2矢性函数的导数与微分 ●性质 设A=A(1),B=B(1)和=l()可导,则有: 1dc=0(c—常矢量) A±B da dB 3°a(k2)=ka(k—常数 4°,(ll)==,A+l
2 矢性函数的导数与微分 性质 设 ， 和 可导，则有： 1° （ ——常矢量） 2° 3° （k ——常数） 4° A A(t) = B B(t) = u = u(t) 0 c = dt d c dt dB dt dA A B dt d ( ) = dt dA kA k dt d ( ) = dt dA A u dt du uA dt d ( ) = + 11
2矢性函数的导数与微分 dA d B 人 5 .B+a dt A×B) xB+Ax 7°复合函数的导数 设A=A(),u=(t),则 dA
2 矢性函数的导数与微分 5° 6° 7°复合函数的导数 设 ， ，则： dt dB B A dt dA A B dt d ( ) = + dt dB B A dt dA A B dt d ( ) = + A A(u) = u = u(t) dt du du dA dt dA = 12
2矢性函数的导数与微分 例证明矢性函数0)的模为常数的充要条件是1.4=0。 dt 证:必要性: 若1=常数,则==常数 两边对t求导并利用运算法则5°,即可得到 da dt 充分性:若正a=0,则有 (4·A)=2A 因而=常数也就是=常数 13
2 矢性函数的导数与微分 13
2矢性函数的导数与微分 例已知A(1)与一非零常矢量B满足A()·B=1,又知A(t) 与B之间的夹角O为常数,试证明A(t)⊥A"(t) 证:A(),B=t两边对t求导得: A(t).B=l (2 cos0=1 为常数,园为常数, o为常数,由上一例题的结论得: ()⊥4"(r) 14
2 矢性函数的导数与微分 例 已知 与一非零常矢量 满足 ，又知 与 之间的夹角 为常数，试证明 A(t) B A t B = t ( ) A(t) B A(t) ⊥ A(t) 14
2矢性函数的导数与微分 o矢性函数的微分 A(1)在t处的微分定义为:dA=(t)t 显然d是一个矢量,且也在A(1)的矢端曲线l在t处 的切线方向上,但不恒指向增大的一方,当△t>0 时,与A()方向一致(增大一方);而当△<0时, 与A(t)相反((减小一方)。 由微分的定义可以将其用各分量的微分表示出来: da=A'(tdt=[A'(tx+A(t)y+ar(t)2]dt A'(ttx+A'(tdt y+ a'(t)dt E dA.x+dA y+dA
2 矢性函数的导数与微分 矢性函数的微分 在t处的微分定义为： 显然 是一个矢量，且也在 的矢端曲线l在t处 的切线方向上，但不恒指向t增大的一方，当 时，与 方向一致（t增大一方）；而当 时， 与 相反（t减小一方）。 由微分的定义可以将其用各分量的微分表示出来： A(t) dA = A(t)dt dA A(t) t 0 A(t) t 0 A(t) dA A t dt A t x A t y A t z dt x y z = ( ) = [ ( ) ˆ + ( ) ˆ + ( ) ˆ] A t dt x A t dt y A t dt z x y z = ( ) ˆ + ( ) ˆ + ( ) ˆ dA x dA y dA z x y z = ˆ + ˆ + ˆ 15