二波函数和原子轨道 波函数乎的几何图象可以用来表示微观粒子活动的区域 1926年,奥地利物理学家薛定谔( Schodinger)提出 个方程,被命名为薛定谔方程。波函数平就是通过解 薛定谔方程得到的 球定谔方程 02,a2ay8元2m(E-VY=0(1) Ox 2 这是一个二阶偏微分方程 式中平波函数,E能量,Ⅴ势能,m微粒的质量, 兀圆周率,h普朗克常数
二 波函数和原子轨道 波函数 的几何图象可以用来表示微观粒子活动的区域。 1926 年，奥地利物理学家薛定谔（Schodinger ) 提出 一个方程，被命名为薛定谔方程。波函数 就是通过解 薛定谔方程得到的。 薛定谔方程 (E V) 0 (1) h 8 m x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 − = + + + 这是一个二阶偏微分方程 式中 波函数 ， E 能量 ， V 势能 ， m 微粒的质量， 圆周率 ， h 普朗克常数
偏微分符号 二阶偏微分符号 解二阶偏微分方程将会得到一个什么结果呢? 解代数方程,其解是一个数:x+3=5解得x=2 又已知f(x)=2x,则f(x)=x2, 确切说应为一组函数 f(x)=x2+C,C为常数。 这是解常微分方程,结果是一组单变量函数;偏微分方程的 解则是一组多变量函数。如F(x,y,z)等。 波函数平就是一系列多变量函数,经常是三个变量的函数。 我们解薛定谔方程去求电子运动的波函数,什么是已知? 已知条件是电子质量m和电子的势能V
2 2 2 2 2 2 z , y , x z , y , x 偏微分符号 二阶偏微分符号 解二阶偏微分方程将会得到一个什么结果呢 ？ 确切说应为一组函数 f ( x ) = x2 + C ， C 为常数。 这是解常微分方程，结果是一组单变量函数；偏微分方程的 解则是一组多变量函数。如 F ( x，y，z ) 等。 波函数 就是一系列多变量函数，经常是三个变量的函数。 我们解薛定谔方程去求电子运动的波函数，什么是已知？ 已知条件是电子质量 m 和电子的势能 V 。 解代数方程，其解是一个数： x + 3 = 5 解得 x = 2 又已知 f′( x ) = 2 x ， 则 f ( x ) = x 2
我们采取坐标变换的方法来解决(或者说简化)这一问题。 将三维直角坐标系变换成球坐标系。 将直角坐标三变量x,y,z变换成球坐标三变量r,θ,φ。 P为空间一点 rOP的长度 (0 θOP与z轴的夹角(0—π) φOP在X0y平面内的投影OP 与x轴的夹角0-2π) 根据r,θ,φ的定义,有 r sine cosq Q y= r sine sinφ Z r cos y2+
我们采取坐标变换的方法来解决（或者说简化）这一问题。 将三维直角坐标系变换成球坐标系。 r OP 的长度 （ 0 — ） OP 与 z 轴的夹角（ 0 — ） OP 在 xoy 平面内的投影OP′ 与 x 轴的夹角 （ 0 — 2 ） P 为空间一点 根据 r，， 的定义，有 x = r sin cos y = r sin sin z = r cos r 2 = x2 + y2 + z2 将直角坐标三变量 x，y，z 变换成球坐标三变量 r，，。 y z x o P P′ r
将以上关系代入薛定谔方程(1)中,经过整理,得到: arising 0(sin. O a0′r2sn202o h>(E+ 8兀2m )y=0 (2)式即为薛定谔方程在球坐标下的形式。经过坐标变换, 个变量不再同时出现在势能项中 如果我们把坐标变换作为解薛定谔方程的第一步,那么变量 分离则是第二步。 解薛定谔方程(2)得到的波函数应是乎(r,θ,φ)
（2）式即为薛定谔方程在球坐标下的形式。经过坐标变换， 三个变量不再同时出现在势能项中。 + + [ ] r sin θ φ 1 ) θ (sinθ r sinθ θ 1 ) r (r r r 1 2 2 2 2 2 2 2 将以上关系代入薛定谔方程（1）中， 经过整理，得到： )Ψ 0 (2) r Ze ( E h 8π m 2 2 2 + + = 如果我们把坐标变换作为解薛定谔方程的第一步，那么变量 分离则是第二步。 解薛定谔方程（2）得到的波函数应是 （ r，， ）
由薛定谔方程解出来的描述电子运动状态的波函数(有时是 波函数的线性组合),在量子力学上叫做原子轨道。它可以表示 核外电子的运动状态。 解出每一个原子轨道,都同时解得一个特定的能量E与之相 对应。对于氢原子来说 E=-13.6×二e 式中z是原子序数,n是参数,eV是能量单位。 在此,并不要求我们去解薛定谔方程,只要了解解薛定谔方 程的一般思路即可
由薛定谔方程解出来的描述电子运动状态的波函数（有时是 波函数的线性组合），在量子力学上叫做原子轨道。它可以表示 核外电子的运动状态。 解出每一个原子轨道，都同时解得一个特定的能量 E 与之相 对应。对于氢原子来说 eV n Z E 2 2 = −13.6 式中 z 是原子序数，n 是参数，eV 是能量单位。 在此，并不要求我们去解薛定谔方程，只要了解解薛定谔方 程的一般思路即可