第1章 弹塑性力学概论 弹塑性力学作为固体力学的一门分支学科已有很长的发展历史，其理论与 方法的体系基本完善，并在建筑工程、机械工程、水利工程、航空航天工程等诸多 技术领域得到了成功的应用。 为使读者对弹塑性力学的学科性质和基本内容有个概观性的了解，本章将 分别介绍下述内容：(1)基本概念：2)基本假设：3)研究方法：4)学科简史：5) 内容安排。 1.1基本概念 1.1.1学科定义 在实际工程中，我们总会遇到这样的问题：在特定荷载作用下，某房屋、桥 梁、机械或水坝等结构会发生多大的变形？结构内部的应力分布与状态如何？ 结构有足够的承载能力吗？ 弹塑性力学就是求解这类问题的一门学科，它研究物体在荷载（包括外力、 温度变化或边界约束变动等)作用下产生的应力、变形及承载能力。我们将表 明，上述问题都可归结为一组偏微分方程和边界条件，求解这些方程就可得出定 量的解答。 任何物体在荷载作用下都将产生变形。通常随着荷载的增大，材料变形可 由弹性阶段过渡到塑性阶段。弹性变形是指卸载后可以恢复或消失的变形：塑 性变形是指卸载后不能恢复而残留下来的变形。在传统上，弹性力学研究弹性 变形阶段的力学问题，塑性力学研究塑性变形阶段的力学问题。实际上，弹性阶 段与塑性阶段是整个变形过程中的两个连续阶段，且结构内部可能同时存在弹 性区和塑性区。因此，实际结构的变形分析常需要同时应用弹性力学和塑性力 学的知识，将两部分内容有机地结合起来便构成弹塑性力学的内容
第 １章 弹塑性力学概论 弹塑性力学作为固体力学的一门分支学科已有很长的发展历史，其理论与 方法的体系基本完善，并在建筑工程、机械工程、水利工程、航空航天工程等诸多 技术领域得到了成功的应用。 为使读者对弹塑性力学的学科性质和基本内容有个概观性的了解，本章将 分别介绍下述内容：（１）基本概念；（２）基本假设；（３）研究方法；（４）学科简史；（５） 内容安排。 １１ 基 本 概 念 １１１ 学科定义 在实际工程中，我们总会遇到这样的问题：在特定荷载作用下，某房屋、桥 梁、机械或水坝等结构会发生多大的变形？结构内部的应力分布与状态如何？ 结构有足够的承载能力吗？ 弹塑性力学就是求解这类问题的一门学科，它研究物体在荷载（包括外力、 温度变化或边界约束变动等）作用下产生的应力、变形及承载能力。我们将表 明，上述问题都可归结为一组偏微分方程和边界条件，求解这些方程就可得出定 量的解答。 任何物体在荷载作用下都将产生变形。通常随着荷载的增大，材料变形可 由弹性阶段过渡到塑性阶段。弹性变形是指卸载后可以恢复或消失的变形；塑 性变形是指卸载后不能恢复而残留下来的变形。在传统上，弹性力学研究弹性 变形阶段的力学问题，塑性力学研究塑性变形阶段的力学问题。实际上，弹性阶 段与塑性阶段是整个变形过程中的两个连续阶段，且结构内部可能同时存在弹 性区和塑性区。因此，实际结构的变形分析常需要同时应用弹性力学和塑性力 学的知识，将两部分内容有机地结合起来便构成弹塑性力学的内容
第1章弹塑性力学概论 1.1.2研究对象 我们己经知道，材料力学基本上只研究杆件：结构力学主要是在材料力学的 基础上研究杆件系统：而弹塑性力学的研究对象则可以是各种固体，特别是各种 结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构、机械设备、堤坝边坡、建筑 地基、洞室围岩，等等。 弹塑性力学也研究梁的弯曲、柱的扭转等问题，然而采用的假设和研究方法 与材料力学不尽相同，分析结果也就不同。例如，在材料力学中研究梁的弯曲时 采用了平截面假设，得出的解答是近似的：而弹性力学则不必作这种假设，所得 结果也比较精确，且可用来校核材料力学的近似解答。