第六章微分中值定理及其应用 §1拉格朗日定理和函数的单调性 教学目标 1使学生深刻理解拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意 义。掌握它的证明方法,了解它在微分中 值定理中的地位 2通过知识学习,使学生初步具有应用中值定理进行分析论 证的能力,能用以证明某些有关的命题, 特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法。 3使学生学会应用拉格朗日中值定理研究函数在某区间上的某 些整体性质,如单调性,有界性等 4使学生掌握拉格朗日中值定理,领会其实质,为微分学的应 用打好坚实的理论基础。 罗尔定理与拉格朗日定理 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质,而研究 函数性质的最重要工具之一就是微分中 值定理,微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。 极值概念 1.回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:
1 第六章 微分中值定理及其应用 § 1 拉格朗日定理和函数的单调性 教学目标: 1 使学生深刻理解拉格朗日中值定理及其分析意义与几何意 义。掌握它的证明方法,了解它在微分中 值定理中的地位。 2 通过知识学习,使学生初步具有应用中值定理进行分析论 证的能力,能用以证明某些有关的命题, 特别是掌握通过构造辅助函数解决问题的办法。 3 使学生学会应用拉格朗日中值定理研究函数在某区间上的某 些整体性质,如单调性,有界性等。 4 使学生掌握拉格朗日中值定理,领会其实质,为微分学的应 用打好坚实的理论基础。 一 罗尔定理与拉格朗日定理 数学分析研究的基本对象是定义在实数集上函数的性质,而研究 函数性质的最重要工具之一就是微分中 值定理,微分中值定理主要指拉格朗日中值定理。 一. 极值概念: 1. 回忆极值的概念和可微极值点的必要条件:
定理( Ferma t) 设函数在点x的某邻域内有定义, 且在点和可导,若点为7的极值点, 则必有f(x0)=0 1、罗尔中值定理:若函数满足如下条件 (i)J在闭区间[a,b]上连续; (ii)在开区间(a,b)内可导 (ii)J(a)=f(), C y=f(r 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(5)=0 (分析)由条件(i)知在[a,b]上 有最大值和最小值,再由条件(i)及(ii),应用费马定理便可 得到结论 证明:因为在[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别用 M与m表示,现分两种情况讨论: (i)若M=m,则在[a,b]上必为常数,从而结论显然成立
2 定理 ( Fermat ) 设函数 在点 的某邻域内有定义, 且在点 可导,若点 为 的极值点, 则必有 1、罗尔中值定理:若函数 满足如下条件: (i) 在闭区间[a,b]上连续; (ii) 在开区间(a,b)内可导; (iii) , 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 (ξ)=0 (分析)由条件(i)知 在[a,b]上 有最大值和最小值,再由条件(ii)及(iii),应用费马定理便可 得到结论。 证明:因为 在[a,b]上连续,所以有最大值与最小值,分别用 M 与 m 表示,现分两种情况讨论: (i)若 M = m , 则 在[a,b]上必为常数,从而结论显然成立
(i)若m<M,则因J(a)=(b),使得最大值M与最小值m至 少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从 而ξ是的极值点,由条件(i)在点ξ处可导,故由费马定理推 知 f()=0 注1:罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上 如果曲线的两端点高度相等,则至少 存在一条水平切线。 注2:习惯上把结论中的ξ称为中值,罗尔定理的三个条件是充 分而非必要的,但缺少其中任何一个条 件,定理的结论将不一定成立,见下图: 缺条件2 缺条件3 例 x|<1 F(x)={0 2≤X≤-1 如 1,1≤x≤
3 (ii)若 m < M,则因 (a)= (b),使得最大值 M 与最小值 m 至 少有一个在(a,b)内某点ξ处取得,从 而ξ是 的极值点,由条件(ii) 在点ξ处可导,故由费马定理推 知 =0. 注 1:罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上, 如果曲线的两端点高度相等,则至少 存在一条水平切线。 注 2:习惯上把结论中的ξ称为中值,罗尔定理的三个条件是充 分而非必要的,但缺少其中任何一个条 件,定理的结论将不一定成立,见下图: 例 如:
x1=-2:-0.09;x2=-1;x3=-0.99:0.01:1;x4=1:2 x=[X1, x2, x3, x4]; y1=0*xl; y2=NaN; y3=X3. x3; y4=ones(siz y=[y1,y2,y3,y4];plot(x,y,’r’) axis(-2,2,-1.2,1.3]) 易见,F在x=1不连续,在x=±1不可导,F(-2)≠F(2),即 罗尔定理的三个条件均不成立,但是在 (-2,2)内存在点ξ,满足F5=0 注3:罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一,可能有一个,几个甚 至无限多个,例如:
4 x1=-2:-0.09; x2=-1; x3=-0.99:0.01:1; x4=1:2; x=[x1,x2,x3,x4];y1=0*x1;y2=NaN;y3=x3.^x3;y4=ones(siz e(x4)); y=[y1,y2,y3,y4]; plot(x,y,'r') axis([-2,2,-1.2,1.3]) 易见,F 在 x=-1 不连续,在 x=±1 不可导,F(-2)≠F(2), 即 罗尔定理的三个条件均不成立,但是在 (-2,2)内存在点 ξ, 满足 注 3:罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一,可能有一个,几个甚 至无限多个,例如:
X SII f(x 0,x=0 x=-0.2:0.005:0.2;y=(x.4).*(sin(1./x).2); X, y,r axis([0.2,0.2,-0.001,0.002]) 在[-1,1]上满足罗尔定理的条件, 4xsin 1-2x isin l cps f fx) 显然 0,x=0 在(-1,1)内存在无限多个cn=27(e2 使得f(n)=0。 2、拉格朗日( Lagrange)中值定理:若函数f满足如下条件: (i)f在闭区间[a,]上连续 (ii)f在开区间(a,b)内可导; 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
5 x=-0.2:0.005:0.2; y=(x.^4).*((sin(1./x)).^2); plot(x,y,'r') axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002]) 在 [-1,1] 上满足罗尔定理的条件, 显然 在(-1,1)内存在无限多个 = 使得 =0。 2、拉格朗日(Lagrange)中值定理:若函数 f 满足如下条件: (i)f 在闭区间[ ]上连续; (ii)f 在开区间( )内可导; 则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得