2.2平衡分析 11 所在面的外法线方向，第二个字母表示应力分量的指向。这样，3个正面上的应 力矢量为 t0=o1e1+a12e2+o13e3=019) t0)=o21e1+aze2+023e3=029 2.4a） t6)=g31e1+62e2+o33e3=03 或 t》=形 i,j=1,2,3) 2.4b) 其中引入了爱因斯坦求和约定，即如果一个指标重复出现两次，则该指标要取完 指标域中所有的值，然后将所得的各项加起来。 对于负面上的应力矢量，显然有 t-=-t 可见，P点的应力分量共有9个。把这9个应力分量按一定规则排列，令其中每 一行为过P点的一个面上的3个应力分量，便构成应力张量 011012013 0=021022023 或6=txys （031032633 (Tar Tsy 0s 其中第二种表达方式为直角坐标系中的应力张量，并注意通常正应力只用一个 字母的下标标记。 3)符号规定 在弹塑性力学中，应力的正负号规定如 下：不论是正应力还是剪应力，正面上的应力 与坐标轴正向相同时为正，反之为负；负面上 的应力与坐标轴负向相同时为正，反之为负。 图2.1中所示为直角坐标系中的应力分量， 均为正。 图2.1应力状态 2.2平衡分析 如果物体处于平衡状态，则其每一部分也将是平衡的。换句话说，整个物体 平衡的充分必要条件是物体内微元体的平衡。微元体有两种，即六面体和四面 体。根据六面体的平衡条件，可以推导出平衡微分方程：根据四面体的平衡条
所在面的外法线方向，第二个字母表示应力分量的指向。这样，３个正面上的应 力矢量为 ｔ （１） ＝σ１１ｅ１＋σ１２ｅ２＋σ１３ｅ３＝σ１ｊｅｊ ｔ （２） ＝σ２１ｅ１＋σ２２ｅ２＋σ２３ｅ３＝σ２ｊｅｊ ｔ （３） ＝σ３１ｅ１＋σ３２ｅ２＋σ３３ｅ３＝σ３ｊｅ 烍 烌 ｊ烎 （２４ａ） 或 ｔ （ｉ） ＝σｉｊｅｊ （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２４ｂ） 其中引入了爱因斯坦求和约定，即如果一个指标重复出现两次，则该指标要取完 指标域中所有的值，然后将所得的各项加起来。 对于负面上的应力矢量，显然有 ｔ （－ｉ） ＝－ｔ （ｉ） 可见，Ｐ 点的应力分量共有９个。把这９个应力分量按一定规则排列，令其中每 一行为过Ｐ 点的一个面上的３个应力分量，便构成应力张量 σｉｊ＝ σ１１ σ１２ σ１３ σ２１ σ２２ σ２３ σ３１ σ３２ σ 烄 烆 烌 ３３烎 或 σｉｊ＝ σｘ τｘｙ τｘｚ τｙｘ σｙ τｙｚ τｚｘ τｚｙ σ 烄 烆 烌 ｚ烎 其中第二种表达方式为直角坐标系中的应力张量，并注意通常正应力只用一个 图２１ 应力状态 字母的下标标记。 （３）符号规定 在弹塑性力学中，应力的正负号规定如 下：不论是正应力还是剪应力，正面上的应力 与坐标轴正向相同时为正，反之为负；负面上 的应力与坐标轴负向相同时为正，反之为负。 图２１中所示为直角坐标系中的应力分量， 均为正。 ２２ 平 衡 分 析 如果物体处于平衡状态，则其每一部分也将是平衡的。换句话说，整个物体 平衡的充分必要条件是物体内微元体的平衡。微元体有两种，即六面体和四面 体。根据六面体的平衡条件，可以推导出平衡微分方程；根据四面体的平衡条 ２２ 平 衡 分 析 １１
