6 第1章弹塑性力学概论 他首次研究了梁弯曲理论基本假设（平截面假设和横向纤维无挤压假设）的精度 问题，指出只有当梁两端承受两个大小相等且方向相反的力偶成为纯弯曲时，基 本假设才能严格满足。此外，泊松(S.D.Poisson,1781一1840)在弹性力学中引 进了泊松比，并首次得到板的挠曲方程：杨(T.Young,1773一1829)首先给出了 应力与应变间的定量关系，引进著名的Young氏模量即弹性模量。 1850年基尔霍夫(G.R.Kirchhoff,1824一1887)给出了薄板边界条件的正 确表述。1881年赫兹(R.Hertz)研究了接触问题，给出了两弹性体局部接触时 的应力分布。1898年柯尔什(G.Kirsch)得出受拉薄板中的小圆孔附近的应力 分布，并发现了应力集中现象。到19世纪末和20世纪初，勒夫(A.E.H.Love, 1863一1940)总结了到他那时为止的全部弹性力学成果、奠定了薄壳理论的基础， 并系统地将弹性力学应用于地球物理学。穆斯赫利什维利N.I.Muskhelishvili或 N.L.MyuXeJHIBHJTH,1891一1976)终生致力于用复变函数求解弹性力学问题，给 出的解答也是弹性理论发展中的经典之作。 精确求解弹性力学微分方程的困难迫使人们发展近似解法。例如，基 于变分原理的变分法获得发展，例如著名的李兹(W.Rtz)法和伽辽金 B.G.Galerkin)法。 1.4.2塑性理论 在塑性力学研究方面，尽管库仑(Coulomb,1736一1806)首先研究了土的屈 服并给出了著名的Coulomb公式，塑性力学的开端却常被归功于屈雷斯卡 (H.Tresca)。这是因为Tresca在1864年发表了关于金属挤压的试验报告，指出 金属材料在最大剪应力达到某一量值时发生塑性流动，这是关于金属材料的第 一个屈服准则。此外，鲍辛格(.Bauschinger,l833一l893)通过试验发现了著名 的Bauschinger效应。 此后，塑性力学的发展是缓慢的。到了1913年，米塞斯(R.VonMises, 1883一1953)提出了一个新的屈服准则。几年之后，汉基(H.Hencky)把Mises 准则解释为畸变能达到某临界值时发生屈服。为了验证屈服理论，学者们针对 金属材料进行了大量试验。例如，盖斯特(Guest,I900)进行薄壁管轴向拉伸和 内压联合试验，初步证实了Tresca条件：罗德(W.,Lode,1926)用钢、铜和镍薄壁 管进行轴向拉伸和内压联合试验：泰勒等人(G.L.Taylor和H.Quinney,l931)用 金属薄壁管进行拉伸和扭转联合试验。这些试验验证了Tresca条件和Mises条 件，且发现Miss条件与试验结果符合得比较好。 在塑性本构理论方面，l870年，St.Venant认识到应力与塑性应变之间没有 一一对应关系，因而假设应变增量主轴与应力主轴重合，提出了平面应变条件下 理想刚塑性材料的本构方程。列维M.Lévy,1871)进一步认识到塑性变形过程
