S/Am 5,31 i+25j 8 16 取8=-4i+50j+31k 得到L x-1 50 此法思路清楚,图形直观,是有关直线问题中常用的方法,要 引起学生的重视 法5;两点式(见图11) 先求田1再求L1与x1的交 点M。的坐标。 将L1的参数方程 M x=1+4 =8-2t 代入n1的方程,求得t=-1/16, 再代人L1的方程得M(3/4,25/8, 1/16)。 图I1 写出AM=-1i+25j+3k, 即得L: x-1y2+2 50 31 n 5。第5题要求学生先画出草 图,根据图形分析几何条件,找出 解题方法。 草图如图12 囡12 16
法1:点法式。 由已知条件可知平面的法线向量,n!}oMyM6是平面 上个已知点 Ex n =oM= Pcos ai +pcos Bj+pcosyk pcos Mo(xa, yo, 2o), yo= pcos Z0=pcos 由点法式可得t Pcos a(x- Pcos a)+ poos B(y-pcosp) pcoS y( z -pcos)=0 化简,可得平面方程为 xca+ycs月+zc08y-p=0 证毕 法2:利用向最的投影关系 设M(x,y,z)是平面上任意一点,根据题意有(oM) 是该平面的单位法线向量 n0= cos a1+ cos Bj于co?k oM=xi+yj+2k 又 HO (xi +yj+zk).(cos ai cos B j +cosyk)=P 所以,xca+yQo日+z0y-p=0是满足题意的平面方 程 证毕 法3:截距式方程 由已知条件可知,平面在三个坐标轴上的截距分别为 户/∞a,p/c日,pco图γ, 根据平面的截距式方程 中/0oa P/CO8+ COpy
化简,可得平面方程为 xc8a+yc8日+2008y-p=0。 证毕 法4利用直角三角形的关系 由题意可知△MoM。是直角三角形,满足几何关系 loM|2=M2+|MM|2,M(x,y,z)是平面上任意点 Bp x+y2+2=p2cos2a+P2cos'p+p2cos2y +(a-pcosa)+(y-pcos p)+(2-pcasr) 化简,得x08a+y008B+2cy-p=0为M(x,yz)所在 平面的平面方程 证毕 参考题 1.平面过点A(3,2,-4),且过直线1=y+3= 求平面方程 至少可有四种方法。答粲:4x-4y-3z-16=0。) 2x+y=0 2.一直线过点M(5,0-1),且与直线 垂 x+z=0 直相交,求此直线方程 x=5+7扌 答案:L:{y=6 1-5扌 第三讲二次曲面图形、平面d线问题 本讲选题中有一些基本常见的二次曲面图形,如球面、旋 转抛物面、锥面、柱面等,要求学生会熟练地作出;还有一些 具有一定综合性的题,要求学生先作草图,把几何关系分析清
楚再动手解题。具有一定综合性的复杂题,只要把关键的几步 抓住,那么其中的每一步都是基本的。简单的。这种综合与分 解关系的能力,是学生在学习中应该注意培养的。 选题 下列方程的图形是什么? 1)x2+(y-1)2+22=1y (2)y=1+x2+z2 3)y2+z2=y 2.平面垂直于z=0,且过点M(1,-1,1)与M到宜 线L,{x=0 y-2+1=0 的垂足,求平面方程 2x-3y+42-12=0 3.求过直线D:(x+4y-2z-10=0且垂直各坐标 面的平面方程,并求直线L在平面3x+2y+z=10上的投 影 4.过点M1(7,3,5)引方向余弦等于1/3,2/3,2/3的 直线L1,设直线L过点M0(2,-3,-1)与直线L1相交, 且和x轴成丌3角,求直线L的方程 5.作zr1-x2,2x+y=4和三个坐标平面所围的区 城 说明 1.第1题灼图形如图13-15,它们分别是球面,旋转抛 物面、圆柱面。 提问1:此求面有什么特点? 提问2:邸柱面有什么侍点? 39
图13 图14 图15 提问3:{2+(x=1)+2=1在空间表示什么图形?你 能画出来吗? 这个问题是今后学习重积分的基本功,先让学生有一个初 步了解 提问4;空间曲线L: x2+(y-1)2+x2=1 在 y4+2=y 平面上的投影曲线方程如何求?请叙述思路。 思路1:在 「x2+(y-1)2+z2=1 十2 中,消去z,得到x2+(y-1)2+(y-y2)=1, y=0 ,20°·