σｙ＋σｚ称为体积应力。 ６１ 第２章 应 力 理 论
2.3应力分析 17 方程2.15)是。的三次方程，其三个根即为三个主应力，其相应的三组方 向余弦对应于三组主平面。由于主应力的大小与坐标系选择无关，故1，I2,13 也必与坐标系选择无关，分别称之为第一、第二、第三应力不变量。求解式 2.15)得3个主应力，记为o1,2,3,于是该方程可写成 (g-G1)(G-g2)(G-o3)=0 将上式展开并与式2.15)对照，可得以主应力表示的应力不变量 L1=01+02+3 I2=-（G102+6203+G301 2.17) 【3=010203 2.3.3主方向的求解 为了求得主方向，例如o1方向的方向余弦l1,m1,n1,可将o1代入式 2.13c)的任何两个方程，例如第一、第二式 l (ax-a1)+mt+nt=0 11tg+1y-o1)+n1xg=0 上式各项均除以1得 +7+,-=0 ，-a+。+w=0 711 由此可解得m1么11么1。于是，根据式2.14)有 1 l1= √1+(m1L)2+(n1) 同理可求得其他两个应力主轴的方向余弦。 2.3.4主应力的性质 ①)主应力的极值性 以主应力o1,2,o3轴为坐标轴的几何空间称 为主应力空间（图2.4）。在主应力空间，根据式 2.11),斜截面上的正应力用主应力表示为 6=01l2+62m2+03n2 (a) 图2.4主应力空间 中的四面体
方程（２１５）是σ的三次方程，其三个根即为三个主应力，其相应的三组方 向余弦对应于三组主平面。由于主应力的大小与坐标系选择无关，故Ｉ１，Ｉ２，Ｉ３ 也必与坐标系选择无关，分别称之为第一、第二、第三应力不变量。求解式 （２１５）得３个主应力，记为σ１，σ２，σ３，于是该方程可写成 （σ－σ１）（σ－σ２）（σ－σ３）＝０ 将上式展开并与式（２１５）对照，可得以主应力表示的应力不变量 Ｉ１＝σ１＋σ２＋σ３ Ｉ２＝－（σ１σ２＋σ２σ３＋σ３σ１） Ｉ３＝σ１σ２σ 烍 烌 ３ 烎 （２１７） ２３３ 主方向的求解 为了求得主方向，例如σ１ 方向的方向余弦ｌ１，ｍ１，ｎ１，可将σ１ 代入式 （２１３ｃ）的任何两个方程，例如第一、第二式 ｌ１ （σｘ－σ１）＋ｍ１τｙｘ＋ｎ１τｚｘ＝０ ｌ１τｘｙ＋ｍ１ （σｙ－σ１）＋ｎ１τｚｙ 烍 烌 ＝０烎 上式各项均除以ｌ１得 ｍ１ ｌ１ τｙｘ＋ｎ１ ｌ１ τｚｘ＋（σｘ－σ１）＝０ ｍ１ ｌ１ （σｙ－σ１）＋ｎ１ ｌ１ τｚｙ＋τｘｙ 烍 烌 烎 ＝０ 由此可解得 ｍ１／ｌ１，ｎ１／ｌ１。于是，根据式（２１４）有 图２４ 主应力空间 中的四面体 ｌ１＝ １ 槡１＋（ｍ１／ｌ１）２＋（ｎ１／ｌ１）２ 同理可求得其他两个应力主轴的方向余弦。 ２３４ 主应力的性质 （１）主应力的极值性 以主应力σ１，σ２，σ３ 轴为坐标轴的几何空间称 为主应力 空 间（图 ２４）。在 主 应 力 空 间，根 据 式 （２１１），斜截面上的正应力用主应力表示为 σ＝σ１ｌ２＋σ２ｍ２＋σ３ｎ２ （ａ） ２３ 应 力 分 析 ７１
