既约多项式:设f(x)是次数大于0的多项 式,除了常数、常数与本身乘积以外, 不能再被域F上其他多项式除尽,则f(x) 为F域上的既约多项式 定义8-1:给定一个多项式g(x),把它 称为模,如果两个多项式d(x)和az(x)满 足: d1(x)=q1(x)g(x)+r(x) d2(x)=q2(x)g(x)+r(x) 0≤0r(x)<0g(x) 则称多项式d1(x)和d2(x)对模g(x)同余 记为:d1(x)=d2(x)=r(x)modg(x) 性质:已给定多项式g(x)≠0为模,多项 式d1(x)和d2(x)同余的充要条件是: g(x)|d1(x)-d2(x) 例:设模多项式为:g(x)=x3+x+1 则:d1(x)=x4+x3+1=(x+1)(x32+x+1)+x2 d(x)=x3+x2+x+1=x3+x+1+x 同余!(d1(x)-d2(x)=x1+x2+x=xg(x)
既约多项式：设 f(x)是次数大于 0 的多项 式，除了常数、常数与本身乘积以外， 不能再被域 F 上其他多项式除尽，则 f(x) 为 F 域上的既约多项式。 定义 8－1：给定一个多项式 g(x)，把它 称为模，如果两个多项式 d1(x)和 d2(x)满 足： 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 r x g x d x q x g x r x d x q x g x r x o o = + = + 则称多项式 d1(x)和 d2(x)对模 g(x)同余。 记为：d1(x)≡d2(x) ≡r(x) mod g(x) 性质：已给定多项式 g(x)≠0 为模，多项 式 d1(x)和 d2(x)同余的充要条件是： ( )[ ( ) ( )] g x d1 x − d2 x 例：设模多项式为：g(x)=x 3+x+1 则：d1(x)= x 4+x 3+1=(x+1)( x 3+x+1)+ x 2 d2(x)= x 3+x 2+x+1= x 3 +x+1+x 2 同余！（d1(x)－d2(x)＝x 4+x 2+x=xg(x)）
例:g(x)=x2+1 0:0x2+1x(x2+1)(x+1)(x2+1) x2x3+x+1x3+x2+x x: x x2+x+1 x3 x3+x2+1 x+1:x+1 x x+1 x +x 00 xx+0 Xx x x+1 ++x10 x+1x+1 0 00000 0 x0x+ 0+1x x+1 x+1 例:g(x)=x3+x+1的剩余类多项式集合: {0,1,x+1,x2,x2+1,x2+x,x2+x+1} 与矢量集合:{000,001,010,011,100 101,110,111}同构
例：g(x)=x 2+ 1 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 1: 1 1 : 1 1 1 : 1 1 0 : 0 1 ( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + + + + + + + + ⊕ 0 1 x x+1 0 1 x x+1 0 1 x x+1 1 0 x+1 x x x+1 0 1 x+1 x 1 0 ⊙ 0 1 x x+1 0 1 x x+1 0 0 0 0 1 0 x x+1 0 x x+1 1 0 x+1 1 x 例：g(x)=x 3+x+1 的剩余类多项式集合： ｛0,1,x，x+1，x 2 ，x 2 +1，x 2＋x，x 2＋x+1｝ 与矢量集合：｛000，001，010，011，100， 101，110，111｝同构
定理8-1:设P(x)是GF(p)上的m次既 约多项式,则所有次数小于m次的GF(p) 上的多项式全体{0,1,P0+D1x,…,pt+px p2x2+…+pmn1xm4}在模P(x)加和乘运 算下组成一个有p个元素的有限域 GF(p")
定理 8－1：设 P(x)是 GF(p)上的 m 次既 约多项式，则所有次数小于 m 次的 GF(p) 上的多项式全体｛0，1，p0+p1x，…，p0+p1x ＋p2x 2＋…＋pm-1x m-1｝在模 P(x)加和乘运 算下组成一个有 p m 个元素的有限域 GF(p m )
(74A码:10。01。 CEMG V:oo01o1 V 8. 010011/ Ms? k:0o10141oo11o k:00101100D1o :0|01100WQn1oJo o||°kl101o 的:ooo01oo 0
定义8—2:具有循环移位特点的线性分 组码叫循环码。 设[C为(n,k)循环码,则C∈|C 有: C=(cm1Cn2…c1c0) Cn-2Cn-3°°C0Cn-1 C(2)=(Cn-3..Cn-I Cn-2) ∈ C(-=(Co Cm-1".C2 C1) 定理8—2:若c(x)是n长循环码中的 个码字多项式,则xc(x)按模x+1运算 的余式必为循环码中的码字多项式
定义 8－2：具有循环移位特点的线性分 组码叫循环码。 设[C]为（n，k）循环码，则∨C∈[C] 有： C =（cn-1 cn-2…c1c0） C(1)=（cn-2 cn-3…c0 cn-1） C(2)=（cn-3 cn-4…cn-1 cn-2） ┆ C(n-1)=（c0 cn-1…c 2 c1） 定理 8－2：若 c(x)是 n 长循环码中的一 个码字多项式，则 x i c(x)按模 x n+1 运算 的余式必为循环码中的码字多项式。 ∈[C]