1.2映射f(a)=b. g(f(a))=g(b)=c图1.6:复合映射的过程4im(f)YXgof9V图17复合映射HEMA命题1.4（复合映射的结合律）设f:X-→Y, g:Y→Uh:U→V,那么映射(hog)of:X→V与ho(gof):X→V均是良定义的，且(1.9)(hog)of =ho(gof)即满足复合的结合律这应当是显然的，但要提醒的是，映射的良定义是应当被验证的，毕竞你给出了一个构造，它是否真的是一个映射还是得验证一下，不是想当然的.有了这个命题，我们知道，（hg)f和ho（gf）其实是一个东西，所以我们干脆直接简写为hogof.当然，对于更多的映射也是一样，可以归纳地证明结合律1.2.3满射，单射，双射与逆映射然后是映射的性质：定义1.23（单射，满射与双射）设f：X→Y为映射，那么称f为满射（Surjective)，若im(f) = Y.(1.10)称f 为单射(Injective),若(1.11)f(r) =f(y) →=y,Va,ye X.称f为双射（Bijective)，若f既是单射又是满射17
1.2 映射 图 1.6: 复合映射的过程 图 1.7: 复合映射 命题 1.4 (复合映射的结合律) ♠ 设 f : X → Y, g : Y → U, h: U → V , 那么映射 (h ◦ g) ◦ f : X → V 与 h ◦ (g ◦ f): X → V 均是 良定义的, 且 (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f). (1.9) 即满足复合的结合律. 这应当是显然的, 但要提醒的是, 映射的良定义是应当被验证的, 毕竟你给出了一个构造, 它是否真 的是一个映射还是得验证一下, 不是想当然的. 有了这个命题, 我们知道, (h ◦ g) ◦ f 和 h ◦ (g ◦ f) 其实是 一个东西, 所以我们干脆直接简写为 h ◦ g ◦ f. 当然, 对于更多的映射也是一样, 可以归纳地证明结合律. 1.2.3 满射, 单射, 双射与逆映射 然后是映射的性质： 定义 1.23 (单射, 满射与双射) ♣ 设 f : X → Y 为映射, 那么称 f 为满射 (Surjective), 若 im(f) = Y. (1.10) 称 f 为单射 (Injective), 若 f(x) = f(y) ⇒ x = y, ∀x, y ∈ X. (1.11) 称 f 为双射 (Bijective), 若 f 既是单射又是满射. 17
1.2映射这个定义可以类比理解，比方说你在打靶，你的弹药是定义域，所有靶子是到达域，你的射击就是对应法则，假设你所有子弹都达到靶子上了，那么满射指的是你的每一个靶子都被子弹击中过，单射指的是你不同的子弹打到了不同的靶子上，双射就是不同子弹打不同靶子，而且靶子全都被打了，也就是说，靶子和子弹存在一一对应（One-to-onecorrespondence)满射，单射，双射的图像如下：YXXXBijectiveSurjective, not injectiveInjective, not surjective图1.8：满射，单射与双射的图像示例第一幅是个满射，但不是单射；第二幅图是个单射，但不是满射；第三幅图是个双射.大家可以想想怎么回事2笔记事实上，如果X和Y之间存在双射，那么X和Y应当是一一对应的，这说明X和Y的元素个数应当一致，也就是说X和Y应当具有相同的势，事实上，一个更严谨的势的定义应当是从双射出发的：定义1.24（集合的势Ⅲ一个集合被称作为有限的，若存在一个从A到N的子集的双射也就是说，A是有限集，如果A是空集或者存在一个自然数n与双射f：(1.12)f: A→[1,..,n]若A为空集，称A的势为0,而另外一种情况下，A的势为n.尽管这么定义看起来比本书开头的定义更加复杂，但不可否认，这个定义更加严谨，而且提供了种对势的数学描述.