一种鲁棒自校正内模控制器及其全局收敛性

D0:10.13374/i.1ssn1001-053x.1997.04.043 第19卷第4期 北京科技大学学报 Vol.19 No.4 1997年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.1997 一种鲁棒自校正内模控制器及其全局收敛性 石中锁 孙一康 舒迪前 北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要给出了一种能适用于开环不稳定且非最小相位系统的鲁棒自校正内棋控制器，证明了闭 环系统的鲁棒性和全局收敛性，仿真研究证实了算法的可行性. 关键词控制/内模控制，鲁棒性，全局收敛性 中图分类号TP273.3 1鲁棒自校正内模控制器 设被控对象的数学模型为 Azy(内=B(z)B.(z')(+C(z)5(内 (1) 这里化，()，()分别为系统输出、输人和噪声序列，A(z)、B,(2)分别为不稳定极点和 零点多项式，B_(z为稳定零点多项式，C(z)为首一多项式，其阶次关系为degA=n。, degB=n,+d,degB_=n_,d为系统时延· 定义广义输入如下 U=Qz')B_(z')4(+P:-y( (2) 式中，P:-),Q(z)分别为加权多项式，degP=n。,degQ=ng(go=1). 由式(1)，(2)可得广义系统方程： [4:)2(e-')+B,(:)P(e']y(内=B(2U(+2(:-')C(z)( (3) 给定广义系统开环极点多项式为A(:)=A(仁2(：)+B(2)P(z),则内部模型(3) 式可写成： -6的+的 (4) 记 64 则Ge)=GeGe (5) 式中G.e-=B(e,G.(2)=11i(). 按照内模控制原理设计控制器G(:)有 6a)-Ge (6) 式中，f(e)=1(1-:为控制器可实现因子，0<B<1且有B,(1)·f(1)=1. 1996-10-24收稿 第一作者男33岁副教授

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 。 一种 鲁棒 自校正 内模控制器及其全局 收敛性 石 中锁 孙一康 舒迪前 北 京科技大学信息 工 程 学 院 ， 北 京 摘要 给 出 了 一 种 能适用 于 开 环 不 稳定 且 非 最 小相 位 系统 的 鲁棒 自校 正 内模控 制 器 ， 证 明 了 闭 环 系统的鲁棒性和全局 收敛性 仿真研究证实 了算法 的可行性 关键词 控制 内模控制 ， 鲁棒性 ， 全局 收敛性 中图分类号 鲁棒 自校正 内模控制器 设被控 对象 的数学 模 型 为 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 ’ 言 这 里 ， ， 氛 分 别为 系 统输 出 、 输 人 和 噪声序 列 ， 一 ’ 、 一 ’ 分别为不 稳定 极 点和 零 点 多 项 式 ， 一 ’ 为稳 定 零 点 多 项 式 ， 一 ’ 为首 一 多 项 式 ， 其阶次 关 系 为 。 。 ， 。 ， 。 ， 为系 统时延 定义 广义 输入 如 下 一 ’ 刀 一 ’ 代 一 ’ 式 中 ， 代 一 ’ ， 一 ’ 分别 为加权多项 式 ， 一 ， ， 一 、 、 。 、 一 · 由式 ， 可 得 广义 系 统方程 一 ’ 一 ’ 一 ’ 一 ’ 少 一 一 ’ 一 ’ 一 ’ 杏 给定 广义 系 统 开环极 点多 项 式 为 一 ’ 二 一 ’ 一 ’ 、 一 ’ 一 ’ ， 则 内部模 型 式 可 写 成 一 ’ 一 ’ 氛 氏 一 ’ 一 粼 一 云 、 一 ’ 成 一 ， 则 一 ’ 一 。 十 一 ’ 台 。 一 ’ 式 中 。 、 一 ’ 一 户 一 ’ ， 。 一 ’ 按 照 内模 控 制原理 设计控制器 心一 ’ 川 有 一 ， 一 ，、 产 一 、 ， 一 ，、 、 丫 一 卜 一 ’ 甘 。 【 艺 】 甘 ， 丁一一一下 丁了 “ 一 、 一 ‘ ’ 一 式 中 ， 一 ’ 一 一 月 一 ’ 为控 制器 可实 现 因子 ， 月 且有 云 · 一 一 收稿 第一作者 男 岁 副教授 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1997．04．043

