结论:误差是不可避免的 在实际问题中求精确解是没有意义的,求近似解是正 常的。 问题是如何尽量减少误差,提高精度 在四种误差中,前2种是客观存在的,后2种是计算方 法引起的。本课程是研究数学问题的数值解法,因此 只涉及后2种误差
结论：误差是不可避免的 在实际问题中求精确解是没有意义的，求近似解是正 常的。 问题是如何尽量减少误差，提高精度 在四种误差中，前2种是客观存在的，后2种是计算方 法引起的。本课程是研究数学问题的数值解法，因此 只涉及后2种误差
绝对误差与绝对误差限 定义:设x*为精确值,x是ⅹ*的近似值,称e=x*-x为近似 值x的绝对误差,简称误差 绝对误差e可正可负,事实上由于精确值x无法知道,因 此也无法得到e的实际数值,只能知道误差的某个范围, 由此定义出绝对误差限ε。 定义:=-≤6为绝对误差限简称误差限 也可写为x=x±E
绝对误差与绝对误差限 定义：设x*为精确值，x是x*的近似值，称e=x*-x为近似 值x的绝对误差，简称误差。 绝对误差e可正可负，事实上由于精确值x无法知道，因 此也无法得到e的实际数值，只能知道误差的某个范围， 由此定义出绝对误差限。 = = − x x e x x * * : , , 也可写为 定义 为绝对误差限 简称误差限
相对误差与相对误差限 误差限的大小不能完全表示出近似值 的好坏,为了较好的反映出进似值的 精确程度,必须考虑误差与真值的比 值,即相对误差。 定义:设x为精确值,x是x的近似值, 称为近似值x的相对误差记作e 同样有相对误差限e|=
相对误差与相对误差限 误差限的大小不能完全表示出近似值 的好坏，为了较好的反映出进似值的 精确程度，必须考虑误差与真值的比 值，即相对误差。 r r r x x x e x e x x x x x x − = − * * * * , , : , , 同样有相对误差限 称 为近似值 的相对误差 记作 定义 设 为精确值 是 的近似值
有效数字 使用绝对误差表示一个数x±E,虽然表示了 精确程度,但是不适合于数值计算,希望用 数据本身表示精确程度 定义:如果近似值x的误差限是其某一位上的半个单 位,且该位直到x的第一位非零数字一共有n位,则 称近似值x有n位有效数字 例如:取近似值x1=173,则有3位有效数字,取 x2=17321,则有5位有效数字,取x32=1.7320,有4 位有效数字,因为它的误差已经超过0.5x104
有效数字 . , , , 数据本身表示精确程度 精确程度 但是不适合于数值计算 希望用 使用绝对误差表示一个数x 虽然表示了 定义：如果近似值x的误差限是其某一位上的半个单 位，且该位直到x的第一位非零数字一共有n位，则 称近似值x有n位有效数字。 例如： 取近似值x1=1.73，则有3位有效数字，取 x2=1.7321，则有5位有效数字，取x3=1.7320，有4 位有效数字，因为它的误差已经超过0.5x10-4
数据误差的影响 数值运算中由于数据的误差必然导致函数值的误 差,这种影响的分析比较复杂,一般采用泰勒级 数展开的方法来估计 例如计算y=f(x,x2)设x12x2为近似值, 其精确值为x,x2y的精确值为y, 因此误差函数为 e(y)=y-y=f(x1x2)-f(x12x2) (x1-x1)+ (x1,x2) af(,,x2) f( Ox
数据误差的影响 数值运算中由于数据的误差必然导致函数值的误 差，这种影响的分析比较复杂，一般采用泰勒级 数展开的方法来估计。 2 2 1 2 1 1 1 2 2 * 2 2 1 2 1 * 1 1 1 2 1 2 * 2 * 1, * * * 2 * 1 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) , , , ( , ), , , e x f x x e x f x x x x x f x x x x x f x x e y y y f x x f x x x x y y y f x x x x + = − − + = − = − = 因此误差函数为 其精确值为 的精确值为 例如计算 设 为近似值