因此我们有下面的极其重要而实用的推论，它告诉了我们如何判断集合等势：推论13（等势的判别法）对集合X与YCard(X) = Card(Y) 台日 f : X → Y为双射.下面的命题提供了判断映射是否为双射的一个方法命题1.5设f:X→Y为映射,那么f为双射当且仅当存在映射g:Y→X使得gof=idx,且fog=idy,在这种情况下，9由f唯一确定证明我们先证充分必要："="：假设f为双射，由于f是满射，对yE,f-1((y))非空，由于f为单射，Ef-1((y))唯一，于是我们只需要定义：g:Y→X,yef-(()(1.13)18
1.2 映射 这个定义可以类比理解, 比方说你在打靶, 你的弹药是定义域, 所有靶子是到达域, 你的射击就是对 应法则, 假设你所有子弹都达到靶子上了, 那么满射指的是你的每一个靶子都被子弹击中过, 单射指的 是你不同的子弹打到了不同的靶子上, 双射就是不同子弹打不同靶子, 而且靶子全都被打了, 也就是说, 靶子和子弹存在一一对应 (One-to-one correspondence). 满射, 单射, 双射的图像如下： 图 1.8: 满射, 单射与双射的图像示例 第一幅是个满射, 但不是单射; 第二幅图是个单射, 但不是满射; 第三幅图是个双射. 大家可以想想 怎么回事. 笔记 事实上, 如果 X 和 Y 之间存在双射, 那么 X 和 Y 应当是一一对应的, 这说明 X 和 Y 的元素个数 应当一致, 也就是说 X 和 Y 应当具有相同的势. 事实上, 一个更严谨的势的定义应当是从双射出发的： 定义 1.24 (集合的势 II) ♣ 一个集合被称作为有限的, 若存在一个从 A 到 N 的子集的双射. 也就是说, A 是有限集, 如果 A 是 空集或者存在一个自然数 n 与双射 f： f : A → {1, · · · , n} (1.12) 若 A 为空集, 称 A 的势为 0, 而另外一种情况下, A 的势为 n. 尽管这么定义看起来比本书开头的定义更加复杂, 但不可否认, 这个定义更加严谨, 而且提供了一 种对势的数学描述. 因此我们有下面的极其重要而实用的推论, 它告诉了我们如何判断集合等势： 推论 1.3 (等势的判别法) ♥ 对集合 X 与 Y Card(X) = Card(Y ) ⇔ ∃ f : X → Y 为双射. 下面的命题提供了判断映射是否为双射的一个方法： 命题 1.5 ♠ 设 f : X → Y 为映射, 那么 f 为双射当且仅当存在映射 g : Y → X 使得 g◦f = idX, 且 f ◦g = idY , 在这种情况下, g 由 f 唯一确定. 证明 我们先证充分必要： “⇒”：假设 f 为双射, 由于 f 是满射, 对 ∀ y ∈ Y, f −1 ({y}) 非空, 由于 f 为单射, x ∈ f −1 ({y}) 唯 一, 于是我们只需要定义： g : Y → X, y 7→ x ∈ f −1 ({y}) (1.13) 18
1.2映射即可.“"：由fog=idy立得f为满射，因为对vyeY,f(g(y))=y,而g(y)EX.再对a,yEX s.t.f(a)= f(y),由 gof =idx,有(1.14)g(f(r))=g(f(y))→a=y,从而f是单射因此充分必要性成立.下证9的唯一性：若除9外还有h：Y一→X满足条件，那么由命题1.4，我们有：(1.15)g=goidy=go(foh)=(gof)oh=idxoh=h,从而9由f唯一确定，这个命题启示我们，对于双射来讲，它可以唯一确定另外一个映射，这是十分重要的定义1.25（映射的逆）设f:X→Y为双射,则f 的逆映射(Inversemap),记为f-1,它是唯一的映射 f-1:Y →X使得fof-1 =idy且f-lof =idx.R这个定义也是十分自然的.