1.1集合与逻辑初步而它也就是A→B的文字版本，我们也经常说“要证明B，只需证明A”或者“B对于A真来讲是必要的”换句话说，我们有下面的称呼：定义1.10（充分与必要）若A→ B,称A是B的充分条件(Sufficientcondition),B是A的必要条件(Necessary condition)而基于此定义，我们有如下定义定义1.11（等价）A和B的等价(Equivalence)A台B定义为：(A台 B) :=(A=→ B) ^(B→ A))这里B→A称为A→B的逆命题（Converse)故命题A和B等价意味着A→B和其逆B→A均真，或者说A是B的充分必要(Necessaryandsuficient）条件，简称充要条件.另一个很常见的说法是A真当且仅当(lfandonlyif,Iff)B真有一个小记号要提一下：“：台”，它的含义是“定义等价乐”根据我们的定义，我们有如下基本推论：推论1.2（逆否命题）(A→ B) 台 (-B →-A)3命题-B→-A称为A=B的逆否命题（Contrapositive)举个例子，相信大家记得西游记有这么一段话：四天师即引行者至披香殿里看时，见有一座米山，约有十丈高下；一座面山，约有二十丈高下米山边有一只拳大之鸡，在那里紧一嘴，慢一嘴，含那米吃，面山边有一只金毛哈巴狗儿，在那里长一舌，短一舌，结那面吃.左边悬一座铁架子，架上挂一把金锁，约有一尺三四寸长短，锁挺有指头粗细，下面有一盏明灯，灯焰儿燎着那锁挺.行者不知其意，回头问天师日：“此何意也？”天师道："那触犯了上天，玉帝立此三事，直等鸡含了米尽，狗舔得面尽，灯焰燎断锁挺，那方才该下雨哩如果A是命题“鸡含了米尽，狗舔得面尽，灯焰燎断锁挺”5，B是“下雨”那么BA是“若下雨，则鸡含了米尽，狗舔得面尽，灯焰燎断锁挺”，它的逆否命题是“若鸡未含了米尽，狗未舔得面尽，灯焰未燎断锁挺，则雨未下也”但要注意的是，A→B的真值和它的否命题-A→-B没有绝对的关系，比如“天上有云”可以推出“天要下雨”，但天上没有云，雨也可以下，这一点要小心再一点就是，我们不可能在这里列举过多的例子，对于这一部分的理解，最好结合你在后面的学习，所以你第一遍不需要学得很懂，只需要知道基本概念，后面的知识就是最好的例子关于这部分对于逻辑的讲述，其实并不是非常严谨，我们并没有指出陈述语句是什么，也没有告诉你如何去判断一个命题的真伪，难处在于我们的日常语言，就像大多数语言一样，包含着大量模糊的子，想要学习更系统而具体严谨的知识，我推荐你去阅读数理逻辑的相关资料，当然那也就与我们的内容相差甚远，所以我们逻辑在这里点到即止“其实原来的例子只是天上有云，但我突发奇想整了个活，希望你开心A
1.1 集合与逻辑初步 而它也就是 A ⇒ B 的文字版本. 我们也经常说 “要证明 B, 只需证明 A”, 或者 “B 对于 A 真来讲是必要 的”. 换句话说, 我们有下面的称呼： 定义 1.10 (充分与必要) ♣ 若 A ⇒ B, 称 A 是 B 的充分条件 (Sufficient condition), B 是 A 的必要条件 (Necessary condition). 而基于此定义, 我们有如下定义： 定义 1.11 (等价) ♣ A 和 B 的等价 (Equivalence)A ⇔ B 定义为： (A ⇔ B) := (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A). 这里 B ⇒ A 称为 A ⇒ B 的逆命题 (Converse) 故命题 A 和 B 等价意味着 A ⇒ B 和其逆 B ⇒ A 均真, 或者说 A 是 B 的充分必要 (Necessary and sufficient) 条件, 简称充要条件. 另一个很常见的说法是 A 真当且仅当 (If and only if, Iff)B 真. 有一个小记号要提一下：“:⇔”, 它的含义是 “定义等价于”. 根据我们的定义, 我们有如下基本推论： 推论 1.2 (逆否命题) ♥ (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A). 