Vol.19 No.4 石中锁等：一种鲁棒自校正内模控制器及其全尚收敛性 ·413· 若取 (7a) 则A(z)的零点为：，=a以，(i=l,2,…,n),其中1为开环极点Am(e)的特征根，当a从1 趋向于零时，A(:)的零点趋向原点，可加快动态响应.若原系统开环不稳定，总可以通过选 择a,使广义系统稳定，而P(e-),Q:-)可由下面的Diophantine方程求出： M)+B()=ade- (7b) 阶次关系为np=n。-1,n,=d+n+-l. 闭环系统的响应取决于滤波器的极点和A(e)的零点.这样滤波器的极点和A(:)中 的α均可作为整定参数，增加了设计的灵活性、可获得期望的闭环特性.鲁棒内模控制器的框 图见图1.图1中C(z)=Q(?)Cz为首一多项，G(:)为滤波多项式，G,()=(1- a)/(1-a),0<a.≤1. 15 (K) B.B 1-B- OB A Xk) ( (C-1y 图1鲁棒内模控制器框图 当参数未知时，用递推估计算法估计参数，用估计参数取代控制器参数，便可得自适应算 法.下面给出自校正算法的计算步骤：I)置初始值PO),Q0),B,a,a等；2)读取数据(：3)辨 识参数；4)分解B=B,B;S)由Diophantine方程求解Q:'),P:')片6)求广义控制律 Uk);(7)求控制律u();8)返回2). 2鲁棒性 现约定C(z)是已知多项式，只分析：)，B,(e,B(仁)失配时，系统的鲁棒性. 假设系统()的理论模型（自适应情况即为估计模型）如下： A:-(=B(e')B(e')+Ce'() (8) 于是建模误差为： A:-)=4(:)-A:),B(e=B(e)-B(e-',B(e-)=B(（)-B((9) 分析(9)式可知： 1)当n,=in+d=i,+d,n=i时，建模误差是参数不确定型的

石 中锁等 一 种 鲁棒 自校 正 内模控制器 及 其全 局 收敛性 若取 一 ‘ 一 瓦 一 ‘ 、 一 ’ 则 人 一 ’ 的零 点 为 ， 献 ， ， 一 ， ， 一 飞，其 中 凡为 开 环极 点 一 ’ 的特 征 根 ， 当 从 趋 向于零 时 ， 一 ’ 的零 点趋 向原 点 ， 可 加快 动态 响应 若 原 系 统开 环不 稳 定 ， 总 可 以 通 过 选 择 ， 使广 义 系 统稳 定 ， 而 代 一 ’ ， 一 ’ 可 由下 面 的 方 程 求 出 成 “ 一 ‘ “ 一 ’ ” · 艺 一 ’ 一 ’ 一 ， 戳 ‘ 一 ’ 阶次 关 系 为 尸 。 一 ， 、 一 · 闭环 系 统 的响应取 决 于 滤波器 的极 点和 成 一 ’ 的零点 这 样 滤波 器 的极 点 和 月 一 ’ 中 的 均 可 作为整定 参数 ， 增 加 了设计 的灵 活性 、 可 获得 期望 的 闭环特性 鲁棒 内模 控 制器 的框 图见 图 图 中 一 ’ 一 一 ’ 一 ’ 为首 一 多项 ， 一 ’ 为滤波多 项 式 ， 一 ’ 一 一 一 ’ ， 。 ‘ 二乙峨 一户 一 ’ ’ 尸 己，，愈 云 。 图 鲁棒内模控制器框 图 当参数 未 知 时 ， 用 递 推估计算 法估 计参数 ， 用估 计 参数取 代控 制 器参数 ， 便 可 得 自适 应算 法 下 面 给 出 自校 正 算 法 的计算步 骤 置初 始 值 ， ， 户 ， ， 等 读 取 数 据 飞 ， 辨 识参 数 分 解 一 由 创叩 方 程 求 解 一 ’ ， ‘ ’ 求 广 义 控 制 律 求控 制 律 返 回 鲁棒性 现 约定 一 ’ 是 已 知多项 式 ， 只 分 析 一 ’ ， 、 一 ’ ， 一 一 ’ 失 配 时 ， 系统 的鲁棒性 假 设 系 统 的理 论模 型 自适 应情 况 即 为估 计模 型 如 下 秘 一 ’顶 一 云 一 ’ 云 一 ’ 汁 一 ’ 于是 建模误差 为 入 一 ’ 一 一 ’ 一 救 一 ’ ， 云 一 ’ 一 一 ’ 一 云 一 ’ ， 云 一 ’ 一 十 一 ’ 一 云 二 一 ’ 分析 式 可 知 当 叹 ， 一 氏 ， 。 、 一 斤 十 沙 ， 。 一 斤 一 时 ， 建 模误 差 是 参数不 确 定 型 的