我们在这里给出另外一个命题留作习题，它是直观上显然的：命题1.6设f:X→Y 与 g:Y→V为双射,那么 gof:X→Y 为双射,且:(g o f)-1 = f-1 og-1.(1.16)BA1.2.4集合值映射再谈回逆映射，你注意到逆映射事实上就是从值域（在这里也就是到达域）对应回其原像的过程，而这个过程作为映射是良定义的，但对于一般的映射而言，值域中的元素的原像极有可能是一个集合，因此我们不能将其视作映射，不过，如果我们引人这么一个概念：定义1.26（集合值映射）设 f:X→Y为映射,它诱导了两个集合值映射(Set valuedmap):f: P(X) →P(Y), A-f(A),f-1: P(Y) →P(X),BH f-1(B),(1.17)使用相同的符号来表示两个不同的映射并不会造成混乱，因为其具体内容可从上下文获知那么，对于f非双射，它诱导了唯一的集合值映射于-1,简便起见，我们直接用f-1(g)来代替f-1((y))即f在y处的纤维。在本节的最后，我们丢一个命题命题1.7以下命题对f诱导的集合值映射均成立：1. ACBCX → f(A)Cf(B);2. A, C X, ViE I =→ f(U; A,) =U, f(A,);3. AiCX, VieI →f(n,A)Cn,f(Ai);19
1.2 映射 即可. “⇐”：由 f ◦ g = idY 立得 f 为满射, 因为对 ∀ y ∈ Y, f(g(y)) = y, 而 g(y) ∈ X. 再对 x, y ∈ X s.t.f(x) = f(y), 由 g ◦ f = idX, 有 g(f(x)) = g(f(y)) ⇒ x = y, (1.14) 从而 f 是单射. 因此充分必要性成立. 下证 g 的唯一性： 若除 g 外还有 h : Y → X 满足条件, 那么由命题1.4, 我们有: g = g ◦ idY = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = idX ◦ h = h, (1.15) 从而 g 由 f 唯一确定. 这个命题启示我们, 对于双射来讲, 它可以唯一确定另外一个映射, 这是十分重要的： 定义 1.25 (映射的逆) ♣ 设 f : X → Y 为双射, 则 f 的逆映射 (Inverse map), 记为 f −1 , 它是唯一的映射 f −1 : Y → X 使 得 f ◦ f −1 = idY 且 f −1 ◦ f = idX. 这个定义也是十分自然的. 我们在这里给出另外一个命题留作习题, 它是直观上显然的： 命题 1.6 ♠ 设 f : X → Y 与 g : Y → V 为双射, 那么 g ◦ f : X → Y 为双射, 且： (g ◦ f) −1 = f −1 ◦ g −1 . (1.16) 1.2.4 集合值映射 再谈回逆映射, 你注意到逆映射事实上就是从值域 (在这里也就是到达域) 对应回其原像的过程, 而 这个过程作为映射是良定义的, 但对于一般的映射而言, 值域中的元素的原像极有可能是一个集合, 因 此我们不能将其视作映射. 不过, 如果我们引入这么一个概念： 定义 1.26 (集合值映射) ♣ 设 f : X → Y 为映射, 它诱导了两个集合值映射 (Set valued map)： f : P(X) → P(Y ), A 7→ f(A), f −1 : P(Y ) → P(X), B 7→ f −1 (B). (1.17) 使用相同的符号 f 来表示两个不同的映射并不会造成混乱, 因为其具体内容可从上下文获知. 那么, 对于f 非双射, 它诱导了唯一的集合值映射f −1 , 简便起见, 我们直接用 f −1 (y) 来代替f −1 ({y}), 即 f 在 y 处的纤维. 在本节的最后, 我们丢一个命题： 命题 1.7 以下命题对 f 诱导的集合值映射均成立： 1. A ⊆ B ⊆ X ⇒ f(A) ⊆ f(B); 2. Ai ⊆ X, ∀ i ∈ I ⇒ f( S i Ai) = S i f(Ai); 3. Ai ⊆ X, ∀ i ∈ I ⇒ f( T i Ai) ⊆ T i f(Ai); 19