此外，弹塑性力学研究的 非圆截面柱的扭转、孔洞附近的应力集中等问题，都不是材料力学和结构力学的 简单方法所能解决的。 当然，弹塑性理论是针对理想模型建立起来的，例如弹性理论就假定其对象 为理想弹性体，弹性体就是实际物体的力学模型。事实上，对于任何复杂事物的 分析，其出发点都将是对现实事物进行逼真而又可行的理想化，以建立理想模 型。分析的可靠性和实用价值主要取决于在确立模型时对研究对象的认识，以 及对客观存在的各种有关控制条件和参数的正确反映程度（文献43）。 1.1.3任务和目的 弹塑性力学的基本任务在于，针对实际问题建构力学模型和微分方程并设 法求解它们，以获得结构在荷载作用下产生的变形、应力分布及结构强度等。 学科发展到现在，其理论体系基本上已经完善。对于一些较为简单的问题， 获得了解析解答。由于计算技术的高度发展，目前即使那些非常复杂的弹塑性 力学问题也可以方便地求得数值解了。不过，还有一项实质性的任务有待完善， 即发展描述材料变形特性的本构理论，它包括材料的变形机理、本构方程（例如 应力与应变之间的关系)及特性参数。本构理论是弹塑性力学分析的物理基础， 其重要性显而易见。 采用弹塑性力学进行结构分析，其目的在于为结构设计提供科学依据。在 结构设计中，若将结构变形限制在弹性范围以内，则称为弹性设计。这种设计只 以弹性力学分析结果为依据。在某些情况下，结构物按弹性设计并采用较大的 安全系数以确保安全是必要的。然而，在实际工程中，弹性设计会遇到很多问 题。如果规定结构必须在弹性状态下工作，则意味着只要结构中某“危险点”的 应力达到弹性极限，结构就“破坏”或“失效”。这种设计在一定程度上将造成浪 费。我们知道，结构内部的应力分布通常是很不均匀的，当“危险点”达到弹性极 限时，结构的绝大部分却在过分安全的状态下工作，故材料未能充分发挥其潜在
１１２ 研究对象 我们已经知道，材料力学基本上只研究杆件；结构力学主要是在材料力学的 基础上研究杆件系统；而弹塑性力学的研究对象则可以是各种固体，特别是各种 结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构、机械设备、堤坝边坡、建筑 地基、洞室围岩，等等。 弹塑性力学也研究梁的弯曲、柱的扭转等问题，然而采用的假设和研究方法 与材料力学不尽相同，分析结果也就不同。例如，在材料力学中研究梁的弯曲时 采用了平截面假设，得出的解答是近似的；而弹性力学则不必作这种假设，所得 结果也比较精确，且可用来校核材料力学的近似解答。此外，弹塑性力学研究的 非圆截面柱的扭转、孔洞附近的应力集中等问题，都不是材料力学和结构力学的 简单方法所能解决的。 当然，弹塑性理论是针对理想模型建立起来的，例如弹性理论就假定其对象 为理想弹性体，弹性体就是实际物体的力学模型。事实上，对于任何复杂事物的 分析，其出发点都将是对现实事物进行逼真而又可行的理想化，以建立理想模 型。分析的可靠性和实用价值主要取决于在确立模型时对研究对象的认识，以 及对客观存在的各种有关控制条件和参数的正确反映程度（文献４３）。 １１３ 任务和目的 弹塑性力学的基本任务在于，针对实际问题建构力学模型和微分方程并设 法求解它们，以获得结构在荷载作用下产生的变形、应力分布及结构强度等。 学科发展到现在，其理论体系基本上已经完善。对于一些较为简单的问题， 获得了解析解答。由于计算技术的高度发展，目前即使那些非常复杂的弹塑性 力学问题也可以方便地求得数值解了。不过，还有一项实质性的任务有待完善， 即发展描述材料变形特性的本构理论，它包括材料的变形机理、本构方程（例如 应力与应变之间的关系）及特性参数。本构理论是弹塑性力学分析的物理基础， 其重要性显而易见。 