命题 ¬B ⇒ ¬A 称为 A ⇒ B 的逆否命题 (Contrapositive) 举个例子, 相信大家记得西游记有这么一段话： 四天师即引行者至披香殿里看时, 见有一座米山, 约有十丈高下; 一座面山, 约有二十丈高下. 米山边有一只拳大之鸡, 在那里紧一嘴, 慢一嘴, 含那米吃. 面山边有一只金毛哈巴狗儿, 在 那里长一舌, 短一舌, 结那面吃. 左边悬一座铁架子, 架上挂一把金锁, 约有一尺三四寸长短, 锁梃有指头粗细, 下面有一盏明灯, 灯焰儿燎着那锁梃. 行者不知其意, 回头问天师曰:“此何 意也?” 天师道:“那厮触犯了上天, 玉帝立此三事, 直等鸡含了米尽, 狗舔得面尽, 灯焰燎断锁 梃, 那方才该下雨哩. 如果 A 是命题 “鸡含了米尽, 狗舔得面尽, 灯焰燎断锁梃” 5 , B 是 “下雨”. 那么 B ⇒ A 是 “若下雨, 则鸡 含了米尽, 狗舔得面尽, 灯焰燎断锁梃”, 它的逆否命题是 “若鸡未含了米尽, 狗未舔得面尽, 灯焰未燎断 锁梃, 则雨未下也”. 但要注意的是, A ⇒ B 的真值和它的否命题 ¬A ⇒ ¬B 没有绝对的关系, 比如 “天 上有云” 可以推出 “天要下雨”, 但天上没有云, 雨也可以下. 这一点要小心. 再一点就是, 我们不可能在这里列举过多的例子, 对于这一部分的理解, 最好结合你在后面的学习, 所以你第一遍不需要学得很懂, 只需要知道基本概念, 后面的知识就是最好的例子. 关于这部分对于逻辑的讲述, 其实并不是非常严谨, 我们并没有指出陈述语句是什么, 也没有告诉 你如何去判断一个命题的真伪. 难处在于我们的日常语言, 就像大多数语言一样, 包含着大量模糊的句 子. 想要学习更系统而具体严谨的知识, 我推荐你去阅读数理逻辑的相关资料, 当然那也就与我们的内 容相差甚远, 所以我们逻辑在这里点到即止. 5其实原来的例子只是天上有云, 但我突发奇想整了个活, 希望你开心. 7
1.1集合与逻辑初步1.1.3集合间的关系与运算现在我们以熟悉的例子作为开头，对集合作进一步讨论：假设你是南七中学高一一班的学生，你现在比较关心你们班的男女组成，你根据之前学过的关于集合的知识，你构造了三个集合：A=你们班的同学]，B=【你们班的男生]，C=【你们班的女生].自然而然你打算考虑这三个集合间的关系先来个简单点的，请问A和B有什么关系？显然，你会发现，B中的元素都是A中的元素，毕竞，如果你是一班的男生，你首先得是一班的人这样一种关系，就是集合间的包含关系：定义1.12（子集）集合B称为集合A的子集(Subset),记作BCA,或A2B若EB→rEA,也称A包含B或B含于A.品还记得1.1吗？我们现在可以用子集的语言重新写一下，这也是我们一般证明两个集合相等的方式X=Y:台(XCY)A(YCX)咖啡厅事实上这正是我们定义集合相等的方式。容易发现子集满足以下性质：反身性（Reflexivity）XCX;证明留作习题我们继续看那个例子，如果你们班不至于惨到一个女生都没有，那么B和A此时应当是不等的.我们称B为A的真子集(Propersubset),记作BCA或者AB,也称A真包含B或B真含于A容易验证，空集の是任何集合的子集，任何集合是它自己的子集，这两种集合称为平凡子集（Trivialsubset).注事实上通过子集我们也可以构造新的集合一一幂集(Powerset)，若X为集合，它的幂集记为P(X)定义为：P(X) := [Y IY C X).也就是说，幂集是子集构成的集合.我们也经常将幂集写成2X，这是因为cardP(X)=2cardX，你可以试着去证明这件事情，并从这个事实出发来得到X的非空子集数，真子集数，非空真子集数，以及你可以验证一下下面的事实，就当做练习了：@ep(X), Xep(x),rEX台(r)EP(X),Ycxyep(x).特别地,P(X)是非空的.集合间的关系基本如此，集合间的运算呢？不妨想象，如果有两个集合，我们如何产生新的集合？一般而言，有以下四种常见组合方式：1.把两个集合塞到一块去，组成一个新的集合；2.把两个集合的共同部分取出来；3．从一个集合中挖掉相同部分；8