1.3数列与极限初步4. AC X → f(AC)2 f(X) \f(A);5. A'C B' Y =→ f-1(A) ≤ f-1(B');6. A, C Y,ViE I → f-1(U, A') =U, f-1(A');7.ACY,ViI→f-1(NA)=nf-1(A)8. A' C Y → f-1(AC) =[f-1(A)]C.此外，若g：Y→V是另外一个映射，那么(gof)-1=f-1og-1证明留作习题事实上，你注意到集合值映射f-1是保持集合运算的，但f却并非如此，从命题1.7的3,4便可见一斑.最后提一个记号：我们记从X到Y的全体映射为YX，也就是说.yx :=(f I f: X -→Y).数理咖啡厅1.3数列与极限初步THEMATICALCAFE1.3.1数列的定义你还记得你小学时做过的题目吗：找规律：2,4,8，-,32，·把这些题目概括一下就是：给你按规律排的数字，你要试着去发掘这个规律并按规律来预测中间或后面的数字，你研究的对象是一堆按规律排好的数，这样的需求无处不在，因此我们很有必要去了解并学习相关的理论，首先，我们要给它一个名字，既然是按顺序排列的数，那不妨管它叫“数列”，顾名思义，就是数的序列.它的要素也很显然，数，以及数之间的排列顺序.既然这里存在顺序，你可能会联想到序关系（见第六章第一节），这个序关系应当与数本身的大小关系无关，它取决于你自己的意愿。在直观的感受后，我们如何去严谨地描述数列呢？首先你得知道你准备考虑哪些数，自然，这些数会构成一个集合，但集合是无序的，仅仅把这些数不加任何处理地丢到集合里面去，是不能辨别它们的顺序的。我们采取的策略是给数打上“标签”，以“标签”的序来代表这些数的序关系即，有下面的定义：定义1.27（数列）一个数列(Sequence)指的是一列数：ai,a2,,an，nEN,记为[an]。允许n趋于无穷。一个更严谨的定义方式为：(1.18)[an] := [(i,ai) [i= 1, .--,n)CN × A这里A为数列中元素组成的集合，【anl上配有字典序2根据元素所在数域的不同，也可以称数列为整数列，有理数列，实数列等，这无伤大雅例题1.41.1,2,，n是整数列；20
1.3 数列与极限初步 ♠ 4. A ⊆ X ⇒ f(AC) ⊇ f(X) \ f(A); 5. A′ ⊆ B′ ⊆ Y ⇒ f −1 (A′ ) ⊆ f −1 (B′ ); 6. A′ i ⊆ Y, ∀ i ∈ I ⇒ f −1 ( S i A′ i ) = S i f −1 (A′ i ); 7. A′ i ⊆ Y, ∀ i ∈ I ⇒ f −1 ( T i A′ i ) = T i f −1 (A′ i ); 8. A′ ⊆ Y ⇒ f −1 (A′C) = [f −1 (A′ )]C. 此外, 若 g : Y → V 是另外一个映射, 那么 (g ◦ f) −1 = f −1 ◦ g −1 . 证明留作习题. 事实上, 你注意到集合值映射 f −1 是保持集合运算的, 但 f 却并非如此, 从命题1.7的 3,4 便可见一 斑. 最后提一个记号：我们记从 X 到 Y 的全体映射为 Y X, 也就是说 .Y X := {f | f : X → Y }. 1.3 数列与极限初步 1.3.1 数列的定义 你还记得你小学时做过的题目吗： 找规律：2, 4, 8, _, 32, · · · 把这些题目概括一下就是：给你按规律排的数字, 你要试着去发掘这个规律并按规律来预测中间或后 面的数字. 你研究的对象是一堆按规律排好的数. 这样的需求无处不在, 因此我们很有必要去了解并学 习相关的理论. 首先, 我们要给它一个名字, 既然是按顺序排列的数, 那不妨管它叫 “数列”, 顾名思义, 就是数的序 列. 