x+5_y-7 2 6 法2:在直线L上找出两个点,可得直线的方向向量 根据一点一方向可直接写出直线的标性方程 法3;由L的一般方程写出L的参数方程 即 ↓3 252 土 由此可得M0(0,22,5/2)是L上一点,方向向量8=i+3f 。再由M0,s可得L的标准方程。 法4从直线标准方程的构造:330=yy0= 出发。由L的一般式方程 之z 5 y=6 +7 中解出z x+5 y7,由此可得等式 6 67·即为L的标准方程 3.第3题首先根据题意作出草图如图8。从不同角度分 析其几何关系,便得出不同 的解法。 法1:点A是点A 在y轴上的投影,显然就是 直线工过A与y轴垂直 相交的交点。可以取8= A=2i+4,由已知点A 及s可得直线L的标推 图8
方程: +3 2 4 法2:利用向量平行的关系。设B(%,yz)是L上低 意一点, BA4=(x-2)+(y+3)j+〔z-4)k, 由 BA/LAA的关系,可知二平行向量的投影表达式的系数成 比例,立即可得L的标准方程: y-3 4 2 4 法3:过A点及y轴作平面丌1,且过A点作垂直于 轴的平面x罪1与m2的交线就是所求直线L。 求r1平面:π1过A及y轴,其方程为ax+bz=0 由A(2,-3,4)可得a=-2b.所以,;的方程为2x-z=0 而π2航是y-3(为什么?),所以直线L的方程为 2x-z=0 法4设直线L的参数方程为 x≈2+lt y=-3+m 2=4+n 由已知条件列方程解出l,m,n.l=-2/t,m=0,n=-4/扌, 令扌=-1,则!=2,m≈0,n=4,所以直线L的方程为 x=2+2t z=4十4F
法5:由于所求直线L垂庭于y轼,必平行于x02面, 由法3得到的平面丌12x-z=0与巛02面的交线L1是 L的平行线,也是L在x0z面上的投影工1是x2面 上过o(0,0,0)的平面直线,其参数方程显然是: x=2 由此得到L的参数方程为 ry=-3 =2 2 4.第4题首先要让学生明确本题的条件及注意事项。 条件1:A点在L上 条件21Lx,即s⊥n 条件3:L与L1相交,即上与L:共面 注意到L1的方程不标准,先将其标准化,以免引起不必 要的错误 L,x-1=2=3 2 即M1(1,3,0),s1=4i-2j+k。 法1:交面式 思路:①过A点作平面x1与平面平行。②过A点与 L1作平面x2,则m1与m2的交线即为所求直线L。 草图如图9。 丌1平面:点A(1,0,-2),1=3i-j+2k, 3(x-1)-y+2(z+2)=0 3-y+2z+1=0
n平面:点A(1,0,-2)由n2⊥AM1n2⊥s1 讠jk 7216×XAM1=4-21 7i-8j+12k, 032 取72=7i+8j-12k; 7(x-1)+8y-12(z+2)=0, 7x+8y-12z-31=0。 所以L的方程为 ∫3-y+22+1=0 7x+8y-12z-31=0 法2:标准式。 已知点A(1,0,-2),关健求出 方向向量8 图9 分析:L与L1相交,必共面,得到s⊥s1XAM2,L 平行于平面r,得到8⊥,所以s平行于(S1×AM1)×m 讠jk s1×AM1=4-21|=-7i-8j+12k, 032 (1XAM1)Xn=-7-812=-4i+50j+31k, 812 故 s=-4i+50j+31配 所求直线L的标准方程为 1 z+2 4 50 31 法3:待定系数法。 14·
已知直线L过点A(1,0,-2),关键求出方向向量8 设s=l+mj+mk,由于只要s方向,大小不限,所以 只籥找出l,m,n满足的两个方程即可 L与E1共面j(s×s1)·AM1=0 L与丌平行sm=0 n 即 21 0 32 3 27=0, 化简 25l+2m=0 31+4n=0 令l=4,则m=-50,n=-31,即 s=4i-50j-31k 所以L y2+2 50 31 法42参数式〔见图10) ①写出L1的参数方程 x=1+4I M(r+y, z) 3-2t ②设M是L1上一点,写出 Mi AM的投影表示式 AM=4#i+(3-2t)j+(t+2)k。 图t0 ⑧使AM·=0 12+2t-3+2t+4=0, 16 15