他首次研究了梁弯曲理论基本假设（平截面假设和横向纤维无挤压假设）的精度 问题，指出只有当梁两端承受两个大小相等且方向相反的力偶成为纯弯曲时，基 本假设才能严格满足。此外，泊松（ＳＤＰｏｉｓｓｏｎ，１７８１—１８４０）在弹性力学中引 进了泊松比，并首次得到板的挠曲方程；杨（ＴＹｏｕｎｇ，１７７３—１８２９）首先给出了 应力与应变间的定量关系，引进著名的 Ｙｏｕｎｇ氏模量即弹性模量。 １８５０年基尔霍夫（ＧＲＫｉｒｃｈｈｏｆｆ，１８２４—１８８７）给出了薄板边界条件的正 确表述。１８８１年赫兹（ＲＨｅｒｔｚ）研究了接触问题，给出了两弹性体局部接触时 的应力分布。１８９８年柯尔什（ＧＫｉｒｓｃｈ）得出受拉薄板中的小圆孔附近的应力 分布，并发现了应力集中现象。到１９世纪末和２０世纪初，勒夫（ＡＥＨＬｏｖｅ， １８６３—１９４０）总结了到他那时为止的全部弹性力学成果、奠定了薄壳理论的基础， 并系统地将弹性力学应用于地球物理学。穆斯赫利什维利（ＮＩＭｕｓｋｈｅｌｉｓｈｖｉｌｉ或 ＮＩМушхелишвили，１８９１—１９７６）终生致力于用复变函数求解弹性力学问题，给 出的解答也是弹性理论发展中的经典之作。 精确求解弹性力学微分方程的困难迫使人们发展近似解法。例如，基 于变分原理的 变 分 法 获 得 发 展，例 如 著 名 的 李 兹（ＷＲｉｔｚ）法 和 伽 辽 金 （ＢＧＧａｌｅｒｋｉｎ）法。 １４２ 塑性理论 在塑性力学研究方面，尽管库仑（Ｃｏｕｌｏｍｂ，１７３６—１８０６）首先研究了土的屈 服并给出了著名的 Ｃｏｕｌｏｍｂ公式，塑性力学的开端却常被归功于屈雷斯卡 （ＨＴｒｅｓｃａ）。这是因为Ｔｒｅｓｃａ在１８６４年发表了关于金属挤压的试验报告，指出 金属材料在最大剪应力达到某一量值时发生塑性流动，这是关于金属材料的第 一个屈服准则。此外，鲍辛格（ＪＢａｕｓｃｈｉｎｇｅｒ，１８３３—１８９３）通过试验发现了著名 的Ｂａｕｓｃｈｉｎｇｅｒ效应。 此后，塑 性 力 学 的 发 展 是 缓 慢的。到了 １９１３ 年，米 塞 斯（ＲＶｏｎＭｉｓｅｓ， １８８３—１９５３）提出了一个新的屈服准则。几年之后，汉基（ＨＨｅｎｃｋｙ）把 Ｍｉｓｅｓ 准则解释为畸变能达到某临界值时发生屈服。为了验证屈服理论，学者们针对 金属材料进行了大量试验。例如，盖斯特（Ｇｕｅｓｔ，１９００）进行薄壁管轴向拉伸和 内压联合试验，初步证实了Ｔｒｅｓｃａ条件；罗德（ＷＬｏｄｅ，１９２６）用钢、铜和镍薄壁 管进行轴向拉伸和内压联合试验；泰勒等人（ＧＩＴａｙｌｏｒ和 ＨＱｕｉｎｎｅｙ，１９３１）用 金属薄壁管进行拉伸和扭转联合试验。这些试验验证了Ｔｒｅｓｃａ条件和 Ｍｉｓｅｓ条 件，且发现 Ｍｉｓｅｓ条件与试验结果符合得比较好。 在塑性本构理论方面，１８７０年，ＳｔＶｅｎａｎｔ认识到应力与塑性应变之间没有 一一对应关系，因而假设应变增量主轴与应力主轴重合，提出了平面应变条件下 理想刚塑性材料的本构方程。列维（ＭＬéｖｙ，１８７１）进一步认识到塑性变形过程 ６ 第１章 弹塑性力学概论
1.5内容安排 > 中应变增量分量与相应的应力偏量成比例，并提出了空间理想刚塑性本构方 程。后来，Mises还独立地得出了Levy的结果，因而发展成增量理论，即著名的 Levy-Mises方程。路埃斯(A.Reuss,1932)认为当变形较小而弹性部分和塑性部 分属同一量级时，忽略弹性变形将会带来较大的误差，因此提出了包括弹性应变 的弹塑性本构理论，即Prandtl-Reus塑性增量理论。德鲁克(D.C.Drucker, 1952)提出了关于材料强化的重要公设，证明了塑性应变率与屈服面的正交性， 并提出了相关联的流动法则。Hencky(I924)采用Mises屈服条件提出了塑性全 量理论，依留中(A.A.I'yushin或A.A.LJTbIOLIHH,1940)发展了这个理论，并提 出简单加载定理。 