《电动力学》课程授课教案（讲稿）数学基础知识准备、第一章 电磁现象的普遍规律

课程名称：《电动力学》第周，第2讲次摘要电动力学数学基础知识准备2授课题目（章、节）本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握失量散度、旋度的一些定理，√算符的运算公式，熟悉曲线正交坐标系和轴对称情形下拉普拉斯方程的通解【重点】矢量散度、旋度常用定理，√算符的运算公式【难点】矢量散度、旋度常用定理，√算符的运算公式内容【本讲课程的引入】在掌握矢量场散度和旋度定义的基础上，本讲主要介绍矢量散度、旋度一些常用定理和√算符的运算公式等内容。【本讲课程的内容】1矢量散度、旋度常用定理直角坐标系中，矢量了的散度div了=√.了=标量axoyaz-eTea6arot=Vx=矢量了的旋度矢量axdya2J.f.J,(1)常用的积分变换式ds-[v.jdv.di-[,vxfds(2)标量场的梯度必为无旋场，即V×V0=0证明：标量场的梯度为一矢量，所以可假设了=Vβ，则（X方向的分量）有Vx(V), =(V×j)af,of,a()a(0pazayazayayazayazazay=0V×V0=0同理可证其它分量，因此有：

课程名称：《电动力学》 第 周，第 2 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 电动力学数学基础知识准备 2 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握矢量散度、旋度的一些定理，  算符的运算公式，熟悉曲线正交 坐标系和轴对称情形下拉普拉斯方程的通解 【重 点】矢量散度、旋度常用定理，  算符的运算公式 【难 点】矢量散度、旋度常用定理，  算符的运算公式 内 容 【本讲课程的引入】在掌握矢量场散度和旋度定义的基础上，本讲主要介绍矢量散度、旋 度一些常用定理和  算符的运算公式等内容。 【本讲课程的内容】 1 矢量散度、旋度常用定理 直角坐标系中，矢量 f 的散度 div f =   f = z f y f x f x y z   +   +   标量 矢量 f 的旋度 rot f =   f = x y z x y z f f f x y z e e e       矢量 (1)常用的积分变换式 f dS f dV  V  =  f dl f dS  S  =  (2)标量场的梯度必为无旋场，即    0 证明：标量场的梯度为一矢量，所以可假设 f =  ，则（X 方向的分量）有 x x () = ( f ) = ( ) ( ) z y z z y f y f z y     −     =   −     =0 同理可证其它分量，因此有：    0 ( ) ( ) y z z y    =      

(3)矢量场的旋度必为无源场V.Vxf=0证明：(×))+f)+a(ofof)7a)0axazaxayaxayozayazayazazay=0(4)无旋场必可表为标量场的梯度若×F=0则=(5)无源场必可表为另一矢量的旋度V.Vx=02√算符的运算2.1正交曲线坐标系中√运算的表达式（1）度量系数设xyz是某点的笛卡儿坐标，x1,x2,x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为d1?= dx?+ dy? + dz?=hdx+hdx +h dx?其中+(+(h.=(i= 1,2,3)Vax,Cox,ax称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数hl,h2,h3来描述。(2)哈密顿算符√、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符√在正交曲线坐标系下的一般表达式1aa1aalaeV=efe,h,Ox,Eh, ax?Pe3h,Cxs100+10+10Vo=ee+ehaxeh,Ox2hgCx1a0aV.A=(h,h,A)+(h,h,A2)+(h,h,A,)ax;hihzh,[axiax21ahh,0gaahh,ophhiopV'0-h,h,h, [ax,h,oxOx2hzox2Ox,hOx

(3)矢量场的旋度必为无源场   f  0 证明：   (  f )= ( ) ( ) ( ) y f x f x z f z f z y f y f x z y x z y x   −     +   −     +   −     =0 (4)无旋场必可表为标量场的梯度 若   f = 0 ，则 f =  (5)无源场必可表为另一矢量的旋度   f  0 2  算符的运算 2.1 正交曲线坐标系中  运算的表达式 （1）度量系数 设 x,y,z 是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3 是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为 其中 称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数 h1, h2, h3 来描述。 (2)哈密顿算符  、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 2  在正交曲线坐标系下的一般表达 式 ( ) ( ) y z z y    =      

he,h,e,h,e,10aaVXA=Ox,Ox:hh,h,Oxh,A,h,Ah,A,e「a0(h,A,)(h,A,)h,h,[ox.Ox,0e,a(h,A)-(h,A,)hhe[ox,Ox,+[hα(hA)1(h,A)-hh,[axiax2其中e,e2e为正交曲线坐标系的基；=p(x,X2xs)是一个标量函数；A=A(x,X2,X3）=Ae+Ae2+Ae,是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中，V"=(V-4)+(V"A)e，+(V"4A)。在其它正交坐标系中,(V?A), +V?A(3)不同坐标系中的微分表达式a）笛卡儿坐标xl=x，x2=y，x3=zhl=1,h2=1,h3=1Z. (z)Z为常数平面为常数平面tyx为常数平面--0-0 op+apV=eVo=ex+e+e+e.+ ey2Ozoxayozaxay.e,eaaAOA,+OA0aV.A-VXA=azaxayzaxayAAAp.op.pV?A=(V"A)e +(V"A1.)e,+(VA,)eV04"y?oz2Ox?b)圆柱坐标系(一个垂直于Z轴的平面、一个以Z轴为旋转轴的平面和一个以Z轴为轴心的圆柱面三个面组成）坐标变量：xl=rx2=0x3=z与笛卡儿坐标的关系：Z=Z，拉梅系数:h1=1h2=rh3=1x=rcosy=rsino