它的要素也很显然, 数, 以及数之间的排列顺序. 既然这里存在顺序, 你可能会联想到序关系 (见第六 章第一节), 这个序关系应当与数本身的大小关系无关, 它取决于你自己的意愿. 在直观的感受后, 我们 如何去严谨地描述数列呢? 首先你得知道你准备考虑哪些数, 自然, 这些数会构成一个集合, 但集合是无 序的, 仅仅把这些数不加任何处理地丢到集合里面去, 是不能辨别它们的顺序的. 我们采取的策略是给 数打上 “标签”, 以 “标签” 的序来代表这些数的序关系. 即, 有下面的定义： 定义 1.27 (数列) ♣ 一个数列 (Sequence) 指的是一列数：a1, a2, · · · , an, n ∈ N, 记为 {an}. 允许 n 趋于无穷. 一个更 严谨的定义方式为： {an} := {(i, ai) | i = 1, · · · , n} ⊆ N × A (1.18) 这里 A 为数列中元素组成的集合, {an} 上配有字典序. 根据元素所在数域的不同, 也可以称数列为整数列, 有理数列, 实数列等, 这无伤大雅. 例题 1.4 1. 1, 2, · · · , n 是整数列; 20
1.3数列与极限初步2.1，，.·，1是有理数列3.1,V2,..·，Vn是实数列这个定义其实挺简洁的，先说的定义是很直观而形象的方式，但不够严谨，因此我们紧接着给出了第二个定义方式，以数对的第一个坐标来标记顺序当然啦，你也可以通过映射来表示这种序关系.本质上，数列就是将一些从1开始的自然数映到一些数上，即：(1.19)f:N→A,iHf(i)=:ai这里N=1,2,*，n)CN.于是刚才的(an]可以理解为f的图象那么我们已经给出了数列的基本定义，我们再返回去考虑我们所说的规律，所谓规律，就是这些数学的变化与分布存在一定的共性：比如说开头的例子，明显可以看见后一个是前一个数的两倍，这就是展现相邻两项间的关系.我们描述数列的规律通常用两种方式：1.通项公式所谓通项公式，就是用一个关于n的式子直接表示第n项，即an=f(n),这里f(n)就体现了数列取值的共同特征它的好处是能直观体现每一项的取值，但相对地不易于得出项与项之间的联系2.递推公式所谓递推公式，就是给出数列某些项的值，以及若干项间的关系，使得我们可以从已知项出发，通过项间的关系来递推地得出所有项的取值，即通项公式.正如描述所说，这个关系所涉及的项的个数是不确定的，结合的形式也是不确定的，因此我们很难去给出一个概括，在之后我们会着重于几种常见而特殊的递推公式，并向你介绍如何从它们得到通项公式.递推公式的弊端是明显的，因为你无法直接看出数列中每一项的取值，但好处也是明显的，因为你可以清晰地看见项之间的联系接下来我们举些例子向大家展示数列的通项公式和递推公式例题1.51.形如c,C,，c的数列【an）称为常数列（Constantsequence)，它的特征是所有项为同一个常数它的通项公式可以写成an=c,而递推公式可以写为ai=C,an+1=an，Vn≥1,当然，a可以改成随便哪一项，结果都是一样的，不过一般我们倾向于给首项2.奇数列1,3,5，.·，2n-1,的通项公式为an=2n-1,递推公式为a1=1，an+1=an+2，Vn，当然a1=1可以改成a=2i-13.偶数列2,4,6,.…·，2n…的通项公式为an=2n，递推公式为a1=2,an+1=an+2，Vn,a1=2也可以改成a=2i.4.负数列-1,-2,-3,，-n,.·的通项公式为an=-n,递推公式为a1=-1,an+1=an-1,Vn.这些例子都是较为简单的，而我们接下来要着重讨论两类极具代表性的数列，并在其中进一步介绍数列相关的概念1.3.2等差数列与等比数列首先我们来介绍等差数列等差数列的“等差”的含义是什么？它指的是，数列的后一项与前一项的差值为定值3，即：a2-a1=a3-α2= a4—a3=.=an-an-1=..13我们通常也管数列的后一项减去前一项得到的差值叫数列的差分(Difference),因此你也可以把等差数列描述为差分为定值的数列21