采用弹塑性力学进行结构分析，其目的在于为结构设计提供科学依据。在 结构设计中，若将结构变形限制在弹性范围以内，则称为弹性设计。这种设计只 以弹性力学分析结果为依据。在某些情况下，结构物按弹性设计并采用较大的 安全系数以确保安全是必要的。然而，在实际工程中，弹性设计会遇到很多问 题。如果规定结构必须在弹性状态下工作，则意味着只要结构中某“危险点”的 应力达到弹性极限，结构就“破坏”或“失效”。这种设计在一定程度上将造成浪 费。我们知道，结构内部的应力分布通常是很不均匀的，当“危险点”达到弹性极 限时，结构的绝大部分却在过分安全的状态下工作，故材料未能充分发挥其潜在 ２ 第１章 弹塑性力学概论
1.2基本假定 的性能。此外，有些情况下结构内的局部塑性变形是不可避免的，例如存在奇异 性应力集中的结构。遇到这些问题，经验丰富的设计师可以对弹性计算结果加 以修正，或选取适当的安全系数。但是，这种方法己经超出了弹性分析的范围， 不再具有严密的理论根据了（文献39）。 结构物内局部高应力区进入塑性状态并不可怕。事实上，对于大多数材料 而言，超过弹性极限后还能继续承担应力，只是应变要大些且产生部分不可恢复 的塑性变形。如果允许出现局部塑性变形，其他材料单元将承受更大的应力，从 而提高整个结构的承载能力。实践表明，在保证一定安全度的情况下，进行弹塑 性设计或塑性设计（即考虑塑性变形的影响）可带来显著的经济效益。此时，需 要研究的问题有：在一定的荷载作用下将产生多大的塑性变形及塑性区？这种 塑性变形和塑性区对结构功能的正常发挥具有怎样的影响？解决这些问题需要 弹塑性力学方面的知识。 1.2基本假定 弹塑性力学研究宏观物体的力学行为，故以牛顿Newton)力学作为理论基 础。此外，通常还要引进一些假设以使问题变得可以分析和求解。有些假设是 必需的（例如连续性假设）：而辅助性假设（例如均匀性假设）则是为简化问题的 处理而引入的，它们并不对弹塑性理论的基本架构产生实质性的影响。 需要指出的是，我们必须仔细研究各种假设的物理意义及其对解答的影响， 从而明确假设的作用以及基于假设的理论之适用条件。 1.2.1连续性假设 连续性假设有两层含义：(1)物质点无空隙地分布于物体所占据的整个空 间：②)物体在变形过程中仍保持连续性，不出现开裂或重叠现象。显然，在连续 性假定下，表征物体变形和内力的量就可以表示为坐标的连续函数。这样，我们 在进行弹塑性力学分析时，就可以应用数学分析这个强有力的工具。 连续性假设显然与介质由不连续的粒子所组成这一事实相矛盾。但是，采 用连续性假设不仅是为了避免数学上的困难，更重要的是根据它所做出的力学 分析，被广泛的实践证明是正确的。事实上，从统计学的观点来看，只要物体的 尺寸足够大，与晶体材料的晶粒或混合材料的颗粒相比数量级悬殊，就可以当作 连续介质来处理。 1.2.2辅助性假设 为了解析求解，通常需要引入辅助性假设。其中均匀性假设认为，物体内各
的性能。此外，有些情况下结构内的局部塑性变形是不可避免的，例如存在奇异 性应力集中的结构。遇到这些问题，经验丰富的设计师可以对弹性计算结果加 以修正，或选取适当的安全系数。但是，这种方法已经超出了弹性分析的范围， 不再具有严密的理论根据了（文献３９）。 结构物内局部高应力区进入塑性状态并不可怕。事实上，对于大多数材料 而言，超过弹性极限后还能继续承担应力，只是应变要大些且产生部分不可恢复 的塑性变形。如果允许出现局部塑性变形，其他材料单元将承受更大的应力，从 而提高整个结构的承载能力。实践表明，在保证一定安全度的情况下，进行弹塑 性设计或塑性设计（即考虑塑性变形的影响）可带来显著的经济效益。