在塑性力学计算领域，早在l9世纪70年代初，St.Venant就应用Tresca屈 服准则研究了圆柱体受扭转或弯曲时的弹塑性应力(1870)，以及圆筒承受内压 作用的弹塑性应力1872)。值得指出的还有普朗特(L.Prandtl,1921)和Hencky (1923)对平面塑性力学问题求解方法及滑移线场理论的贡献：那达依 (A.Nadai,1923)同时用理论和试验的方法研究了柱的扭转问题。实际上，能够 解析求解的塑性力学问题很少，因此数值方法特别是有限单元法成为最强有力 的工具。 1.4.3发展趋势 到目前为止，弹塑性力学的理论框架已臻于完善。然而，由于充分利用材料 性能的需要及新型材料的不断出现，自20世纪50年代以来，塑性力学受到广泛 重视。最关键的问题是建立塑性本构关系，具有应变硬化及软化特性的塑性力 学问题仍是正在发展中的研究课题，要达到定型阶段还有很长的路要走。 1.5内容安排 本书分为四部分共21章。第一部分为弹塑性力学基础，除本章的绪论外， 还包括第2章至第4章。第2章介绍应力状态的概念并推导外力与应力之间的 关系，即平衡微分方程和应力边界条件。第3章介绍应变状态的概念并推导位 移与应变之间的关系，即几何方程。由于应力分析和应变分析只涉及到平衡关 系和变形几何关系，而与材料的物理力学性质无关，故这种分析的有关结论对弹 性力学分析和塑性力学分析都是适用的。第4章讨论基本的材料变形试验成 果、变形机理以及本构关系的基本概念。 第二部分包括第5章至第14章，涉及线性弹性理论。第5章介绍弹性本构 方程，将其与应力应变理论中得出的平衡微分方程和几何方程联合起来，便构成 弹性力学的基本方程。第6章给出弹性力学问题的提法及基本求解方法。第7
中应变增量分量与相应的应力偏量成比例，并提出了空间理想刚塑性本构方 程。后来，Ｍｉｓｅｓ还独立地得出了Ｌéｖｙ的结果，因而发展成增量理论，即著名的 Ｌéｖｙ?Ｍｉｓｅｓ方程。路埃斯（ＡＲｅｕｓｓ，１９３２）认为当变形较小而弹性部分和塑性部 分属同一量级时，忽略弹性变形将会带来较大的误差，因此提出了包括弹性应变 的弹塑性本构理论，即 Ｐｒａｎｄｔｌ?Ｒｅｕｓｓ塑性增量理论。德鲁克（ＤＣＤｒｕｃｋｅｒ， １９５２）提出了关于材料强化的重要公设，证明了塑性应变率与屈服面的正交性， 并提出了相关联的流动法则。Ｈｅｎｃｋｙ（１９２４）采用 Ｍｉｓｅｓ屈服条件提出了塑性全 量理论，依留申（ＡＡＩｌ’ｙｕｓｈｉｎ或ＡＡИлъюшин，１９４０）发展了这个理论，并提 出简单加载定理。 在塑性力学计算领域，早在１９世纪７０年代初，ＳｔＶｅｎａｎｔ就应用Ｔｒｅｓｃａ屈 服准则研究了圆柱体受扭转或弯曲时的弹塑性应力（１８７０），以及圆筒承受内压 作用的弹塑性应力（１８７２）。值得指出的还有普朗特（ＬＰｒａｎｄｔｌ，１９２１）和 Ｈｅｎｃｋｙ （１９２３）对 平 面 塑 性 力 学 问 题 求 解 方 法 及 滑 移线场理论的贡 献；那 达 依 （ＡＮａｄａｉ，１９２３）同时用理论和试验的方法研究了柱的扭转问题。实际上，能够 解析求解的塑性力学问题很少，因此数值方法特别是有限单元法成为最强有力 的工具。 １４３ 发展趋势 到目前为止，弹塑性力学的理论框架已臻于完善。然而，由于充分利用材料 性能的需要及新型材料的不断出现，自２０世纪５０年代以来，塑性力学受到广泛 重视。最关键的问题是建立塑性本构关系，具有应变硬化及软化特性的塑性力 学问题仍是正在发展中的研究课题，要达到定型阶段还有很长的路要走。 １５ 内 容 安 排 本书分为四部分共２１章。第一部分为弹塑性力学基础，除本章的绪论外， 还包括第２章至第４章。第２章介绍应力状态的概念并推导外力与应力之间的 关系，即平衡微分方程和应力边界条件。第３章介绍应变状态的概念并推导位 移与应变之间的关系，即几何方程。由于应力分析和应变分析只涉及到平衡关 系和变形几何关系，而与材料的物理力学性质无关，故这种分析的有关结论对弹 性力学分析和塑性力学分析都是适用的。第４章讨论基本的材料变形试验成 果、变形机理以及本构关系的基本概念。 第二部分包括第５章至第１４章，涉及线性弹性理论。第５章介绍弹性本构 方程，将其与应力应变理论中得出的平衡微分方程和几何方程联合起来，便构成 弹性力学的基本方程。第６章给出弹性力学问题的提法及基本求解方法。第７ １５ 内 容 安 排 ７
第1章弹塑性力学概论 章至第13章分别讨论各种典型弹性力学问题的求解，包括平面问题、空间问题、 柱体扭转问题、平板问题、壳体问题。第14章介绍弹性力学变分原理与变分解 法。 结构变形进入塑性阶段以后，便成为塑性分析的对象。第三部分的弹塑性 理论包括第15章至第20章。在弹塑性分析中，首先要判断材料是处于弹性阶 段还是己进入塑性阶段，这就要求建立屈服准则（第15章）。如果材料已进入塑 性阶段，则必须建立判断加载还是卸载的准则，即加载准则。如果材料处于塑性 阶段的加载状态，应根据材料是理想塑性还是应变强化建立相应的塑性本构方 程，这项任务是由塑性本构理论（第16章）完成的。第17章首先给出弹塑性力 学边值问题的提法，然后求解一些简单的弹塑性力学问题：第18章和第19章分 别介绍塑性极限分析的严密方法和近似方法：第20章则将塑性本构理论引向深 入。 最后，第21章构成本书的第四部分，阐述难度较大的大变形理论，包括大变 形条件下的变形描述、应变度量、应力度量、本构方程、平衡方程及虚功原理。 习题 1.1弹塑性力学的基本假设有哪些？各假设的内容和意义是什么？ 1.2弹塑性力学最基本的研究方法是什么？为什么说弹塑性力学问题通常是 超静定的？解决这类问题需要从哪三个方面来考虑？ 1,3何谓弹性设计？弹性设计有哪些不足？为什么要进行弹塑性分析与设计？
章至第１３章分别讨论各种典型弹性力学问题的求解，包括平面问题、空间问题、 柱体扭转问题、平板问题、壳体问题。第１４章介绍弹性力学变分原理与变分解 法。 结构变形进入塑性阶段以后，便成为塑性分析的对象。第三部分的弹塑性 理论包括第１５章至第２０章。在弹塑性分析中，首先要判断材料是处于弹性阶 段还是已进入塑性阶段，这就要求建立屈服准则（第１５章）。如果材料已进入塑 性阶段，则必须建立判断加载还是卸载的准则，即加载准则。如果材料处于塑性 阶段的加载状态，应根据材料是理想塑性还是应变强化建立相应的塑性本构方 程，这项任务是由塑性本构理论（第１６章）完成的。第１７章首先给出弹塑性力 学边值问题的提法，然后求解一些简单的弹塑性力学问题；第１８章和第１９章分 别介绍塑性极限分析的严密方法和近似方法；第２０章则将塑性本构理论引向深 入。 最后，第２１章构成本书的第四部分，阐述难度较大的大变形理论，包括大变 形条件下的变形描述、应变度量、应力度量、本构方程、平衡方程及虚功原理。 习 题 １１ 弹塑性力学的基本假设有哪些？各假设的内容和意义是什么？ １２ 弹塑性力学最基本的研究方法是什么？为什么说弹塑性力学问题通常是 超静定的？解决这类问题需要从哪三个方面来考虑？ １３ 何谓弹性设计？弹性设计有哪些不足？为什么要进行弹塑性分析与设计？ ８ 第１章 弹塑性力学概论
