平稳随机过程及其数字特征 ■广义平稳随机过程:若一个随机过程的 数学期望与时间无关,而其自相关函数 仅与τ有关。 EIS(t]=a r(ti, t,+r=R(o) 说明:在通信系统中所遇到的信号及噪 声,大多数均可视为平稳的随机过程。 2021/2/24 通信原理——周扬 11
2021/2/24 通信原理——周扬 11 平稳随机过程及其数字特征 ◼ 广义平稳随机过程：若一个随机过程的 数学期望与时间无关，而其自相关函数 仅与有关。 ◼ 说明：在通信系统中所遇到的信号及噪 声，大多数均可视为平稳的随机过程。 1 1 E t a [ ( )] = R t t R ( , ) ( ) + =
平稳随机过程及其数字特征 各态历经性:平稳随机过程一般具有 个有趣的又非常有用的特性,这个特性 称为“各态历经性”。即随机过程的数 学期望(统计平均值),可以由任一实 现的时间平均值来代替;随机过程的自 相关函数,也可以由对应的“时间平均” 来代替“统计平均” 2021/2/24 通信原理——周扬
2021/2/24 通信原理——周扬 12 平稳随机过程及其数字特征 ◼ 各态历经性：平稳随机过程一般具有一 个有趣的又非常有用的特性，这个特性 称为“各态历经性”。即随机过程的数 学期望（统计平均值），可以由任一实 现的时间平均值来代替；随机过程的自 相关函数，也可以由对应的“时间平均” 来代替“统计平均”
平稳随机过程及其数字特征 ■若令 x(tat a T→ T lim\ x(x(t+r)dt=R(T) 平稳随机过程的各态历经性表现为 R(t=R(T) 2021/2/24 通信原理——周扬 13
2021/2/24 通信原理——周扬 13 平稳随机过程及其数字特征 ◼ 若令 ◼ 平稳随机过程的各态历经性表现为 2 2 2 2 1 lim ( ) 1 lim ( ) ( ) ( ) T T T T T T x t dt a T x t x t dt R T → − → − = + = ( ) ( ) a a R R = =
平稳随机过程及其数字特征 ■[例]讨论随机过程X(t)=Acos(t+的 各态历经性。式中振幅A和初相为随 机变量,两者统计独立,θ在(0,2π) 之间均匀分布 因为 E[X()]=E[Acos(+)]=0 R(t, t+t) ELA cOS T 2 2021/2/24 通信原理——周扬 14
2021/2/24 通信原理——周扬 14 平稳随机过程及其数字特征 ◼ ［例］讨论随机过程X(t)=Acos(t+)的 各态历经性。式中振幅A和初相均为随 机变量，两者统计独立，在（0，2） 之间均匀分布。 ◼ 因为 E X t E A t [ ( ))] [ cos( )] 0 = + = 2 [ ] ( , ) cos 2 E A R t t + =
平稳随机过程及其数字特征 ■所以,该随机过程为平稳随机过程。 又因为 I r2 ToTl x(tdt=0 r(t)=lin I ch 2 x(t)x(t+rat=cos(T) 7→T互 显然,该过程满足平稳性条件,但并不具 备各态历经性。 2021/2/24 通信原理——周扬
2021/2/24 通信原理——周扬 15 平稳随机过程及其数字特征 ◼ 所以，该随机过程为平稳随机过程。 ◼ 又因为 显然，该过程满足平稳性条件，但并不具 备各态历经性。 2 2 1 lim ( ) 0 T T T a x t dt → T − = = 2 2 2 1 ( ) lim ( ) ( ) cos( ) 2 T T T A R x t x t dt T → − = + =