此时，需 要研究的问题有：在一定的荷载作用下将产生多大的塑性变形及塑性区？这种 塑性变形和塑性区对结构功能的正常发挥具有怎样的影响？解决这些问题需要 弹塑性力学方面的知识。 １２ 基 本 假 定 弹塑性力学研究宏观物体的力学行为，故以牛顿（Ｎｅｗｔｏｎ）力学作为理论基 础。此外，通常还要引进一些假设以使问题变得可以分析和求解。有些假设是 必需的（例如连续性假设）；而辅助性假设（例如均匀性假设）则是为简化问题的 处理而引入的，它们并不对弹塑性理论的基本架构产生实质性的影响。 需要指出的是，我们必须仔细研究各种假设的物理意义及其对解答的影响， 从而明确假设的作用以及基于假设的理论之适用条件。 １２１ 连续性假设 连续性假设有两层含义：（１）物质点无空隙地分布于物体所占据的整个空 间；（２）物体在变形过程中仍保持连续性，不出现开裂或重叠现象。显然，在连续 性假定下，表征物体变形和内力的量就可以表示为坐标的连续函数。这样，我们 在进行弹塑性力学分析时，就可以应用数学分析这个强有力的工具。 连续性假设显然与介质由不连续的粒子所组成这一事实相矛盾。但是，采 用连续性假设不仅是为了避免数学上的困难，更重要的是根据它所做出的力学 分析，被广泛的实践证明是正确的。事实上，从统计学的观点来看，只要物体的 尺寸足够大，与晶体材料的晶粒或混合材料的颗粒相比数量级悬殊，就可以当作 连续介质来处理。 １２２ 辅助性假设 为了解析求解，通常需要引入辅助性假设。其中均匀性假设认为，物体内各 １２ 基 本 假 定 ３
第1章弹塑性力学概论 点处物理力学性质相同，即特性参数不随位置坐标而变化。各向同性假设认为， 材料的性质与方向无关，即特性参数不随方向而变化。例如，在做某种金属拉伸 试验时，不管试件从铸锭的哪个方向切出，都不影响结果：与拉力垂直的各个方 向都有相同收缩。实际上，金属材料由微小晶体组成，晶体本身是各向异性的。 但是，由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为金属材 料是各向同性的。然而，有些材料则必须考虑各向异性，例如复合材料、木材 等 小变形假设指物体在外力作用下产生的变形与其本身几何尺寸相比很小， 可以不考虑因变形而引起的尺寸变化。这样，就可以用变形以前的几何尺寸来 建立各种方程。此外，应变的二阶微量可以忽略不计，从而使得几何方程线性 化。然而，对于大变形问题，必须考虑几何关系中的高阶非线性项，平衡方程也 该在变形后的物体上列出。 无初应力假设认为物体在外力作用以前，其内部各点应力均为零。分析计 算是从这种状态出发的，求得的应力仅仅是由于荷载变化产生的。若物体中有 初应力存在，则弹塑性理论求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。 1.2.3附加的假设 连续性假设和辅助性假设可称为基本假设，基于基本假设进行的分析通常 称为数学弹塑性力学。如果在此基本假设的基础上还引入其他附加假设以进 步简化问题，则属于应用弹塑性力学的范畴。例如，在柱体扭转问题中，引进了 附加的变形假设：在板壳力学分析中引入了变形和应力分布方面的假设。 1.3研究方法 1.3.1微元分析 在弹塑性力学问题中，为了根据已知量求出未知量，必须建立它们之间的关 系，即确立基本方程。在材料力学中，求物体中的内力常采用截面法，即假想将 物体剖开，取截面一边的部分物体作为脱离体，利用平衡条件以求得截面上的内 力。截面法也是弹塑性力学方法中的一部分，但是更为基本的方法是微元分析 法，即假想物体由无数个微分六面体（在内部）和无数个微分四面体（在边界处） 所组成，取微元体进行分析以建立基本方程。例如，考虑微元体的平衡，可写出 一组平衡微分方程和应力边界条件。 在弹塑性力学中，应力数总是超出平衡方程数，因此问题是超静定的，必须 考虑变形条件。一般地说，求解弹塑性力学问题须综合考虑平衡微分方程、几何