·414· 北京科技大学学报 1997年第4期 2)当a,卡i或n,+d+i,+d或n_+i_时，建模误差是结构不确定型的（包括延时 失配) 故本文考虑的建模误差是很一般的. 引理1 Rouche定理 假定T是区域V中的1条简单闭曲线，且T的内部被V包含，若：I)复函数f(),g()在v 中解析；2)在T上满足f(a)-g(<V()1,z∈，则f()和g()在'的内部区域中的零点个 数相同.证明见文献[2]. 定理1.系统(1)当下列条件成立时，闭环系统是渐近稳定的（证明略）： 1)a使得A(z)的根在单位圆内； 2)建模误差满足H(e<7e-). 式中： H(z)=(1-a)A0[B+B,B_]-(1-a)2AB-B,B) z)=B.(1-Bz'1-az')A]. 3 自适应算法的全局收敛性 由控制律求取方程，并整理后得： H(z'u(k)+G(zy(k)+E(z)+e(k)D(z)y (k) (10) 式中，H(z-)=(1-a)1-Bz)0(z)B_(2':G(红)=(1-a(-z)Pz': D(z)=(1-a）Am(z-'; Ez)=(1-az)A(z-). 其中Pz),2(:)由下式确定： cee-）+8,e-re1=含ca (11) 当参数未知时采用下列辨识算法来辨识模型参数： 肉=6k-)+72k-10肉-1-肉8k-1 1a>0 (12) r(k)=r(k-1)+(k-1)(k-1) (13) r(k-1I)=1 (14) 式中，()是0在k时刻的估计，0和p(k-1)分别为： 0T=[a,…,an,b。,…,bnc1,…,cnJ (15) p(k-1)=[-yk-1),…-k-n),u(k-④，…k-d-n,-n_) (k-1)…k-n)] (16) )=内-p'(k-1)(k-1) (17) (10)~(17)式便构成显式自适应算法. 引理2算法(10)~(17)式具有下列性质： C(:'-(k-1)=-'(k-1)k-1) 式中， (k-1)=)-5);k)=(内-(k 引理3假设C(z)是稳定的多项式，C(:-a/2是严格正实的，则算法(10)~(17)式