其中 e1,e2,e3 为正交曲线坐标系的基矢；  = (x1,x 2,x 3 ) 是一个标量函数； A = A(x1,x 2,x 3 ) = A1e1 + A2e2 + A3e3 是一个矢量函数， 只有在笛卡儿坐标系中， 。在其它正交坐标系中, 。 (3)不同坐标系中的微分表达式 a) 笛卡儿坐标 x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1 z e y e x ex y z   +   +    = , z e y e x ex y z   +   +    =       A = z A y A x A x y z   +   +   , x y z x y z A A A x y z e e e A         = 2 2 2 2 2 2 2 x y z  +   +    =     , b) 圆柱坐标系(一个垂直于 Z 轴的平面、一个以 Z 轴为旋转轴的平面和一个以 Z 轴为轴 心的圆柱面三个面组成) 坐标变量: x1= r x2=φ x3= z 与笛卡儿坐标的关系： x=rcosφ y=rsinφ z= z, 拉梅系数: h1=1 h2=r h3=1

为常数平面J为常数柱面C-中为常数平面e,xe=ezaaaOu1ou-OuVu=e,V=e.+e,+eo+es+810z?2Orarroprod10AgV.A-l0aA,(rA,)+ForOzrdFa0aaaVxA-or00OzA,rApAaA10A,aAraA,[1010A,2)0g+e,+(=((rA)rodCzOzorrorrog球坐标系（球面、内切圆平面和圆锥面三个曲面组成）c)z(r,0,0)0为常数平面V9*为常数平面+为常数平面Ye,xeg=es坐标变量：x=1，x2=0,x=0与笛卡儿坐标的关系：x=rsinecos，y=rsinesing，z=rcose拉梅系数：h=1,h,=r，h,=rsinoa101V=e,+eg+earroersineosou1 u1uVu=e,+e.+eeorr0rsingos10A1a1aV.A--(r?A.) +(sin QA,) +r2Orrsineaersineas

er  e = ez , c) 球坐标系（球面、内切圆平面和圆锥面三个曲面组成） er  e = e 坐标变量： 与笛卡儿坐标的关系： , 拉梅系数：

11eee-rsinersine1aAg0a0aVXA-(sin GA)ersine00dOr00adArrsin ArAe10A,a0A.(rA)ee-a0Orsine02.2√算符的常用运算公式（说明、代表标量场，f、g代表失量场）(l)p)=p+y(2) V. (pf) = Vpf +pv.f(3) ×(pf) = ×+×(4)V: V = V2p只()+(9)+(9)证明：V.(V)=oxoxdyayozozp-Oz2x?Qy?= V?p(5) × (V×) = V(V. ) - V2类似于 C×(A×B)=(C.B)A-(C.A)B3轴对称情形下拉普拉斯方程的通解+0(sin00%)a(,ow)在轴对称情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为("r）sinoaole，用分离变量法解此方程。设(r,0)=R(r)0(0),代入上式，得1 d (,dR)1(sinod0)Rdr(dr)Osinodoldo此式左边为r的函数，右边为的函数，！只有当它们都等于常数时才有可能相等。令此常数为n(n+1)，则得两个方程：d(,dR)drdo)sing-n(n+1)R=0+ n(n +1)sin 60 = 0drdrdedolbR=a,rn+1容易求出解：a，b,为任意常数，由边界条件确定。作代换变换角度方程5=cosO

2.2  算符的常用运算公式（说明  、 代表标量场， f 、g 代表矢量场） (1) () =  +  (2)   (f ) =   f +   f (3)   (f ) =   f +   f (4)   2    =  证明： ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y z z    +     +        =     2 2 2 2 2 2 x y z  +   +   =     2 =  (5) f f f 2  (  ) = (  ) −  类似于 C  (A B) = (C  B)A − (C  A)B 3 轴对称情形下拉普拉斯方程的通解 在轴对称情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为 ，用分离变 量法解此方程。 设 ，代入上式，得 此式左边为 r 的函数，右边为 θ 的函数，只有当它们都等于常数时才有可能相等。 令此常数为 n(n+1), 则得两个方程： ， 容易求出解： ，an,bn 为任意常数，由边界条件确定。 作代换变换角度方程