第2章 应力理论 弹塑性力学的基本任务是求解物体在荷载作用下产生的应力、应变和位移， 它们都是定义于连续介质体上的场变量，表示为空间坐标的连续函数。为了求 解它们，首先需要从物体中取出微元体进行微元分析，以建立这些场变量必须满 足的控制微分方程和边界条件。 本章介绍应力理论，建立应力场变量必须满足的控制方程和边界条件。具 体内容包括：(1)荷载、应力状态等基本概念：(2)通过体内微元即微分六面体的 平衡分析推导平衡微分方程，通过边界处微元即微分四面体的平衡分析推导应 力边界条件：3)进行应力分析，给出主应力、主方向、应力不变量、等效应力的计 算公式。 2.1基本概念 2.1.1荷载 引起物体内力和变形的外部因素统称为荷载，包括外力和其他因素。外力 分为体力和面力：其他因素包括温度变化、中子辐照、边界约束变动等。这里仅 简要介绍外力的概念。 1)体力 体力是指满布地作用在物体内部各质点上的力，例如重力、惯性力等。体力 矢量用∫表示，定义如下 f=能= 2.1) 其中，△V为受体力作用的微元体积，△F为△V上体力的合矢量：f(i=1,2,3) 是体力矢量∫沿坐标轴的分量，指向坐标轴正向时为正，反之为负。在直角坐 标系中，f通常写为X,Y,Z:e是相应坐标轴的单位基矢量
第 ２章 应力理论 弹塑性力学的基本任务是求解物体在荷载作用下产生的应力、应变和位移， 它们都是定义于连续介质体上的场变量，表示为空间坐标的连续函数。为了求 解它们，首先需要从物体中取出微元体进行微元分析，以建立这些场变量必须满 足的控制微分方程和边界条件。 本章介绍应力理论，建立应力场变量必须满足的控制方程和边界条件。具 体内容包括：（１）荷载、应力状态等基本概念；（２）通过体内微元即微分六面体的 平衡分析推导平衡微分方程，通过边界处微元即微分四面体的平衡分析推导应 力边界条件；（３）进行应力分析，给出主应力、主方向、应力不变量、等效应力的计 算公式。 ２１ 基 本 概 念 ２１１ 荷载 引起物体内力和变形的外部因素统称为荷载，包括外力和其他因素。外力 分为体力和面力；其他因素包括温度变化、中子辐照、边界约束变动等。这里仅 简要介绍外力的概念。 （１）体力 体力是指满布地作用在物体内部各质点上的力，例如重力、惯性力等。体力 矢量用ｆ表示，定义如下 ｆ＝ｌｉｍΔＶ→０ ΔＦ ΔＶ＝ｆｉｅｉ （２１） 其中，ΔＶ 为受体力作用的微元体积，ΔＦ 为ΔＶ 上体力的合矢量；ｆｉ （ｉ＝１，２，３） 是体力矢量ｆ沿坐标轴的分量，指向坐标轴正向时为正，反之为负。在直角坐 标系中，ｆｉ通常写为Ｘ，Ｙ，Ｚ；ｅｉ是相应坐标轴的单位基矢量
10 第2章应力理论 2)面力 面力是指作用在物体表面上的力，例如风力、液体压力、固体之间的接触力 等。面力矢量用)表示，定义为 n长-所 (2.2) 其中，△S为受面力作用的微元面积，△P为△S上面力的合矢量。；(i=1,2, 3)是面力矢量币沿坐标轴的分量，指向坐标轴正向时为正，反之为负。在直角 坐标系中，币；通常写为又，Y,2。 2.1.2应力状态 1)应力定义 物体在荷载作用下将产生变形，同时在体内产生抵抗变形的内力。简单地 说，应力就是荷载引起的物体内单位面积上的内力。