· 北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 当 “ 羊 瓦或 。 、 羊 行 夕或 。 羊 行 一 时 ， 建模 误差是 结构不确定 型 的 包括延 时 失 配 故本 文考虑 的建模误差 是 很 一般 的 引理 定理 假 定 是 区域 中的 条 简单 闭 曲线 ， 且 的 内部被 包含 ， 若 复 函数 力 ， 力在 卜 中解 析 在 上 满足 丫习 一 护 习 ， ， 则 乃和 力在 的 内部 区 域 中的零 点个 数相 同 证 明见文 献 【 定理 系 统 当下 列条件成 立 时 ， 闭环 系 统是 渐 近稳定 的 证 明 略 使得 丸 一 ’ 的根 在 单位 圆 内 建模误差 满足 “ 一 ’ 口 双。 一 ’ 田 式 中 一 ’ 一 一 力 【云十 户 云 一 一 一 。 月云一 瓦反 ， 双 一 ’ 一 月 一 ’ 一 一 ’ · 自适应 算法 的全局收敛性 由控 制律 求取方 程 ， 并整 理后 得 一 ’孙 一 ’ 一 ’ 。 侧 一 ’ 式 中 ， 万 一 ’ 一 一 一 口 一 ’ 一 ’ 户 一 ’ 一 ’ 一 一 一 刀 一 ’ 代 一 ’ 一 ’ 一 一 ， 成 一 ’ 旦 一 ’ 一 一 一 ’ 瓜 一 ’ · 其 中 代厂 ’ ， 厂 ’ 由下式 确 定 沁 一 ’ 一 ’卜 瓦 一 ‘ 价 一 ’ 当参数未 知 时采 用下列 辨识算法来辨识模 型参数 月“ 艺 场声 户 一 户 、‘、 、了了 、 一 十 二五卫下 必、 一 妙 一 必 一 吞、 一 石 ， 气几 一 一 必 一 必 一 一 式 中 ， 叙 是 在 时刻 的估计 ， 和必 一 分别 为 一 ，， 一 。 ， 。 ， 一 ，，、 ， ， 一 。 二 必 一 一 夕 一 ， · 一 夕 一 “ ， 一 内 ， … 一 一 一 ， 舀 一 … 舀 一 看 夕 一 必 一 户 一 一 式 便 构成 显式 自适应算法 引理 算法 一 式 具 有下列性 质 一 ’ 成 一 一 必 一 口 一 式 中 ， 成 一 一 教 一 氛 氏 叙 一 引理 假设 一 ’ 是 稳 定 的多 项式 ， 一 ’ 一 万 是 严格 正 实 的 ， 则算法 一 式

Vol.19 No.4 石中锁等：一种鲁棒自校正内模控制器及其全局收敛性 ·415· 以概率1有下列性质： )l9≤M<0k:2lac-8k--0当k+o:3)三Ie)-k-0l<o对任 意给定的正整数1成立；4之内/)<0，式中k-)=构-5的.证明见文献[B). 引理4当算法(10)~(17)式应用于系统时，系统的输入输出特性为： []]-[8+停：8]+[2c)]胸+ [。t-w-[能±原：套熊] 式中利用了下面的定义： AB=Ae)B,)=∑∑a(内h(:-=BA A·B=A(e·B(2=∑∑a(内bk-)z-+B·A A=A-2). 其中，M=(iA+BG)+[(i·A-A④+(B.G-BG; M,=(B。升-而+(B-户·； M,=(A·G-4G)+(GA-G·: M,=(A+BO+【(G·i-G商+(i.户-Ail. 定理2全局收敛性定理. 假设系统满足下列条件： I)n,no,ne上界已知； 2)C(:-)-(a/2)严格正实，且C(z)为稳定多项式： 3)Ai+GB为稳定多项式： 4)噪声{()}满足： )且的R-}=0,a5司的R-ga的sp只2沟<0a其中传 ()}为定义在概率空间(Q,A,月中的随机过程，它可转变为递增o_代数{F-k∈N}序列， F由0到时间k为止的观测所产生， 则自适应算法(I0)~(17)式应用于系统时，以Wpl有（证明略）： Cy(<∞； + 2upi<， 3-享tia+6O-0内-icC=0