18 第2章应力理论 根据式2.14)，上式可写成 0=G1-(G1-o2)m2-(a1-g3)n2 6) 学 =(1-03)l2+(o2-3)m2+3 (c) 如果o1≥o2≥G3,则从式b)知o≤o1:从式(C)知g≥o3。可见，大小主应力分 别为正应力的极大值和极小值。 2)主平面的正交性 考虑任意两个不同的主应力o,,相应的主方向分别为，n,则 n·g=o】 (d) nl6=ain) 式)中的两式分别点乘n,n,然后相减得 ,o"nl-no·n=(ok-o)nn 注意到应力张量的对称性，上式左边为零，从而得到两个主方向正交的条件，即 n·n2=0 可见，若3个主应力互不相等，则3个主方向必定相互正交。 若%=1=o,则根据式d),对于任意常数a和b有 (ank+bn!)=G (ank bn!) 可见，和所在平面内的任何方向都是主方向，故可在该平面内任选2个相 互正交的方向作为主方向。不难证明，若3个主应力相等，则空间任意3个相互 正交的方向都可作为主方向。 ③)主应力的实数性 应力张量为实对称张量，其特征值为实数，即3个主应力都是实数。为证明 这一结论，考虑式2.13) noi onj 两边乘以n,的共轭复数元，得 n0元==on|2 (e) 其中，||为单位矢量的模。上式取共轭，注意到应力张量的分量为实数，得 元0=G|n2 (D
根据式（２１４），上式可写成 σ＝σ１－（σ１－σ２）ｍ２－（σ１－σ３）ｎ２ （ｂ） 或 σ＝（σ１－σ３）ｌ２＋（σ２－σ３）ｍ２＋σ３ （ｃ） 如果σ１≥σ２≥σ３，则从式（ｂ）知σ≤σ１；从式（ｃ）知σ≥σ３。可见，大小主应力分 别为正应力的极大值和极小值。 （２）主平面的正交性 考虑任意两个不同的主应力σｋ，σｌ，相应的主方向分别为ｎｋ，ｎｌ，则 ｎｋ·σ＝σｋｎｋ ｎｌ·σ＝σｌｎ 烍 烌 ｌ 烎 （ｄ） 式（ｄ）中的两式分别点乘ｎｌ，ｎｋ，然后相减得 ｎｋ·σ·ｎｌ－ｎｌ·σ·ｎｋ＝（σｋ－σｌ）ｎｋ·ｎｌ 注意到应力张量的对称性，上式左边为零，从而得到两个主方向正交的条件，即 ｎｋ·ｎｌ＝０ 可见，若３个主应力互不相等，则３个主方向必定相互正交。 若σｋ＝σｌ＝σ，则根据式（ｄ），对于任意常数ａ和ｂ有 （ａｎｋ＋ｂｎｌ）·σ＝σ（ａｎｋ＋ｂｎｌ） 可见，ｎｋ 和ｎｌ 所在平面内的任何方向都是主方向，故可在该平面内任选２个相 互正交的方向作为主方向。不难证明，若３个主应力相等，则空间任意３个相互 正交的方向都可作为主方向。 （３）主应力的实数性 应力张量为实对称张量，其特征值为实数，即３个主应力都是实数。为证明 这一结论，考虑式（２１３） ｎｉσｉｊ＝σｎｊ 两边乘以ｎｊ的共轭复数珔ｎｊ，得 ｎｉσｉｊ珔ｎｊ＝σｎｊ珔ｎｊ＝σ｜ｎ｜２ （ｅ） 其中，｜ｎ｜为单位矢量的模。上式取共轭，注意到应力张量的分量为实数，得 珔ｎｉσｉｊｎｊ＝σ｜ｎ｜２ （ｆ） ８１ 第２章 应 力 理 论
