2.样本均值的抽样分布samplesize2.005175101.50201001.25Kaua2501000.750.500.250.0014161820222624SampleMean概率论与统计学16
概率论与统计学 2. 样本均值的抽样分布 16
2.样本均值的抽样分布证明var(Xn)=·当X1和X2相互独立时，有cOV(X1,X2）=0var(Xi + X2) = var(X1) + var(X2) + 2cov(X1,X2) = var(X1) + var(X2)·当 X;和X,相互独立时（任意ij）,有var(n=X）=r=var(X）=ng2·故对于IID随机样本Xn，有var(Xn) = var(n-1 Zn=1 Xi) = n-2 En=1 var(X) = n-2 Er=1α2 = :1概率论与统计学17
概率论与统计学 2. 样本均值的抽样分布 ◼ 证明 𝑣𝑎𝑟 𝑋ത 𝑛 = 𝜎 2 𝑛 ： • 当 𝑋1 和 𝑋2 相互独立时，有 𝑐𝑜𝑣 𝑋1, 𝑋2 = 0 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑋2 = 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑣𝑎𝑟 𝑋2 + 2𝑐𝑜𝑣 𝑋1, 𝑋2 = 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑣𝑎𝑟 𝑋2 • 当 𝑋𝑖 和 𝑋𝑗 相互独立时（任意 𝑖 ≠ 𝑗）,有 𝑣𝑎𝑟 σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 = σ𝑖=1 𝑛 𝑣𝑎𝑟 𝑋𝑖 = 𝑛𝜎 2 • 故对于 IID 随机样本 𝑋 𝑛 ，有 𝑣𝑎𝑟 𝑋ത 𝑛 = 𝑣𝑎𝑟 𝑛 −1 σ𝑖=1 𝑛 𝑋𝑖 = 𝑛 −2 σ𝑖=1 𝑛 𝑣𝑎𝑟(𝑋𝑖) = 𝑛 −2 σ𝑖=1 𝑛 𝜎 2 = 𝜎 2 𝑛 17
2.样本均值的抽样分布Remarks> var(X; + X2) = var(X1) + var(X2) + 2cov(X1,X2)假设 cov(X1,X2) = 0,无相关： var(X1 + X2)= var(X1) + var(X2)假设 cov(X1,X2) > 0,正相关： var(Xi + X2) >var(X1) +var(X2)假设 cov(Xi,X2)< 0,负相关： var(Xi + X2) < var(X1) +var(X2)概率论与统计学18
概率论与统计学 2. 样本均值的抽样分布 ➢ 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑋2 = 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑣𝑎𝑟 𝑋2 + 2𝑐𝑜𝑣 𝑋1, 𝑋2 • 假设 𝑐𝑜𝑣 𝑋1, 𝑋2 = 0，无相关： 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑋2 = 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑣𝑎𝑟 𝑋2 • 假设 𝑐𝑜𝑣 𝑋1, 𝑋2 > 0，正相关： 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑋2 > 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑣𝑎𝑟 𝑋2 • 假设 𝑐𝑜𝑣 𝑋1, 𝑋2 < 0，负相关： 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑋2 < 𝑣𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑣𝑎𝑟 𝑋2 18 Remarks