1.1 集合与逻辑初步 1.1.3 集合间的关系与运算 现在我们以熟悉的例子作为开头, 对集合作进一步讨论： 假设你是南七中学高一一班的学生, 你现在比较关心你们班的男女组成, 你根据之前学过的关于集 合的知识, 你构造了三个集合：A={你们班的同学}, B={你们班的男生}, C={你们班的女生}. 自然而然, 你打算考虑这三个集合间的关系. 先来个简单点的, 请问 A 和 B 有什么关系? 显然, 你会发现, B 中的元素都是 A 中的元素, 毕竟, 如 果你是一班的男生, 你首先得是一班的人. 这样一种关系, 就是集合间的包含关系： 定义 1.12 (子集) ♣ 集合 B 称为集合 A 的子集 (Subset), 记作 B ⊆ A, 或 A ⊇ B, 若 x ∈ B ⇒ x ∈ A, 也称 A 包含 B, 或 B 含于 A. 还记得1.1吗? 我们现在可以用子集的语言重新写一下, 这也是我们一般证明两个集合相等的方式： X = Y :⇔ (X ⊆ Y ) ∧ (Y ⊆ X) 事实上这正是我们定义集合相等的方式. 容易发现子集满足以下性质： 反身性 (Reflexivity) X ⊆ X; 传递性 (Transitivity) (X ⊆ Y ) ∧ (Y ⊆ Z) ⇒ (X ⊆ Z) . 证明留作习题. 我们继续看那个例子, 如果你们班不至于惨到一个女生都没有, 那么 B 和 A 此时应当是不等的. 我 们称 B 为 A 的真子集 (Proper subset), 记作 B ⊂ A 或者 A ⊃ B, 也称 A 真包含 B 或 B 真含于 A. 容易验证, 空集 ∅ 是任何集合的子集, 任何集合是它自己的子集, 这两种集合称为平凡子集 (Trivial subset). 注 事实上通过子集我们也可以构造新的集合——幂集 (Power set), 若 X 为集合, 它的幂集记为 P(X), 定义为: P(X) := {Y | Y ⊆ X}. 也就是说, 幂集是子集构成的集合. 我们也经常将幂集写成 2 X, 这是因为 cardP(X) = 2cardX, 你可以试 着去证明这件事情, 并从这个事实出发来得到 X 的非空子集数, 真子集数, 非空真子集数. 以及你可以验证一下下面的事实, 就当做练习了： ∅ ∈ P(X), X ∈ P(X), x ∈ X ⇔ {x} ∈ P(X), Y ⊆ X ⇔ Y ∈ P(X). 特别地, P(X) 是非空的. 集合间的关系基本如此, 集合间的运算呢? 不妨想象, 如果有两个集合, 我们如何产生新的集合? 一般而言, 有以下四种常见组合方式： 1. 把两个集合塞到一块去, 组成一个新的集合; 2. 把两个集合的共同部分取出来; 3. 从一个集合中挖掉相同部分; 8
1.1集合与逻辑初步4.从两个集合中各随意挑出一个元素，按顺序放在一起这是它们的数学表述：定义1.13（集合的运算）设A和B为X子集，则(1.4)AB:=(TEXI(TEA)A(TEB))称为 B在 A 中的差集/相对补集(Complement),也常记为 A-B,若 A容易从上下文得知，也可记为BC如果事先规定全集U°，那么A在U中的相对补集称为A的绝对补集，简称补集，我国规定记为CuA集合：(1.5)ANB:=(TEXI (TEA)Λ(TEB))称为A与B的交集(Intersection),若AB=の，即，A和B毫无共同元素，我们称A和B是不交的(Disjoint).(1.6)AUB:=(TEXI(TEA)V(CEB))称为A与B的并集(Union)“你可以简单地理解成研究对象的全体，挺全的那种福定义1.14（Cartesian积I)设A,B两个集合，定义A与B的笛卡尔积（Cartesianproduct)为：(1.7)Ax B := [(a,b) / (aEA) ^(bEB))也就是A中元素与B中元素组成的所有有序对（Ordedpair）的集合：这里a与b称为有序对(a,b）的分量（Component),a是第一个分量，b是第二个分量a"对于一个n元有序对，我们也称第i个分量为的第i个投影(Projection)，记为Pr;(r)比如刚才的r=(a,b)，Pr1() = a, Pr2() = b.注事实上我们还没有说明什么是有序对.字面上理解就是有顺序的元素对，但这未免有些模糊事实上我们可以选择利用集合来定义：(a,b) := [a, [a,b))一方面我们利用【α,b]来表示有序对的元素，另一方面我们拿出来一个α来表征这个有序对的顺序.