12 第2章应力理论 件，可以得到斜截面应力计算公式和应力边界条件。 2.2.1平衡微分方程 一般说，域2内各点的应力是不相同的， 表示为x,y,的函数。在点P(x,y,)处取 图2.2所示的微分六面体，左面上的正应力 为a,=a,(x,y,):右面上的正应力为a= o.(x+dx,y,z),展开为级数并略去高阶微 量得 图2.2微元平衡 a-a,+Ddr 其他各应力分量均可依此类推。根据x方向力的平衡条件，有 (d)ddddy)dsdr-ddr (d)drdy-rdrdy+ddyds0 整理得 +++X0 同理，列出y,之方向力的平衡条件可得另外两个方程，统一表示为 0+++X=0 ay +密++y=0 2.5a) +++2-0 或 0时+f后=0 (,j=1,2,3) 2.5b) 式2.5)称为平衡微分方程，简称平衡方程，它所描述的是内部应力与外部体力 之间的关系。 对于动力学问题，若不考虑阻尼效应，则根据Newton第二定律，不难推导 出动力平衡微分方程
件，可以得到斜截面应力计算公式和应力边界条件。 图２２ 微元平衡 ２２１ 平衡微分方程 一般说，域Ω 内各点的应力是不相同的， 表示为ｘ，ｙ，ｚ的函数。在点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）处取 图２２所示的微分六面体，左面上的正应力 为σｘ＝σｘ （ｘ，ｙ，ｚ）；右面上的正应力为σ′ｘ＝ σｘ （ｘ＋ｄｘ，ｙ，ｚ），展开为级数并略去高阶微 量得 σ′ｘ＝σｘ＋ σｘ ｘｄｘ 其他各应力分量均可依此类推。根据ｘ方向力的平衡条件，有 σｘ＋ σｘ ｘ （ ） ｄｘ ｄｙｄｚ－σｘｄｙｄｚ＋ τｙｘ＋ τｙｘ ｙ （ ） ｄｙ ｄｚｄｘ－τｙｘｄｚｄｘ ＋ τｚｘ＋ τｚｘ ｚ （ ） ｄｚ ｄｘｄｙ－τｚｘｄｘｄｙ＋Ｘｄｘｄｙｄｚ＝０ 整理得 σｘ ｘ＋ τｙｘ ｙ ＋ τｚｘ ｚ ＋Ｘ＝０ 同理，列出ｙ，ｚ方向力的平衡条件可得另外两个方程，统一表示为 σｘ ｘ＋ τｙｘ ｙ ＋ τｚｘ ｚ ＋Ｘ＝０ τｘｙ ｘ ＋ σｙ ｙ ＋ τｚｙ ｚ ＋Ｙ＝０ τｘｚ ｘ ＋ τｙｚ ｙ ＋ σｚ ｚ＋Ｚ 烍 烌 ＝０烎 （２５ａ） 或 σｊｉ，ｊ＋ｆｉ＝０ （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２５ｂ） 式（２５）称为平衡微分方程，简称平衡方程，它所描述的是内部应力与外部体力 之间的关系。 对于动力学问题，若不考虑阻尼效应，则根据 Ｎｅｗｔｏｎ第二定律，不难推导 出动力平衡微分方程 ２１ 第２章 应 力 理 论
2.2平衡分析 13 0+警++X= 产+密+空+yp装 2.6a) ++密+z-器 或 i+f后=pi; (i,j=1,2,3) 2.6b) 其中，4，；分别是沿x:轴方向的位移分量，加速度分量：ρ是质量密度。 2.2.2剪应力互等定理 现在让我们考虑微元体的力矩平衡。若以过微元体中心C且平行于：轴 的线为取力矩的轴，则凡作用线通过C点或方向与该轴平行的应力分量对该轴 的力矩均为零，于是根据力矩平衡条件可得 (n++n)号4d-(6+4w+学rds=0 令微元体趋于零即得式2.7)中的第一式。同理，分别对过微元体中心C且平 行于x,y轴的线列力矩平衡条件，可得式2.7)的另两个等式。 Tg=TTg=ty 2.7) 这些公式所表明的就是剪应力互等定理。可见，应力张量是对称张量。这样，式 2.5b)也可写成 60+f后=0(i,j=1,2,3) 在式2.5)中的3个方程中含有6个未知应力 分量，未知量的数目超过平衡方程的数目，因此弹 塑性力学问题属于超静定问题。 2.2.3斜截面应力公式 从受力物体中的P点处取出微分四面体（图 2,3),其中三个面分别与坐标面重合，为负面：而第 四个面即为任意斜截面，其外法线方向的单位矢量 n为 图2.3斜截面应力