点处物理力学性质相同，即特性参数不随位置坐标而变化。各向同性假设认为， 材料的性质与方向无关，即特性参数不随方向而变化。例如，在做某种金属拉伸 试验时，不管试件从铸锭的哪个方向切出，都不影响结果；与拉力垂直的各个方 向都有相同收缩。实际上，金属材料由微小晶体组成，晶体本身是各向异性的。 但是，由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为金属材 料是各向同性的。然而，有些材料则必须考虑各向异性，例如复合材料、木材 等。 小变形假设指物体在外力作用下产生的变形与其本身几何尺寸相比很小， 可以不考虑因变形而引起的尺寸变化。这样，就可以用变形以前的几何尺寸来 建立各种方程。此外，应变的二阶微量可以忽略不计，从而使得几何方程线性 化。然而，对于大变形问题，必须考虑几何关系中的高阶非线性项，平衡方程也 该在变形后的物体上列出。 无初应力假设认为物体在外力作用以前，其内部各点应力均为零。分析计 算是从这种状态出发的，求得的应力仅仅是由于荷载变化产生的。若物体中有 初应力存在，则弹塑性理论求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。 １２３ 附加的假设 连续性假设和辅助性假设可称为基本假设，基于基本假设进行的分析通常 称为数学弹塑性力学。如果在此基本假设的基础上还引入其他附加假设以进一 步简化问题，则属于应用弹塑性力学的范畴。例如，在柱体扭转问题中，引进了 附加的变形假设；在板壳力学分析中引入了变形和应力分布方面的假设。 １３ 研 究 方 法 １３１ 微元分析 在弹塑性力学问题中，为了根据已知量求出未知量，必须建立它们之间的关 系，即确立基本方程。在材料力学中，求物体中的内力常采用截面法，即假想将 物体剖开，取截面一边的部分物体作为脱离体，利用平衡条件以求得截面上的内 力。截面法也是弹塑性力学方法中的一部分，但是更为基本的方法是微元分析 法，即假想物体由无数个微分六面体（在内部）和无数个微分四面体（在边界处） 所组成，取微元体进行分析以建立基本方程。例如，考虑微元体的平衡，可写出 一组平衡微分方程和应力边界条件。 在弹塑性力学中，应力数总是超出平衡方程数，因此问题是超静定的，必须 考虑变形条件。一般地说，求解弹塑性力学问题须综合考虑平衡微分方程、几何 ４ 第１章 弹塑性力学概论
1.4学科简史 方程、本构方程以及边界条件，它们统称为微分方程。这样，微元分析使问题归 结为求解微分方程。 1.3.2求解方法 弹塑性力学微分方程的求解方法可分为解析方法、近似方法和试验方法。 解析方法就是直接求解微分方程组的某种综合形式。对于大多数实际问题，由 于结构材料的非线性、几何形状不规则、边界条件复杂等原因，要得到解析解通 常是困难的，甚至是不可能的。 为了克服解析法的困难，提出了多种近似方法，例如变分法、有限差分法、有 限单元法等。它们都属于数值方法，其基本思路是将问题离散化，使无限自由度 问题变成有限自由度问题，从而得出近似解答。例如，有限差分法是将微分方程 离散为差分方程，得到问题求解的代数方程组：有限单元法则是把结构离散化， 最后也归结为求解代数方程组。无论何种离散化方法，都包含着这样一种近似： 当离散变量的数目逐渐增加时，离散系统如所期望的那样逼近于真实解。 结构试验（包括结构模型试验和实际结构试验）不同于材料试验，它是直接 求解弹塑性力学问题的试验方法。