比如(6,a)：=[b,[a,bll，自然就有（a,b)≠(6,a).你可以思考一下对于多元有序对，我们如何给出类似的定义.显然，刚才的组合方式里面，1对应着并集，2对应着交集，3对应着差集，4对应着笛卡尔积.比方说你发现A=BUC，也就是你们班的同学=你们班的男生+你们班的女生而且你容易发现B和C是不交的,即BnC=の,所以A=BUC,而AIB=C,AIC=B,这也是容易发现的.而对于笛卡尔积，我稍微举一个例子让大家明白这个有序对是怎么回事：A = [1,2,3], B = [a,b]A × B = [(1, a), (2, a), (3, a), (1,b), (2,b), (3,b)).9
1.1 集合与逻辑初步 4. 从两个集合中各随意挑出一个元素, 按顺序放在一起. 这是它们的数学表述： 定义 1.13 (集合的运算) ♣ 设 A 和 B 为 X 子集, 则 A \ B := {x ∈ X | (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)} (1.4) 称为 B 在 A 中的差集/相对补集 (Complement), 也常记为 A − B, 若 A 容易从上下文得知, 也可 记为 BC 如果事先规定全集 U a , 那么 A 在 U 中的相对补集称为 A 的绝对补集, 简称补集, 我国规定记为 ∁UA 集合： A ∩ B := {x ∈ X | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)} (1.5) 称为 A 与 B 的交集 (Intersection), 若 A T B = ∅, 即, A 和 B 毫无共同元素, 我们称 A 和 B 是不 交的 (Disjoint). A ∪ B := {x ∈ X | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)} (1.6) 称为 A 与 B 的并集 (Union). a你可以简单地理解成研究对象的全体, 挺全的那种. 定义 1.14 (Cartesian 积 I) ♣ 设 A,B 两个集合, 定义 A 与 B 的笛卡尔积 (Cartesian product) 为: A × B := {(a, b) | (a ∈ A) ∧ (b ∈ B)} (1.7) 也就是 A 中元素与 B 中元素组成的所有有序对 (Orded pair) 的集合. 这里 a 与 b 称为有序对 (a, b) 的分量 (Component), a 是第一个分量, b 是第二个分量a . a对于一个 n 元有序对 x, 我们也称第 i 个分量为 x 的第 i 个投影 (Projection), 记为 Pri(x), 比如刚才的 x = (a, b), Pr1(x) = a,Pr2(x) = b. 注 事实上我们还没有说明什么是有序对. 字面上理解就是有顺序的元素对, 但这未免有些模糊. 事实上 我们可以选择利用集合来定义： (a, b) := {a, {a, b}} 一方面我们利用 {a, b} 来表示有序对的元素, 另一方面我们拿出来一个 a 来表征这个有序对的顺序. 比 如 (b, a) := {b, {a, b}}, 自然就有 (a, b) 6= (b, a). 你可以思考一下对于多元有序对, 我们如何给出类似的 定义. 显然, 刚才的组合方式里面, 1 对应着并集, 2 对应着交集, 3 对应着差集, 4 对应着笛卡尔积. 比方说, 你发现 A = B ∪ C, 也就是你们班的同学 = 你们班的男生 + 你们班的女生. 而且你容易发现 B 和 C 是 不交的, 即 B ∩ C = ∅, 所以 A = B t C, 而 A \ B = C, A \ C = B, 这也是容易发现的. 而对于笛卡尔 积, 我稍微举一个例子让大家明白这个有序对是怎么回事： A = {1, 2, 3}, B = {a, b}. A × B = {(1, a),(2, a),(3, a),(1, b),(2, b),(3, b)}. 9