σｘ ｘ＋ τｙｘ ｙ ＋ τｚｘ ｚ ＋Ｘ＝ρ ２ｕ ｔ２ τｘｙ ｘ ＋ σｙ ｙ ＋ τｚｙ ｚ ＋Ｙ＝ρ ２ｖ ｔ２ τｘｚ ｘ ＋ τｙｚ ｙ ＋ σｚ ｚ＋Ｚ＝ρ ２ｗ ｔ 烍 烌 ２烎 （２６ａ） 或 σｊｉ，ｊ＋ｆｉ＝ρüｉ （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２６ｂ） 其中，ｕｉ，üｉ分别是沿ｘｉ轴方向的位移分量，加速度分量；ρ是质量密度。 ２２２ 剪应力互等定理 现在让我们考虑微元体的力矩平衡。若以过微元体中心 Ｃ 且平行于ｚ轴 的线为取力矩的轴，则凡作用线通过Ｃ 点或方向与该轴平行的应力分量对该轴 的力矩均为零，于是根据力矩平衡条件可得 τｘｙ＋ τｘｙ ｘ （ ） ｄｘ＋τｘｙ ｄｘ ２ｄｙｄｚ－ τｙｘ＋ τｙｘ ｙ （ ） ｄｙ＋τｙｘ ｄｙ ２ｄｘｄｚ＝０ 令微元体趋于零即得式（２７）中的第一式。同理，分别对过微元体中心 Ｃ 且平 行于ｘ，ｙ轴的线列力矩平衡条件，可得式（２７）的另两个等式。 τｘｙ＝τｙｘ， τｙｚ＝τｚｙ， τｚｘ＝τｘｚ （２７） 这些公式所表明的就是剪应力互等定理。可见，应力张量是对称张量。这样，式 （２５ｂ）也可写成 σｉｊ，ｊ＋ｆｉ＝０ （ｉ，ｊ＝１，２，３） 图２３ 斜截面应力 在式（２５）中的３个方程中含有６个未知应力 分量，未知量的数目超过平衡方程的数目，因此弹 塑性力学问题属于超静定问题。 ２２３ 斜截面应力公式 从受力物体中的 Ｐ 点处取出微分四面体（图 ２３），其中三个面分别与坐标面重合，为负面；而第 四个面即为任意斜截面，其外法线方向的单位矢量 ｎ为 ２２ 平 衡 分 析 ３１
14 第2章应力理论 n=nei=le+me2+ne3 其中，l=1,m=2,n=n3为n与坐标轴夹角的余弦，即方向余弦 ni=cos(n,e;)=ne 设斜截面的面积为S,则3个负面的面积分别为 dS;=n;ds=(ne;)ds (a) 四面体的体积为 dV=hds /3 6) 其中，h为顶点P到斜面的垂直距离。列出四面体的矢量平衡条件，即 -tds1-tdS2-tdS3+t ds+fdV=0 将式2.4)，式a)和式6)代入上式得 t(n)=(ne;)t (-fh B3=n"(ageej)-fh B3 当h→0时，斜截面与通过P点所考察的斜截面相重合，从而得到过P点的斜 截面上的应力 tn》=n"oee） 6 引进应力张量的并矢记法 0=0ee 式c)成为 tm》=n"o 2.8a) 此即斜截面应力公式，也称为Cauchy公式。进行点积运算得 tn》=n59=t列je9i 2.8b) 可见，Cauchy公式的分量表达式为 tnj=noy 2.9a) 其展开式为 tnr=lor+mtyr+ntar tny=ltry+moy+ntsy 2.9b) ins=lt+mtys nos 其中分别为斜截面应力矢量沿x,y,之方向的投影
ｎ＝ｎｉｅｉ＝ｌｅ１＋ｍｅ２＋ｎｅ３ 其中，ｌ＝ｎ１，ｍ＝ｎ２，ｎ＝ｎ３为ｎ与坐标轴夹角的余弦，即方向余弦 ｎｉ＝ｃｏｓ（ｎ，ｅｉ）＝ｎ·ｅｉ 设斜截面的面积为ｄＳ，则３个负面的面积分别为 ｄＳｉ＝ｎｉｄＳ＝（ｎ·ｅｉ）ｄＳ （ａ） 四面体的体积为 ｄＶ＝ｈｄＳ／３ （ｂ） 其中，ｈ为顶点Ｐ 到斜面的垂直距离。列出四面体的矢量平衡条件，即 －ｔ （１） ｄＳ１－ｔ （２） ｄＳ２－ｔ （３） ｄＳ３＋ｔ （ｎ） ｄＳ＋ｆｄＶ＝０ 将式（２４），式（ａ）和式（ｂ）代入上式得 ｔ （ｎ） ＝（ｎ·ｅｉ）ｔ （ｉ） －ｆｈ／３＝ｎ·（σｉｊｅｉｅｊ）－ｆｈ／３ 当ｈ→０时，斜截面与通过Ｐ 点所考察的斜截面相重合，从而得到过Ｐ 点的斜 截面上的应力 ｔ （ｎ） ＝ｎ·（σｉｊｅｉｅｊ） （ｃ） 引进应力张量的并矢记法 σ＝σｉｊｅｉｅｊ 式（ｃ）成为 ｔ （ｎ） ＝ｎ·σ （２８ａ） 此即斜截面应力公式，也称为Ｃａｕｃｈｙ公式。