2.3应力分析 19 考虑到应力张量的对称性，有 元0=元Pjn;=n0元=n0 代入式()并令式)与式(e)相减，得 (G-a)In12=0 由于|≠0，故上式表明主应力与其共轭相等，即为实数。 2.3.5主剪应力 在主应力空间中，从P点处取微分四面体，其中三个面分别与坐标面即主 平面重合，第四个面为任意斜截面，其外法向单位矢量为n。根据式29)，斜截 面上应力矢量沿坐标轴的分量为 tml=a1l,tn2=o2m,In3=o3n 根据式2.10)、2.11)和Q.12),斜截面上的全应力、正应力和剪应力分别为 g2=2+a3m2+n2=om 0n=01l2+02m2+63n2=6n号 2.18) x7=g2-o=o112+3m2+on2-(o1l2+o2m2+03n2)22.19) 剪应力取极值（非零）的面称为主剪应力面，其上的剪应力称为主剪应力。 为求得主剪应力，利用式2.14)消去式2.19)中的n并令x元对l和求偏导 l[12o1-o3)+m2(o2-o3)-o1-63)2]=01 m[12(o1-o3)+m2(o2-3)-o2-o3)2]=0 若l=m=0,则n=±1：若1=0，则m=±1W2,n=±1W2:若m=0,则 1=±1W2,n=±12。用同样的方法消去m和1，可得其他方向余弦的解答 (如表2.1所示)。 表2.1主剪应力面的方向余弦 0 0 ±1 0 ±15±15 0 ±1 0 ±15 0 ±15 ±1 0 0 ±15 ±12 0 表2.1中的前三列是主平面，不是我们要找的解答。后三列表示3对主剪 应力面，且每个主剪应力面平分两个主平面的夹角（图2.5）。将方向余弦代入 式2.19)可得主剪应力t1,2t3
考虑到应力张量的对称性，有 珔ｎｉσｉｊｎｊ＝珔ｎｊσｊｉｎｉ＝ｎｉσｊｉ珔ｎｊ＝ｎｉσｉｊ珔ｎｊ 代入式（ｆ）并令式（ｆ）与式（ｅ）相减，得 （σ－珋σ）｜ｎ｜２＝０ 由于｜ｎ｜≠０，故上式表明主应力与其共轭相等，即为实数。 ２３５ 主剪应力 在主应力空间中，从Ｐ 点处取微分四面体，其中三个面分别与坐标面即主 平面重合，第四个面为任意斜截面，其外法向单位矢量为ｎ。根据式（２９），斜截 面上应力矢量沿坐标轴的分量为 ｔｎ１＝σ１ｌ， ｔｎ２＝σ２ｍ， ｔｎ３＝σ３ｎ 根据式（２１０）、（２１１）和（２１２），斜截面上的全应力、正应力和剪应力分别为 σ２＝σ２ １ｌ２＋σ２ ２ｍ２＋σ２ ３ｎ２＝σ２ ｉｎ２ ｉ σｎ＝σ１ｌ２＋σ２ｍ２＋σ３ｎ２＝σｉｎ２ ｉ （２１８） τ２ ｎ＝σ２－σ２ ｎ＝σ２ １ｌ２＋σ２ ２ｍ２＋σ２ ３ｎ２－（σ１ｌ２＋σ２ｍ２＋σ３ｎ２）２ （２１９） 剪应力取极值（非零）的面称为主剪应力面，其上的剪应力称为主剪应力。 为求得主剪应力，利用式（２１４）消去式（２１９）中的ｎ 并令τ２ ｎ 对ｌ和ｍ 求偏导 得 ｌ［ ］ ｌ２ （σ１－σ３）＋ｍ２ （σ２－σ３）－（σ１－σ３）／２ ＝０ ｍ［ ］ ｌ２ （σ１－σ３）＋ｍ２ （σ２－σ３）－（σ２－σ３）／２ 烍 烌 ＝０烎 若ｌ＝ｍ＝０，则ｎ＝±１；若ｌ＝０，则 ｍ＝±１／槡２，ｎ＝±１／槡２；若 ｍ＝０，则 ｌ＝±１／槡２，ｎ＝±１／槡２。