1.1集合与逻辑初步一韦恩图（Venndiagram），每一个集合都表示为平面上被闭曲线现在我要向你介绍一个好东西一包围的区域，它可以清晰地向你展示几个集合间的关系：4XI(AUB)BAnBB\AA\BX图1.1:Venn图如你所见，深色部分就是交集，浅色部分是差集，有色部分是并集，无色部分是补集，这非常直观，非常好比如说你可以试着证明下面的关于交集，并集和补集的性质命题1.1（集合的运算律）设X,Y,Z为全集U的子集，则1.交换律(Commutativity):XUY=YUXXnY=YnX;2. 结合律 (Associativity):XU(YUZ) =(XUY)UZ, Xn(Y nZ)= (XnY)nZ;3. 分配律 (Distributivity):XU(YnZ)= (X UY)n(XUZ),Xn(YUZ) =(XnY)u(XnZ);4.XCYXUY-Y台XnY=X:5. 德摩根反演律 (DeMorgan's laws):(AUB)C=ACn BC,(AnB)C =ACUBC当然，这些性质也是需要掌握的.证明我们也会留作习题当然，对于笛卡尔积，我们也是有图像来帮助理解的：YXxYx图1.2:Cartesian积把两个集合作为边，笛卡尔积是那个矩形，当然，如果集合都是有限点集的话，你也可以认为笛卡尔积是一个平面点阵.不过要注意的是，图形不能作为证明的依据，它只能一定程度上帮你理清楚集合间的关系，不过这往往对你的证明会起到指示性的作用10
1.1 集合与逻辑初步 现在我要向你介绍一个好东西——韦恩图 (Venn diagram), 每一个集合都表示为平面上被闭曲线 包围的区域, 它可以清晰地向你展示几个集合间的关系： 图 1.1: Venn 图 如你所见, 深色部分就是交集, 浅色部分是差集, 有色部分是并集, 无色部分是补集, 这非常直观, 非 常好. 比如说你可以试着证明下面的关于交集, 并集和补集的性质： 命题 1.1 (集合的运算律) ♠ 设 X,Y ,Z 为全集 U 的子集, 则 1. 交换律 (Commutativity):X ∪ Y = Y ∪ X, X ∩ Y = Y ∩ X; 2. 结合律 (Associativity):X ∪ (Y ∪ Z) = (X ∪ Y ) ∪ Z, X ∩ (Y ∩ Z) = (X ∩ Y ) ∩ Z; 3. 分配律 (Distributivity):X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z), X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z); 4. X ⊆ Y ⇔ X ∪ Y = Y ⇔ X ∩ Y = X; 5. 德摩根反演律 (De Morgan’s laws):(A ∪ B) C = AC ∩ BC, (A ∩ B) C = AC ∪ BC. 当然, 这些性质也是需要掌握的. 证明我们也会留作习题. 当然, 对于笛卡尔积, 我们也是有图像来帮助理解的： 图 1.2: Cartesian 积 把两个集合作为边, 笛卡尔积是那个矩形, 当然, 如果集合都是有限点集的话, 你也可以认为笛卡尔 积是一个平面点阵. 不过要注意的是, 图形不能作为证明的依据, 它只能一定程度上帮你理清楚集合间的关系, 不过这 往往对你的证明会起到指示性的作用. 10
1.1集合与逻辑初步我在这里丢一个命题以及它的证明，你可以体会一下：命题1.2设X和Y为集合，则1. X×Y=@(X=0)V(Y=0);2.-般来讲：X×Y±Y×X.我们仅在这里给出1的证明，关于2的细节，你可以见习题7证明我们要证明两个命题，也就是：XXY =@=→(X=0)V(Y=0)和它的逆，或者说证明X×Y=是（X=のV（Y=の）的充分必要条件我们用“”和“”来标记我们在证明哪个命题“→"我们用反证法来证明，若X×Y=①真，但（X=①)V（Y=の）伪.那么（X十0）Λ（Y≠の）为真，故X≠の和Y≠の均为真，也就是说日,y，aEX,yEY,根据定义（a,y)EX×Y,这与RHS6X×Y=の矛盾,故(X=の)V(Y=の)真,从而LHS“”：我们证明它的逆否命题为真，即X×Y0=(*)A(0)若即（))从而x这就表明从而HEMA(Xの)^(Yの)为真，故RHS→LHS.