进行点积运算得 ｔ （ｎ） ＝ｎｉσｉｊｅｊ＝ｔｎｊｅｊ （２８ｂ） 可见，Ｃａｕｃｈｙ公式的分量表达式为 ｔｎｊ＝ｎｉσｉｊ （２９ａ） 其展开式为 ｔｎｘ＝ｌσｘ＋ｍτｙｘ＋ｎτｚｘ ｔｎｙ＝ｌτｘｙ＋ｍσｙ＋ｎτｚｙ ｔｎｚ＝ｌτｘｚ＋ｍτｙｚ＋ｎσ 烍 烌 ｚ烎 （２９ｂ） 其中ｔｎｘ，ｔｎｙ，ｔｎｚ分别为斜截面应力矢量沿ｘ，ｙ，ｚ方向的投影。 ４１ 第２章 应 力 理 论
2.3应力分析 15 2.2.4应力边界条件 现考虑应力边界工，上微分四面体的平衡。显然，只要将斜截面当成物体 外表面、斜截面上的应力当成面力，则斜截面应力公式(2.9)便成为面力与应力 的平衡方程，即应力边界条件。用面力替换式Q.9)中的斜截面应力，得 nPn=币(i,j=1,2,3) 2.10a) 通常写为 lo,+mixr+nter=x ly+may+n= 2.10b) l+mts+nd=Z 其中，万1=又，币2=了，下：=2为面力沿x,y,之方向的分量。可见，每个应力边 界上需给出3个边界条件。 2.3应力分析 2.3.1正应力和剪应力 将t)投影到法线n上，可得斜截面上的正应力o an=tn=nG'n=gj 0d2+oym2+on2+2trm +2twmn +2tsnl 2.11) 斜截面上的全应力。由下式确定 02=t7+ty+ths 于是，斜截面上的剪应力，为 n=√G2-o=√+tt- 2.12) 可见，过P点任意斜截面上的应力均可由，yG,T和r唯一地确 定，故这6个应力分量可完全表示一点的应力状态。 2.3.2主应力和应力不变量 在物体内任一点至少可以找到3组互相垂直的平面，在这些平面上剪应力 为零，而正应力达到极值。这些面称为主平面，其上的正应力称为主应力，主应
２２４ 应力边界条件 现考虑应力边界Γσ 上微分四面体的平衡。显然，只要将斜截面当成物体 外表面、斜截面上的应力当成面力，则斜截面应力公式（２９）便成为面力与应力 的平衡方程，即应力边界条件。用面力替换式（２９）中的斜截面应力，得 ｎｊσｊｉ＝珔ｐｉ （ｉ，ｊ＝１，２，３） （２１０ａ） 通常写为 ｌσｘ＋ｍτｙｘ＋ｎτｚｘ＝珚Ｘ ｌτｘｙ＋ｍσｙ＋ｎτｚｙ＝珡Ｙ ｌτｘｚ＋ｍτｙｚ＋ｎσｚ＝珔 烍 烌 Ｚ烎 （２１０ｂ） 其中，ｐ珔１＝珚Ｘ，珔ｐ２＝珡Ｙ，ｐ珔３＝珔Ｚ 为面力沿ｘ，ｙ，ｚ方向的分量。可见，每个应力边 界上需给出３个边界条件。 ２３ 应 力 分 析 ２３１ 正应力和剪应力 将ｔ （ｎ）投影到法线ｎ上，可得斜截面上的正应力σｎ σｎ＝ｔ （ｎ）·ｎ＝ｎ·σ·ｎ＝σｉｊｎｉｎｊ ＝σｘｌ２＋σｙｍ２＋σｚｎ２＋２τｘｙｌｍ＋２τｙｚｍｎ＋２τｚｘｎｌ （２１１） 斜截面上的全应力σ由下式确定 σ２＝ｔ２ ｎｘ＋ｔ２ ｎｙ＋ｔ２ ｎｚ 于是，斜截面上的剪应力τｎ 为 τｎ＝槡σ２－σ２ ｎ＝ ｔ２ ｎｘ＋ｔ２ ｎｙ＋ｔ２ 槡 ｎｚ－σ２ ｎ （２１２） 可见，过Ｐ 点任意斜截面上的应力均可由σｘ，σｙ，σｚ，τｘｙ，τｙｚ和τｚｘ唯一地确 定，故这６个应力分量可完全表示一点的应力状态。 ２３２ 主应力和应力不变量 在物体内任一点至少可以找到３组互相垂直的平面，在这些平面上剪应力 为零，而正应力达到极值。这些面称为主平面，其上的正应力称为主应力，主应 ２３ 应 力 分 析 ５１