作用在外法线为n的面元 上的应力矢量tm)定义为 1)=lim As 2.3) 其中，△S为面元的面积，△F为外域通过面元△S对内域的作用力之合力。通 常t)与n并不重合。 2)应力状态 如前所述，应力总是与截面相关联。过物体中任一点P可以作无数个不同 方向的截面，各个截面上的应力通常各不相同。为了研究P点的应力状态，可 以在该点取平行于坐标面的3个互相垂直的微元面。当微元面趋于零时，上面 作用的应力就代表P点的应力。本章第3节将证明，用这3个微元面上的应力 可表示过P点任何截面上的应力。 过P点的3个微元面的外法线都可以是坐标轴x;的正向，也都可以是坐 标轴x,的负向。通常把外法线与坐标轴正向相同的面称为正面，其单位法向矢 量为：=e:外法线与坐标轴负向相同的面称为负面，其单位法向矢量为；= 一显然，根据作用与反作用定律，正面上的应力与相对应的负面上的应力大 小相等，方向相反。这样，可以用一个微小平行六面体（注意：它不同于即将研究 平衡问题时的微元体)的3个正面表示过P点的3个正面：3个负面表示过P 点的3个负面（图2.1）（文献3）。 截面上的应力矢量可沿坐标轴分解为一个正应力和两个剪应力。例如，在 以e1为法向的正面上，应力矢量用t表示，沿x1,x2,x3轴的分量分别为o1, 012,613。这里每个应力分量用两个字母的下标标记，其中第一个字母表示应力
（２）面力 面力是指作用在物体表面上的力，例如风力、液体压力、固体之间的接触力 等。面力矢量用珔ｐ表示，定义为 珔ｐ＝ｌｉｍΔＳ→０ ΔＰ ΔＳ＝ｐ珔ｉｅｉ （２２） 其中，ΔＳ 为受面力作用的微元面积，ΔＰ 为ΔＳ 上面力的合矢量。ｐ珔ｉ （ｉ＝１，２， ３）是面力矢量ｐ珔沿坐标轴的分量，指向坐标轴正向时为正，反之为负。在直角 坐标系中，珔ｐｉ通常写为珚Ｘ，珡Ｙ，珔Ｚ。 ２１２ 应力状态 （１）应力定义 物体在荷载作用下将产生变形，同时在体内产生抵抗变形的内力。简单地 说，应力就是荷载引起的物体内单位面积上的内力。作用在外法线为ｎ的面元 上的应力矢量ｔ （ｎ）定义为 ｔ （ｎ） ＝ｌｉｍΔＳ→０ ΔＦ ΔＳ （２３） 其中，ΔＳ 为面元的面积，ΔＦ 为外域通过面元ΔＳ 对内域的作用力之合力。通 常ｔ （ｎ）与ｎ并不重合。 （２）应力状态 如前所述，应力总是与截面相关联。过物体中任一点Ｐ 可以作无数个不同 方向的截面，各个截面上的应力通常各不相同。为了研究Ｐ 点的应力状态，可 以在该点取平行于坐标面的３个互相垂直的微元面。当微元面趋于零时，上面 作用的应力就代表Ｐ 点的应力。本章第３节将证明，用这３个微元面上的应力 可表示过Ｐ 点任何截面上的应力。 过Ｐ 点的３个微元面的外法线都可以是坐标轴ｘｉ的正向，也都可以是坐 标轴ｘｉ的负向。通常把外法线与坐标轴正向相同的面称为正面，其单位法向矢 量为ｎｉ＝ｅｉ；外法线与坐标轴负向相同的面称为负面，其单位法向矢量为ｎｉ＝ －ｅｉ。显然，根据作用与反作用定律，正面上的应力与相对应的负面上的应力大 小相等，方向相反。这样，可以用一个微小平行六面体（注意：它不同于即将研究 平衡问题时的微元体）的３个正面表示过Ｐ 点的３个正面；３个负面表示过Ｐ 点的３个负面（图２１）（文献３）。 截面上的应力矢量可沿坐标轴分解为一个正应力和两个剪应力。例如，在 以ｅ１为法向的正面上，应力矢量用ｔ （１）表示，沿ｘ１，ｘ２，ｘ３轴的分量分别为σ１１， σ１２，σ１３。这里每个应力分量用两个字母的下标标记，其中第一个字母表示应力 ０１ 第２章 应 力 理 论