(a×b)xc 士长a×b)×cl 但写城日=ax(hxC)是错误的.可让学生思考错在那 里?事实上,θ⊥a且在b与c所在的平面上,不符所给 件 5。第6题主要明确分析方法。 省先由ab是否为零来确定c的存在性,因为如果 axc=b存在,则必有aLb,得出ab=0。若a≠0, 则α不垂直b,那么不存在C使aXcb。再用待定系数 法求出c的投影表示式 设c=xi+yj+ak,由aXc=b得到方程组 十2 25 2x+y=2 方程①为多余方程,②,③是独立的。 =2-2x 2=2x-1 故￠=x+(2-2x)j+(2x-1)k,即c有无穷多个向 量 c=√x+(2-2x)2+(2x-1)2=√(3x-2)2+1 当3x-2=0时,即x=2/3时,最小,}c{ma=1 此时, i+j+k 提间:若|cl=v2有几个向量? 第6题的简图如图5,图中两平行直线的距离为1,不能 6
大也不能小,由|与la}决定的。 b=aX G M 图5 图8 参考 1.已知向量a,b,以a,b为邻边作平行四边形,求 此平行四边形中与a垂直的高线向量h。(提示:应考虑a b夹角为锐角、钝角、直角等各种慚况时的h。答案:h〓土 b、a·b 2.向量b过点B(1,2,3)与向量c=6i+6j+?k 平行,求点M0(3,4,2)到向量b的距离。(要求学生总结各 种做法,并比较之。答案:h=20√2/11) 本题可帮助学生开阔解题思路 作出简图(图6)。注意b过B点与c平行,将C夥 到B点(自由向量),问题转化为求以c,BM。为两边的 平行四边形的高,要求学生用向量代数方法求解 法1:用向量积来求, h= Ic xMBol 法2:用数量积来求。 BM1=(BM)。,h=√|BM0j2-|BM1|2
法3:过M作一平面x垂直于向量b,求b与z的 交点M1的坐标,再由两点的距离公式求出h=|MM!a。此 法计算量大,但思路较清楚。 3.已知a,b,C为非零且不共面的三个向量,欲使四 个向量OA=a,OB=b,OC=C,OM=x+yb+zc的终点 在同一平面上,问x,y,z之间应满足什么条件? 此题主要考察学生的解题思路及逻辑推理能力,可让学生 按照解题思路写出每一步的道理 思路1:①OM-0A,OM-OB,OM-OC至少有 两个向量不共线,那么另一个向量必能表成此两向量的线性组 合。②找到x,yzλ,的三个方程,消去λ,g就可 得到xy,z满足的一个关系式:(簦案:x+y+2=1) 思路2:由OM-OA,OM-OB,OM-OC共面。 得出混合积L(OM-OA)×(OM-0B)]OM-OC)=0,由 a,b,c不共面,得到 0 解得 x十y 1 第二讲平面方程与值线方程 本次辅导课的重点是训练学生熟练、灵活地运用向量来求 平面与直线的方程。空间解析几何习题中经常有一题可以多解 的情况。这种题与平面解析几何类似,一般是首先分析几何条 件,然后用代数方法去实现。对于本讲所透的题,要求学生对 每一道题都能提出两种以上的解法,通过对各种解法的评价
讨论,激发思维、开阁思路,达到保持和发扬多数学生在中学 时代就具有的对数学浓厚兴趣之目的。 选题 1。平面过点P(2,3,4)及z轴,求其方程。 2.将直线的一般式方程工 x=22-5 化为标谁方 y=6z+7 程 3.直线过点A(2,-3,4),且和y轴垂直相交,求直 线方程 4.求过点A(1,0,-2)与平而矿;3x-y+2之+3=0平 行,且与直线I4= 相交的直线L的方 程 5.已知|OM=pO为原点,p≠0,OM方向角为a ,γ。证明:过点M。,且垂直于OM的平面方程为 x Cos a ycos B +aC08p-P=0 说明 1.第1题要求学生先根据题意作出草图如图7。 法1:由已知条件分析,所求平 面也过原点,平面的法线向量t既 垂直于z轴又垂直于oP,所以 YP i j k =0Px配s234 001 =3-2j 由点法式〔平面过原点,以 图 n为法向量)得所求平面方程为3x-2y=0
法2:找出所求平面上:个已知点o(0,0,0P),(2, 3,4),q(0,0,1),若M(x,y,z)是平面上任意一 点,根据三个向量共面的条件,有OM(oP×q)=0。即 234|=0 001 为所求平面方程 法3:待定系数法 由草图分析,平面是过原点且平行于z轴的柱面。根 据柱面方程的特点(方程中缺z),设平面方程为: ax+by=0。 又平面过P(2,3,4),将P代入所设平面方程,解出 -3b,得到-3bx+by=0,(6≠0) 所以3x-2y=0为所求平面方程。 法4:平面束法。 过z轴(即x=0,y=0二平面的交线)作平面束方 程:λx+Hy=0。所求平面就是此平面束中过P点的那个平 面。将P点代入平面束方程,求出λ,p即得平面方程。 比较以上四种方法,前两种方法是用向量之间的关系得到 平面方程,后两种方法都是在分析了所求方程的特点后作出假 设。各自的思路不同,但解法类似,也简单。 2.第2题比较简单,要求学生至少用两种方法。下面介 绍几种做法。 法1:直线L的一般方程由两个平面方程联立。由两平 面法线向量的向量积可得直线L的方向向量s=n1x2=2i +6j+配。再在L上找一点(令z=0,则y=7,x=-5) 由该点(-5,7,0)及方向向量s,可得直线的标准方程: 10