用同样的方法消去 ｍ 和ｌ，可得其他方向余弦的解答 （如表２１所示）。 表２１ 主剪应力面的方向余弦 ｌ ０ ０ ±１ ０ ±１／槡２ ±１／槡２ ｍ ０ ±１ ０ ±１／槡２ ０ ±１／槡２ ｎ ±１ ０ ０ ±１／槡２ ±１／槡２ ０ 表２１中的前三列是主平面，不是我们要找的解答。后三列表示３对主剪 应力面，且每个主剪应力面平分两个主平面的夹角（图２５）。将方向余弦代入 式（２１９）可得主剪应力τ１，τ２，τ３ ２３ 应 力 分 析 ９１
20 第2章应力理论 x1=t2-o3 2 r2=t93-a 2.20) 2 =±2 主剪应力x12t3面上的法向应力分别为 02十03， 03十01 1十2 2.21) 图2.5主剪应力面 2 2 2.3.6八面体应力 在主应力空间中，存在这样的平面，即它的 外法线与三个坐标轴呈等倾斜。根据式2.14)， 等倾面法线的方向余弦为 l=m=n=±13 这种面共有8个，它们组成正八面体（图2.6）。 八面体面上的正应力和剪应力分别称为八面体 图2.6八面体 正应力o8和八面体剪应力r8。将上述方向余弦代入式2.18)和2.19)得 s=3(G1+2+03) 2.22) s=3G1-2+a2-ag2+a,-an 可见，八面体正应力为平均应力，即 0m=3a1+o2+03)=3a,+0,+o.) 2.3.7应力张量的分解 外力作用下物体的变形通常可以分为体积改变和形状改变两种成分，并认 为体积的改变是由各向相等的应力引起的。因此，通常把应力张量分解为球应 力张量和偏应力张量 00 y
图２５ 主剪应力面 τ１＝±σ２－σ３ ２ τ２＝±σ３－σ１ ２ τ３＝±σ１－σ２ 烍 烌 ２ 烎 （２２０） 主剪应力τ１，τ２，τ３面上的法向应力分别为 σ２＋σ３ ２ ， σ３＋σ１ ２ ， σ１＋σ２ ２ （２２１） 图２６ 八面体 ２３６ 八面体应力 在主应力空间中，存在这样的平面，即它的 外法线与三个坐标轴呈等倾斜。根据式（２１４）， 等倾面法线的方向余弦为 ｌ＝ｍ＝ｎ＝±１／槡３ 这种面共有８个，它们组成正八面体（图２６）。 八面体面上的正应力和剪应力分别称为八面体 正应力σ８和八面体剪应力τ８。将上述方向余弦代入式（２１８）和（２１９）得 σ８＝１ ３ （σ１＋σ２＋σ３） τ８＝１ ３槡（σ１－σ２）２＋（σ２－σ３）２＋（σ３－σ１） 烍 烌 烎 ２ （２２２） 可见，八面体正应力为平均应力，即 σｍ＝１ ３ （σ１＋σ２＋σ３）＝１ ３ （σｘ＋σｙ＋σｚ） ２３７ 应力张量的分解 外力作用下物体的变形通常可以分为体积改变和形状改变两种成分，并认 为体积的改变是由各向相等的应力引起的。因此，通常把应力张量分解为球应 力张量和偏应力张量 σｘ τｘｙ τｘｚ τｙｘ σｙ τｙｚ τｚｘ τｚｙ σ 烄 烆 烌 ｚ烎 ＝ σｍ ０ ０ ０ σｍ ０ ０ ０ σ 烄 烆 烌 ｍ烎 ＋ σｘ－σｍ τｘｙ τｘｚ τｙｘ σｙ－σｍ τｙｚ τｚｘ τｚｙ σｚ－σ 烄 烆 烌 ｍ烎 ０２ 第２章 应 力 理 论