石 中锁等 一种 鲁棒 自校 正 内模控制器及 其全 局 收敛性 以概 率 有下 列性 质 ， ” ‘ ‘ “ ‘ “ 一 “‘“ 一 ，， 一 当 ，、 拿“ 一 ” “ 一 “ 对任 意 给定 的正 整数 成立 艺成 式 中 一 教 一 氛 证 明见 文献 引理 当算 法 一 式 应 用于 系统 时 ， 系 统 的输人 输 出特性 为 二 ‘ ‘、了 ， 「 、少 喊 从 阿 「种 十 从 城 」 」 一 刀 一 万 一 一 一二 优飞 二 一 一 只 耳 一 、 一 寿 · ’ 一 刀百 一 月百 一一 式 中利 用 了 下 面 的定 义 人户一 凡介 一 ’ 宾介 一 ’ 一 叉叉 “ 术 州 一 ‘ 一 ‘ 一 云尔 力 · 云一 人 一 ’ · 宾 一 ’ 一 叉叉 沃 丫 一 。 一 ‘ 一 ， ‘ 户 · 尔 元一 人 ， 一 ’ 刚 ︸洲 其 中 ， 鱿 戚 峡 ’ 十 赫 小 方一 翻 一 刀功 万刀 一 · ’ 一 一 一 局 匀 一 翩 瓣 · 左一 ‘ 勿 方 一 定理 全局收敛性定理 假设 系 统满足下 列 条件 ， ， 。 上界 已 知 一 ’ 一 ‘ 严格 正 实 ， 且 一 ’ 为稳 定 多 项 式 众方 吞云为稳定 多项 式 噪声 氛 满 足 域。 气 一 一 。 ， 、 、 以 ， 幻 气 一 一 少 ， 、 “ ‘ 喻 人艺梦 。 ， 、 ， 其 中烤 伪定义 在 概率 空 间 ， ， 日 中的 随机过 程 ， 它 可 转变 为递 增 代数 气 、 ‘ 序列 ， 气由 到 时 间 为止 的观 测 所 产 生 则 自适应算法 一 式 应 用于 系统 时 ， 以 有 证 明略 ，，怒 吭铆钩 ‘ 黔 吠拿 ·钩 、 ‘ 悠形 、 赫’ 。 一 脑 一 峨 一 ·

·416 北京科技大学学报 1997年第4期 4仿真研究 对象是开环不稳定的非最小相位系统为： (1-2.1:+0.9:=z-(0.8+1.6z-)u(9+5( )为高斯白噪声，o=0.01,采用递推最小二乘法估计参数，遗忘因子为0.99，P0)=101, 可调参数取B=0.8,a=0.4,a,=0.8,参考信号为幅值为1的方波，仿真结果见图2. 1.0 0.0 70 210 0.0 图2参考输入，输出及控制决策曲线 5结论 本文提出的算法，在一定的条件下，对系统的参数或结构失配是鲁棒的，并且是全局收敛 的.仿真研究证明了算法的可行性. 参考文献 1舒迪前.自适应控制.沈阳：东北工学院出版社，1994 2钟玉全.复变函数论.北京：高等教育出版社，1986 3 Hersh M A.Zerrop M B.Stochastic Adaptive Control of Non-minmum Phase Systems.Optimal Control Application Method,1986,7:153 4 Goodwin G C,Sin K S.Adaptive Filtering Prediction and Control.NY:Prentice-Hall,1984 Robust Internal Model Controller and Its Global Convergence Shi☑乃ongsuo Sun Yikang Shu Digian Information Engineering School,UST Beijing,Beijing 100083.China ABSTRACT A robust internal model control algorithm,which can be used in open-loop unstable systems,is presented,with its robustness and global convergence is proved.The simulation example demonstrate the effectivness of the algorithm proposed. KEY WORDS control/internal model control,robustness,global convergence

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 仿真研究 对象是 开环不 稳 定 的非最小 相 位系 统 为 一 一 ’ 一 ’妙 一 一 ’ 十 氛 氛 为 高斯 白噪声 ， 一 ， 采 用递 推最小 二 乘法 估计参数 ， 遗 忘 因子 为 ， 八 一 可 调 参数 取 卢 ， 二 ， ， 参考 信号 为 幅值 为 的方 波 ， 仿真结 果 见 图 娜习户几一 一扩 尸 一、 、 一、 尹，一一 八 一一 口 、 户 一 ‘ 人 ， ， 图 参考输入 、 输 出及控制决策 曲线 结论 本 文提 出 的算 法 ， 在 一 定 的条 件 下 ， 对系 统 的参数 或结 构失 配是 鲁棒 的 ， 并 且是 全 局 收敛 的 仿真研 究 证 明 了算 法 的可 行性 参 考 文 献 舒迪前 自适应控制 沈 阳 东北 工学 院 出版社 ， 钟 玉 全 复变 函 数论 北 京 高等教 育 出版社 ， ， 一 而 加 一 ， ， ， 日 ， 肋 及 ， 一 ， ， ， 川 一 ， ， ，