这种试验对于无法求得解析解的复杂结构具 有重要意义，而且试验结果还可以作为检验数值结果可靠性的依据。 1.4学科简史 1.4.1弹性理论 胡克R.Hooke,1635一1703)最先注意到材料的弹性，并于1678年提出变 形与外力成正比的著名定律。这是变形研究的开端，而此前人们所关注的是强 度与破坏问题，例如伽利略(Galileo)通过实验研究过构件的强度。不过，Hooke 定律的原始形式并不是应力和应变之间的关系，那时应力和应变的概念还未提 出。1687年牛顿(Newton)《自然哲学的数学原理》的出版标志着经典力学的建 立。但是，Newton三定律并不是变形体力学，而且至关重要的应力和应变概念 也还没有提出。 弹性力学的早期理论由3个人所架设，即柯西A.Cauchy,1789一1857)、纳 维(C.L.Navier,1785-1836)及圣维南(A.J.C.Saint Venant,1797-1886)。 1826年Navier提出假定：梁的横截面在弯曲时仍保持为平面。Cauchy于1828 年引进了应力和应变的概念，并推导出平衡微分方程和几何方程。因此，人们常 常以此为弹性力学的真正开端。St.Venant则提出了求解弹性力学问题的半逆 解法，给出了大量经典弹性力学问题的解答，并建立了著名的St.Venant原理
方程、本构方程以及边界条件，它们统称为微分方程。这样，微元分析使问题归 结为求解微分方程。 １３２ 求解方法 弹塑性力学微分方程的求解方法可分为解析方法、近似方法和试验方法。 解析方法就是直接求解微分方程组的某种综合形式。对于大多数实际问题，由 于结构材料的非线性、几何形状不规则、边界条件复杂等原因，要得到解析解通 常是困难的，甚至是不可能的。 为了克服解析法的困难，提出了多种近似方法，例如变分法、有限差分法、有 限单元法等。它们都属于数值方法，其基本思路是将问题离散化，使无限自由度 问题变成有限自由度问题，从而得出近似解答。例如，有限差分法是将微分方程 离散为差分方程，得到问题求解的代数方程组；有限单元法则是把结构离散化， 最后也归结为求解代数方程组。无论何种离散化方法，都包含着这样一种近似： 当离散变量的数目逐渐增加时，离散系统如所期望的那样逼近于真实解。 结构试验（包括结构模型试验和实际结构试验）不同于材料试验，它是直接 求解弹塑性力学问题的试验方法。这种试验对于无法求得解析解的复杂结构具 有重要意义，而且试验结果还可以作为检验数值结果可靠性的依据。 １４ 学 科 简 史 １４１ 弹性理论 胡克（ＲＨｏｏｋｅ，１６３５—１７０３）最先注意到材料的弹性，并于１６７８年提出变 形与外力成正比的著名定律。这是变形研究的开端，而此前人们所关注的是强 度与破坏问题，例如伽利略（Ｇａｌｉｌｅｏ）通过实验研究过构件的强度。不过，Ｈｏｏｋｅ 定律的原始形式并不是应力和应变之间的关系，那时应力和应变的概念还未提 出。１６８７年牛顿（Ｎｅｗｔｏｎ）《自然哲学的数学原理》的出版标志着经典力学的建 立。但是，Ｎｅｗｔｏｎ三定律并不是变形体力学，而且至关重要的应力和应变概念 也还没有提出。 弹性力学的早期理论由３个人所架设，即柯西（ＡＣａｕｃｈｙ，１７８９—１８５７）、纳 维（ＣＬＮａｖｉｅｒ，１７８５—１８３６）及 圣 维 南（ＡＪＣＳａｉｎｔＶｅｎａｎｔ，１７９７—１８８６）。 １８２６年 Ｎａｖｉｅｒ提出假定：梁的横截面在弯曲时仍保持为平面。Ｃａｕｃｈｙ于１８２８ 年引进了应力和应变的概念，并推导出平衡微分方程和几何方程。因此，人们常 常以此为弹性力学的真正开端。ＳｔＶｅｎａｎｔ则提出了求解弹性力学问题的半逆 解法，给出了大量经典弹性力学问题的解答，并建立了著名的ＳｔＶｅｎａｎｔ原理。 １４ 学 科 简 史 ５