1.3 数列与极限初步 2. 1, 1 2 , · · · , 1 n 是有理数列; 3. 1, √ 2, · · · , √ n 是实数列. 这个定义其实挺简洁的. 先说的定义是很直观而形象的方式, 但不够严谨, 因此我们紧接着给出了 第二个定义方式, 以数对的第一个坐标来标记顺序. 当然啦, 你也可以通过映射来表示这种序关系. 本质上, 数列就是将一些从 1 开始的自然数映到一 些数上, 即： f : N → A, i 7→ f(i) =: ai , (1.19) 这里 N = {1, 2, · · · , n} ⊆ N. 于是刚才的 {an} 可以理解为 f 的图象. 那么我们已经给出了数列的基本定义, 我们再返回去考虑我们所说的规律. 所谓规律, 就是这些数 字的变化与分布存在一定的共性. 比如说开头的例子, 明显可以看见后一个是前一个数的两倍, 这就是 展现相邻两项间的关系. 我们描述数列的规律通常用两种方式： 1. 通项公式 所谓通项公式, 就是用一个关于 n 的式子直接表示第 n 项, 即 an = f(n), 这里 f(n) 就体现了数列 取值的共同特征. 它的好处是能直观体现每一项的取值, 但相对地不易于得出项与项之间的联系. 2. 递推公式 所谓递推公式, 就是给出数列某些项的值, 以及若干项间的关系, 使得我们可以从已知项出发, 通 过项间的关系来递推地得出所有项的取值, 即通项公式. 正如描述所说, 这个关系所涉及的项的个 数是不确定的, 结合的形式也是不确定的, 因此我们很难去给出一个概括, 在之后我们会着重于几 种常见而特殊的递推公式, 并向你介绍如何从它们得到通项公式. 递推公式的弊端是明显的, 因为 你无法直接看出数列中每一项的取值, 但好处也是明显的, 因为你可以清晰地看见项之间的联系. 接下来我们举些例子向大家展示数列的通项公式和递推公式： 例题 1.5 1. 形如 c, c, · · · , c 的数列 {an} 称为常数列 (Constant sequence), 它的特征是所有项为同一个常数, 它的通项公式可以写成 an = c, 而递推公式可以写为 a1 = c, an+1 = an, ∀ n ≥ 1, 当然, a1 可以改 成随便哪一项, 结果都是一样的, 不过一般我们倾向于给首项. 2. 奇数列 1, 3, 5, · · · , 2n − 1, · · · 的通项公式为 an = 2n − 1, 递推公式为 a1 = 1, an+1 = an + 2, ∀ n, 当然 a1 = 1 可以改成 ai = 2i − 1. 3. 偶数列 2, 4, 6, · · · , 2n, · · · 的通项公式为 an = 2n, 递推公式为 a1 = 2, an+1 = an + 2, ∀ n, a1 = 2 也可以改成 ai = 2i. 4. 负数列 −1, −2, −3, · · · , −n, · · · 的通项公式为 an = −n, 递推公式为 a1 = −1, an+1 = an−1, ∀ n. 这些例子都是较为简单的, 而我们接下来要着重讨论两类极具代表性的数列, 并在其中进一步介绍 数列相关的概念. 1.3.2 等差数列与等比数列 首先我们来介绍等差数列. 等差数列的 “等差” 的含义是什么? 它指的是, 数列的后一项与前一项的差值为定值13 , 即： a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = · · · = an − an−1 = · · · . 13我们通常也管数列的后一项减去前一项得到的差值叫数列的差分 (Difference), 因此你也可以把等差数列描述为差分为定值的 数列 21