从而原命题成立当然，既然能考虑两个集合间的运算，我们理所当然也会考虑拓展到多个集合间的运算：先来介绍比较简单的笛卡尔积，关于并集和交集，我们花更多的篇幅去讨论。定义1.15（Cartesian积ID）对于n个集合X1,X2，..，Xn，它们的笛卡尔积定义为Xix...xXn=((ri,..,an)|rieXi,Vi=l,..,n),这里 ri称为 r=(T1,..,En)的第i个分量,也记作Pri(r),即 r的第i个投影我们也经常将Xi×·×Xn写作IIx.i=1那个长得跟门一样的符号是求积符号，关于求和和求积的知识我们在后面会讲（指1.5节）.如果所有的X，都一样，即，Xi，i=1...，n，笛卡尔积也常常写成X".比方说一个n元有序实数对（a1，an），它就是Rn中的元素现在我们来谈谈交集与补集定义1.16（集族与指标集）设I是一个非空集合，且对任意iEI，A是一个集合，那么你可以这么说[A,lieI)6LHS.即Lefthandside.指式子左边；RHS，即Righthandside,指式子右边11
1.1 集合与逻辑初步 我在这里丢一个命题以及它的证明, 你可以体会一下： 命题 1.2 ♠ 设 X 和 Y 为集合, 则 1. X × Y = ∅ ⇔ (X = ∅) ∨ (Y = ∅); 2. 一般来讲：X × Y 6= Y × X. 我们仅在这里给出 1 的证明, 关于 2 的细节, 你可以见习题 7. 证明 我们要证明两个命题, 也就是: X × Y = ∅ ⇒ (X = ∅) ∨ (Y = ∅), 和它的逆, 或者说证明 X × Y = ∅ 是 (X = ∅) ∨ (Y = ∅) 的充分必要条件. 我们用 “⇒” 和 “⇐” 来标 记我们在证明哪个命题. “⇒”: 我们用反证法来证明, 若 X × Y = ∅ 真, 但 (X = ∅) ∨ (Y = ∅) 伪. 那么 (X 6= ∅) ∧ (Y 6= ∅) 为真, 故 X 6= ∅ 和 Y 6= ∅ 均为真, 也就是说 ∃ x, y, x ∈ X, y ∈ Y , 根据定义 (x, y) ∈ X × Y , 这与 X × Y = ∅ 矛盾, 故 (X = ∅) ∨ (Y = ∅) 真, 从而 LHS ⇒ RHS6 . “⇐”: 我们证明它的逆否命题为真, 即 X × Y 6= ∅ ⇒ (X 6= ∅) ∧ (Y 6= ∅). 若 X × Y 6= ∅, 即 ∃ (x, y),(x, y) ∈ X × Y , 从而 x ∈ X, y ∈ Y , 这就表明 X 6= ∅,Y 6= ∅, 从而 (X 6= ∅) ∧ (Y 6= ∅) 为真, 故 RHS ⇒ LHS. 从而原命题成立. 当然, 既然能考虑两个集合间的运算, 我们理所当然也会考虑拓展到多个集合间的运算： 先来介绍比较简单的笛卡尔积, 关于并集和交集, 我们花更多的篇幅去讨论. 定义 1.15 (Cartesian 积 II) ♣ 对于 n 个集合 X1, X2, · · · , Xn, 它们的笛卡尔积定义为: X1 × · · · × Xn := {(x1, · · · , xn) | xi ∈ Xi , ∀ i = 1, · · · , n}, 这里 xi 称为 x = (x1, · · · , xn) 的第 i 个分量, 也记作 Pri(x), 即 x 的第 i 个投影. 我们也经常将 X1 × · · · × Xn 写作 Yn i=1 Xi . 那个长得跟门一样的符号是求积符号, 关于求和和求积的知识我们在后面会讲 (指 1.5 节). 如果所有的 Xi 都一样, 即, Xi , i = 1, · · · , n, 笛卡尔积也常常写成 Xn . 比方说一个 n 元有序实数对 (x1, · · · , xn), 它 就是 R n 中的元素. 现在我们来谈谈交集与补集： 定义 1.16 (集族与指标集) 设 I 是一个非空集合, 且对任意 i ∈ I, Ai 是一个集合, 那么你可以这么说 {Ai | i ∈ I} 6LHS, 即 Left hand side, 指式子左边; RHS, 即 Right hand side, 指式子右边. 11